{"id":220110,"date":"2024-06-10T04:17:01","date_gmt":"2024-06-10T07:17:01","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=220110"},"modified":"2024-06-10T04:17:01","modified_gmt":"2024-06-10T07:17:01","slug":"a-problema-para-ajudar-na-escola-um-grafico-transformado-em-tres","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problema-para-ajudar-na-escola-um-grafico-transformado-em-tres\/","title":{"rendered":"(A) Problema para ajudar na escola: Um gr\u00e1fico transformado em tr\u00eas"},"content":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema.<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n

\n

\n

Problema
\n (A partir do 8\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nO gr\u00e1fico abaixo \u00e9 parte de uma reportagem sobre a folha de pagamento do funcionalismo federal, publicada no jornal Folha de S\u00e3o Paulo<\/strong><\/em><\/a>, em 16\/11\/18.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n
\n
\n

Utilize os dados sobre a remunera\u00e7\u00e3o dos servidores federais mostrados no gr\u00e1fico acima e construa tr\u00eas gr\u00e1ficos de setores mostrando, por ano, as remunera\u00e7\u00f5es das categorias.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n(1) Ano de [tex]2015[\/tex]<\/strong>
\nOs dados relativos \u00e0s remunera\u00e7\u00f5es das tr\u00eas categorias de servidores federais no ano de [tex]2015[\/tex] s\u00e3o os mostrados na tabela a seguir e totalizam [tex]R\\$\\,146,6[\/tex] bilh\u00f5es.<\/li>\n

\n[tex]\\begin{array}{|c|c|c|}
\n\\hline
\n\\text{Ativos} & \\text{Inativos} & \\text{Pens\u00f5es}\\\\
\n\\hline
\n\\text{R\\$ 90,9 bilh\u00f5es} & \\text{R\\$ 37,9 bilh\u00f5es} & \\text{R\\$ 17,8 bilh\u00f5es}\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n Tabela 1 <\/strong><\/span><\/p>\n

Para construir o gr\u00e1fico de setores (\u201cgr\u00e1fico de pizza\u201d) correspondente aos dados de [tex]2015[\/tex], devemos encontrar uma rela\u00e7\u00e3o diretamente proporcional entre eles e as \u00e1reas de cada setor circular (as fatias da pizza) a eles correspondentes.
\nVamos ent\u00e3o determinar as medidas dos \u00e2ngulos que definir\u00e3o cada setor circular. Para isso, levaremos em conta que a \u00e1rea completa da regi\u00e3o circular do gr\u00e1fico de setores (que equivale ao total pago) corresponde a um \u00e2ngulo total de [tex]360^\\circ [\/tex]. Dessa forma, criaremos a seguinte rela\u00e7\u00e3o: [tex]146,6[\/tex] bilh\u00f5es de reais est\u00e1 para [tex]360^\\circ [\/tex]. Com base nessa rela\u00e7\u00e3o, determinaremos as respectivas medidas dos \u00e2ngulos, resolvendo regrinhas de tr\u00eas simples.<\/p>\n\n\n
Ativos<\/strong><\/p>\n

\n

[tex]\\begin{array}{c c c}
\n \\;146,6 & \\text{———-} & 360^\\circ \\;\\\\
\n \\;90,9 & \\text{———-} & x_a^\\circ \\;\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

Dessa forma, obtemos que
\n[tex]\\;90,9 \\times 360= 146,6\\, x_a[\/tex],
\ndonde:
\n [tex]\\;x_a=\\dfrac{32724}{146,6}\\approx 223,2[\/tex].<\/p>\n<\/td>\n

Inativos<\/strong><\/p>\n

\n

[tex]\\begin{array}{c c c}
\n \\; 146,6 & \\text{———-} & 360^\\circ \\;\\\\
\n \\;37,9 & \\text{———-} & x_i^\\circ \\;\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

Dessa forma, obtemos que
\n[tex]\\;37,9 \\times 360= 146,6\\, x_i[\/tex],
\ndonde:
\n [tex]\\;x_i=\\dfrac{13644}{146,6}\\approx 93,1[\/tex].<\/p>\n<\/td>\n

Pens\u00f5es<\/strong><\/p>\n

\n

[tex]\\begin{array}{c c c}
\n \\;146,6 & \\text{————} & 360^\\circ \\;\\\\
\n \\;17,8 & \\text{————} & x_p^\\circ \\;\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

Dessa forma, obtemos que
\n[tex]\\;17,8 \\times 360= 146,6\\, x_p[\/tex],
\ndonde:
\n [tex]\\;x_p=\\dfrac{6408}{146,6}\\approx 43,7[\/tex].<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

 <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Assim, no gr\u00e1fico que iremos tra\u00e7ar,<\/p>\n

    \n
  • o setor circular que corresponder\u00e1 ao gasto com servidores ativos \u00e9 definido por um \u00e2ngulo de [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#9AFF9A}{$223^{\\circ}$}\\, [\/tex], aproximadamente;<\/li>\n
  • o setor circular que corresponder\u00e1 ao gasto com servidores inativos \u00e9 definido por um \u00e2ngulo de [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#f99}{$93^{\\circ}$}\\, [\/tex], aproximadamente;<\/li>\n
  • o setor circular que corresponder\u00e1 ao gasto com pens\u00f5es \u00e9 definido por um \u00e2ngulo de [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$44^{\\circ}$}\\, [\/tex], aproximadamente.<\/li>\n<\/ul>\n

    As medidas em graus foram aproximadas por n\u00fameros inteiros, para facilitar a constru\u00e7\u00e3o dos \u00e2ngulos.<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

    Nesse tipo gr\u00e1fico, n\u00e3o \u00e9 usual a exibi\u00e7\u00e3o das medidas dos \u00e2ngulos utilizados na constru\u00e7\u00e3o dos setores. O que identifica cada setor s\u00e3o os n\u00fameros percentuais correspondentes aos valores parciais que definem cada um. Vamos ent\u00e3o calcular as porcentagens relativas a cada n\u00famero da Tabela 1<\/strong><\/span>. Para isso, utilizaremos o valor de [tex]146,6[\/tex] bilh\u00f5es de reais como o todo ([tex]100\\%[\/tex]) e calcularemos o percentual correspondente aos tr\u00eas valores da tabela por meio de regrinhas de tr\u00eas simples.<\/p>\n\n\n
    Ativos<\/strong><\/p>\n

    \n

    [tex]\\begin{array}{c c c}
    \n \\,146,6 & \\text{———-} & 100\\% \\,\\\\
    \n \\,90,9 & \\text{———-} & y_a\\% \\,\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

    Dessa forma, obtemos que
    \n[tex]\\,100\\times 90,9= 146,6\\, y_a[\/tex],
    \ndonde:
    \n [tex]\\,y_a=\\dfrac{9090}{146,6}\\approx 62[\/tex].<\/p>\n<\/td>\n

    		Inativos<\/strong><\/p>\n

    \n

    [tex]\\begin{array}{c c c}
    \n \\,146,6 & \\text{———-} & 100\\% \\,\\\\
    \n \\,37,9 & \\text{———-} & y_i\\% \\,\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

    Dessa forma, obtemos que
    \n[tex]\\quad 100\\times 37,9= 146,6\\, y_i[\/tex],
    \ndonde:
    \n [tex]\\quad y_i=\\dfrac{3790}{146,6}\\approx 25,9[\/tex].<\/p>\n<\/td>\n

    		Pens\u00f5es<\/strong><\/p>\n

    \n

    [tex]\\begin{array}{c c c}
    \n \\;146,6 & \\text{———-} & 100\\% \\;\\\\
    \n \\;17,8 & \\text{———-} & y_p\\% \\;\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

    Dessa forma, obtemos que
    \n[tex]\\;100\\times 17,8 = 146,6\\, y_p[\/tex],
    \ndonde:
    \n [tex]\\;y_p=\\dfrac{1780}{146,6}\\approx 12,1[\/tex].<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

    Assim, do total pago aos servidores federais em [tex]2015[\/tex], aproximadamente <\/p>\n

      \n
    • [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#9AFF9A}{$62\\%$} [\/tex] foi gasto com servidores ativos; [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#f99}{$25,9\\%$} [\/tex] foi gasto com servidores inativos;[tex]\\, \\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$12,1\\%$} [\/tex] foi gasto com pens\u00f5es.<\/li>\n<\/ul>\n
      \"\"

      Gr\u00e1fico de setores relativo ao ano de 2015<\/p><\/div>\n

      \n
      \n

      \n

      (2) Ano de [tex]2016[\/tex]<\/strong>
      \nAs justificativas deste item s\u00e3o as mesmas apresentadas no item (1)<\/strong>; assim, aqui, apresentaremos apenas os c\u00e1lculos.
      \nOs dados relativos \u00e0s remunera\u00e7\u00f5es das tr\u00eas categorias de servidores federais no ano de [tex]2016[\/tex] s\u00e3o os mostrados na tabela abaixo e totalizam [tex]R\\$\\, 154,2[\/tex] bilh\u00f5es.<\/li>\n

      \n[tex]\\begin{array}{|c|c|c|}
      \n\\hline
      \n\\text{Ativos} & \\text{Inativos} & \\text{Pens\u00f5es}\\\\
      \n\\hline
      \n\\text{R\\$ 95,4 bilh\u00f5es} & \\text{R\\$ 40 bilh\u00f5es} & \\text{R\\$ 18,8 bilh\u00f5es}\\\\
      \n\\hline
      \n\\end{array}[\/tex]
      \n Tabela 2 <\/strong><\/span><\/p>\n

      Para construir o gr\u00e1fico de setores (\u201cgr\u00e1fico de pizza\u201d) correspondente aos dados de [tex]2016[\/tex], vamos inicialmente determinar as medidas dos \u00e2ngulos que ir\u00e3o definir cada setor circular. Para tal, consideraremos que a \u00e1rea completa da regi\u00e3o circular do gr\u00e1fico de setores corresponde a um \u00e2ngulo total de [tex]360^\\circ [\/tex]. Dessa forma, criaremos a seguinte rela\u00e7\u00e3o: [tex]154,2[\/tex] bilh\u00f5es de reais est\u00e1 para [tex]360^\\circ [\/tex]. Vejam as respectivas regras de tr\u00eas simples.<\/p>\n\n\n
      Ativos<\/strong><\/p>\n

      \n

      [tex]\\begin{array}{c c c}
      \n \\;154,2 & \\text{———-} & 360^\\circ \\;\\\\
      \n \\;95,4 & \\text{———-} & x_a^\\circ \\;\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

      Dessa forma, obtemos que
      \n[tex]\\;95,4 \\times 360= 154,2\\, x_a[\/tex],
      \ndonde:
      \n [tex]\\;x_a=\\dfrac{34344}{154,2}\\approx 222,7[\/tex].<\/p>\n<\/td>\n

      		Inativos<\/strong><\/p>\n

      \n

      [tex]\\begin{array}{c c c}
      \n \\;154,2 & \\text{———-} & 360^\\circ \\;\\\\
      \n \\;40 & \\text{———-} & x_i^\\circ \\;\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

      Dessa forma, obtemos que
      \n[tex]\\;40 \\times 360= 154,2\\, x_i[\/tex],
      \ndonde:
      \n [tex]\\;x_i=\\dfrac{144000}{154,2}\\approx 93,4[\/tex].<\/p>\n<\/td>\n

      		Pens\u00f5es<\/strong><\/p>\n

      \n

      [tex]\\begin{array}{c c c}
      \n \\;154,2 & \\text{———-} & 360^\\circ \\;\\\\
      \n \\;18,8 & \\text{———-} & x_p^\\circ \\;\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

      Dessa forma, obtemos que
      \n[tex]\\;18,8 \\times 360= 154,2\\, x_p[\/tex],
      \ndonde:
      \n [tex]\\;x_p=\\dfrac{6768}{154,2}\\approx 43,9[\/tex].<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

      		 <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

      Assim, no gr\u00e1fico que iremos tra\u00e7ar,<\/p>\n