\n
Problema Sabendo que um dos muros tem altura [tex]2[\/tex] metros e o outro [tex]3[\/tex] metros, qual o comprimento das escadas?<\/p>\n \n<\/div>\n \n Lembrete <\/p>\n \n Teorema de Pit\u00e1goras:<\/strong> Em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o quadrado da hipotenusa \u00e9 a soma dos quadrados dos catetos.<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n Considere [tex]A, \\, B, \\, C, \\, D[\/tex] os pontos superiores e inferiores dos dois muros na vista lateral ilustrada na figura abaixo. Considere tamb\u00e9m na mesma vista lateral o ponto [tex]E[\/tex] que corresponde ao encontro dos p\u00e9s das duas escadas. Dessa forma, se [tex]c[\/tex] \u00e9 o comprimento em metros de cada escada, ficam definidos os tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos [tex]ACE[\/tex] e [tex]BDE[\/tex] ilustrados na imagem a seguir.<\/p>\n Aplicando o Teorema de Pit\u00e1goras aos tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos [tex]ACE[\/tex] e [tex]BDE[\/tex], obtemos respectivamente: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n \n b)<\/strong> As bases dos tri\u00e2ngulos s\u00e3o x e 5-x.<\/p>\n \n c)<\/strong> Utilizando o Teorema de Pit\u00e1goras, tem-se que: \n d)<\/strong> Substituindo I em II, vem: \n e)<\/strong> Determinando o valor de y que corresponde ao comprimento da escada Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM OCTETO MATEM\u00c1TICO<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n
\nSeu Hor\u00e1cio tem duas escadas com o mesmo tamanho.
\nEle apoiou cada uma delas na parte superior de dois muros paralelos, distantes [tex]5[\/tex] metros um do outro, conforme ilustra a figura abaixo.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob256_1.png\")
<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n![](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/prob256_2.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad c^2=9+a^2\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad c^2=4+b^2[\/tex]
\ndonde segue que:
\n[tex]\\qquad \\qquad 4+b^2=9+a^2.\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nMas os muros s\u00e3o paralelos e distantes [tex]5[\/tex] metros um do outro; assim, [tex]a+b=5[\/tex]. Logo, [tex]a=5-b[\/tex] e segue de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] que:
\n[tex]\\quad 4+b^2=9+(5-b)^2[\/tex]
\n[tex]\\quad 4+\\cancel{b^2}=9+25-10b+\\cancel{b^2}[\/tex]
\n[tex]\\quad 10b=34-4[\/tex]
\n[tex]\\quad 10b=30[\/tex]
\n[tex]\\quad \\boxed{b=3 \\, m} \\, .[\/tex]
\nComo [tex]c^2=4+b^2[\/tex], temos que:
\n[tex]\\quad c^2=4+3^2[\/tex]
\n[tex]\\quad c^2=13[\/tex]
\n[tex]\\quad c=\\pm \\sqrt{13}[\/tex]
\n[tex]\\quad \\boxed{c=\\sqrt{13}}[\/tex], j\u00e1 que [tex]c \\gt 0.[\/tex]
\nAssim, o comprimento de cada escada \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 3,6 \\, metros$} \\, [\/tex], aproximadamente.<\/p>\n
\n
\na)<\/strong> Para o comprimento das escadas, adota-se y.<\/p>\n
\nI) y\u00b2=3\u00b2+x\u00b2
\ny\u00b2=9+x\u00b2
\ne
\nII) y\u00b2=2\u00b2+(5-x)\u00b2<\/p>\n
\ny\u00b2=2\u00b2+(5-x)\u00b2
\n9+x\u00b2=4+25-10x+x\u00b2
\n9+x\u00b2-4-25+10x-x\u00b2=0
\n10x-20=0
\n10x=20
\nx=2.<\/p>\n
\ny\u00b2=9+x\u00b2
\ny\u00b2=9+2\u00b2
\ny\u00b2=13
\ny=\u221a(13)
\nLogo, o comprimento de cada escada \u00e9 de aproximadamente 3,6 metros.<\/p>\n
\n\n
\n <\/td>\n\n
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