\n
Problema mas [tex]36 [\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 um padrinho de [tex]\\textcolor{#FF0000}{10}[\/tex], de [tex]\\textcolor{#0040FF}{12}[\/tex] e de [tex]\\textcolor{#008000}{13}[\/tex], j\u00e1 que <\/p>\n Qual \u00e9 o n\u00famero m\u00e1ximo de zeros com que pode terminar um padrinho de [tex]2018[\/tex]?\n<\/p><\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n[tex]p=z\\underbrace{00\\cdots 0}_{n\\text{ zeros}}=z \\times \\left(\\underbrace{10 \\times 10 \\times \\cdots \\times 10}_{n\\text{ fatores}} \\right)[\/tex] <\/p>\n sendo [tex]z[\/tex] um n\u00famero que n\u00e3o termina por zero. \n Ent\u00e3o, utilizaremos o m\u00e1ximo de parcelas iguais a [tex](2+5)[\/tex] para obtermos [tex]2018[\/tex]. Se esse m\u00e1ximo for [tex]m[\/tex], isso corresponde a escrevermos [tex]2018[\/tex] na forma <\/p>\n Para refor\u00e7ar que estamos no caminho certo para resolvermos o problema, observe que, da condi\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], segue que \u00e9 um padrinho de [tex]2018[\/tex] que termina com o maior n\u00famero poss\u00edvel de zeros. Com isso, conclu\u00edmos que [tex]n=m[\/tex] e isso resolve o nosso problema, j\u00e1 que a afirma\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] garante que [tex]\\textcolor{red}{m}[\/tex] e [tex]\\textcolor{blue}{k}[\/tex] s\u00e3o respectivamente o quociente e o resto da divis\u00e3o euclidiana de [tex]2018[\/tex] por [tex]7.[\/tex] (Observe que [tex]m[\/tex] mede quantas vezes o n\u00famero [tex]7[\/tex] cabe em [tex]2018[\/tex].)<\/span> Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n(A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n
\n(XXX OPM<\/strong> – Adaptado) Um n\u00famero [tex]p[\/tex] \u00e9 padrinho de um n\u00famero [tex]a[\/tex] se [tex]p[\/tex] \u00e9 produto de n\u00fameros cuja soma \u00e9 [tex]a[\/tex].
\nPor exemplo, [tex]36 [\/tex] \u00e9 um padrinho de [tex]11[\/tex] porque <\/p>\n\n
\n
\nSuponhamos que [tex]p[\/tex] seja um padrinho de [tex]2018[\/tex] que termine com o maior n\u00famero poss\u00edvel de zeros, digamos [tex]n[\/tex] zeros. Assim:<\/p>\n
\nComo [tex]p[\/tex] \u00e9 padrinho de [tex]2018[\/tex], ent\u00e3o [tex]2018[\/tex] \u00e9 escrito como soma de fatores de [tex]p[\/tex]. Dessa forma, para produzirmos cada um dos [tex]n[\/tex] fatores [tex]10[\/tex] de [tex]p[\/tex], precisaremos de parcelas iguais a [tex]10[\/tex] ou [tex](2+5)[\/tex] para [tex]2018[\/tex]. Mas perceba que [tex]2+5=7 \\lt 10[\/tex]; portanto, ao escrevermos [tex]2018[\/tex], se utilizarmos parcelas iguais a [tex](2+5)[\/tex] para produzir fatores [tex]10[\/tex] nos produtos que produzem os padrinhos, o n\u00famero de parcelas ser\u00e1 maior do que se utilizarmos parcelas iguais a [tex]10.[\/tex] Isso significa que teremos mais fatores [tex]10[\/tex] nos produtos que produzem os padrinhos, e consequentemente mais zeros.<\/p>\n\n
\n
\n[tex]\\qquad 2018=7m+k[\/tex], com [tex] k \\lt 7[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2018=2m+5m+k[\/tex], com [tex] k \\lt 7[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2018= \\left(\\underbrace{2 + 2 + \\cdots + 2}_{m\\text{ parcelas}} \\right) + \\left(\\underbrace{5 + 5 + \\cdots + 5}_{m\\text{ parcelas}} \\right)+k[\/tex], com [tex] k \\lt 7.\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\nLogo, segue de [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], que
\n[tex]\\qquad p_1= \\left(\\underbrace{2 \\times 2 \\times \\cdots \\times 2}_{m\\text{ fatores}} \\right) \\times \\left(\\underbrace{5 \\times 5 \\times \\cdots \\times 5}_{m\\text{ fatores}} \\right) \\times k [\/tex] , com [tex] k \\lt 7.[\/tex]<\/p>\n
\nComo
\n [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\n2018 \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, \\, 7 \\, \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\,\\,\\, \\textcolor{blue}{2}
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\, \\, \\, \\,\\,\\textcolor{red}{288}
\n\\end{array}[\/tex]
\nconclu\u00edmos que o n\u00famero m\u00e1ximo de zeros com que pode terminar um padrinho de [tex]2018[\/tex] \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$288$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n\n
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