{"id":219937,"date":"2024-07-27T18:18:11","date_gmt":"2024-07-27T21:18:11","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=219937"},"modified":"2024-07-27T18:18:11","modified_gmt":"2024-07-27T21:18:11","slug":"problemao-nao-mais-do-que-cinco","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-nao-mais-do-que-cinco\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: N\u00e3o mais do que cinco"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nEm um pa\u00eds, certo dia, um avi\u00e3o partiu de cada cidade com destino \u00e0 cidade mais pr\u00f3xima. Se as dist\u00e2ncias entre as cidades s\u00e3o duas a duas distintas, prove que em nenhuma cidade aterrissaram mais de cinco avi\u00f5es.<\/p>\n

Extra\u00eddo de 144 Problemas de Matem\u00e1tica<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n\"explicador_p\"<\/p>\n

Fatos que ajudam<\/p>\n

(I)<\/strong> <\/span> Em todo tri\u00e2ngulo, o maior \u00e2ngulo se op\u00f5e ao maior lado.
\n (II)<\/strong> <\/span> Em um tri\u00e2ngulo escaleno, o maior \u00e2ngulo \u00e9 maior que [tex]60^\\circ[\/tex].\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nSuponha que chegaram pelo menos seis avi\u00f5es em alguma cidade [tex]X[\/tex], vindos das cidades [tex]C_1, C_2, \\cdots, C_6[\/tex]. Vamos obter um absurdo!
\n\"\"<\/p>\n

Considere o tri\u00e2ngulo [tex]C_1C_2X[\/tex]. Ent\u00e3o, pela condi\u00e7\u00e3o do enunciado, [tex]C_1X[\/tex] e [tex]C_2X[\/tex] s\u00e3o menores que [tex]C_1C_2[\/tex], porque caso contr\u00e1rio o avi\u00e3o de [tex]C_1[\/tex] teria partido para [tex]C_2[\/tex] ou o de [tex]C_2[\/tex] para [tex]C_1[\/tex]. Assim, [tex]C_1\\hat{X}C_2[\/tex] \u00e9 o maior \u00e2ngulo deste tri\u00e2ngulo e deve ser maior que [tex]60^\\circ[\/tex]. Como isso vale para qualquer um dos tri\u00e2ngulos formados, temos
\n[tex]\\qquad C_1\\hat{X}C_2+C_2\\hat{X}C_3+C_3\\hat{X}C_4+C_4\\hat{X}C_5+C_5\\hat{X}C_6+C_6\\hat{X}C_1\\gt 6\\times 60^\\circ=360^\\circ,[\/tex]
\nque \u00e9 um absurdo, pois a soma destes \u00e2ngulos \u00e9 igual a [tex]360^\\circ[\/tex].
\nPortanto, chegam no m\u00e1ximo cinco avi\u00f5es em cada cidade.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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