{"id":219804,"date":"2024-06-04T00:29:21","date_gmt":"2024-06-04T03:29:21","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=219804"},"modified":"2024-11-26T23:27:42","modified_gmt":"2024-11-27T02:27:42","slug":"sala-de-estudo-valor-esperado-e-aplicacoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudo-valor-esperado-e-aplicacoes\/","title":{"rendered":".Sala de Estudo: Valor Esperado e Aplica\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"

✏ Link da Sala para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

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Valor Esperado e Aplica\u00e7\u00f5es<\/p>\n

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\nNesta Sala, apresentaremos uma ferramenta matem\u00e1tica para avaliar muitas quest\u00f5es do mundo real relacionadas a eventos aleat\u00f3rios como, por exemplo, jogos de azar, seguros, investimentos em eventos futuros, etc.
\nEsta ferramenta \u00e9 o conceito de valor esperado, tamb\u00e9m chamado de esperan\u00e7a matem\u00e1tica, que \u00e9 muito importante no estudo de probabilidades, al\u00e9m de possuir aplica\u00e7\u00f5es a outros ramos cient\u00edficos. E, apesar da grande variedade de aplica\u00e7\u00f5es, o valor esperado \u00e9 um conceito surpreendentemente simples!
\nAdotaremos como condi\u00e7\u00e3o para uma leitura satisfat\u00f3ria desta Sala o conhecimento da teoria b\u00e1sica das Probabilidades.<\/p>\n

\n
Experimento Aleat\u00f3rio e Probabilidades<\/em><\/strong><\/span><\/p>\n
<\/div>\n

Iniciaremos o nosso estudo com uma pequena revis\u00e3o sobre alguns conceitos b\u00e1sicos da Teoria das Probabilidades. Caso voc\u00ea ainda n\u00e3o tenha estudado um pouco desse assunto, sugerimos a leitura da sala Probabilidades<\/strong><\/span><\/a> do nosso Blog, na qual voc\u00ea vai encontrar um estudo mais detalhado dessa teoria. <\/p>\n

\n

\n► Experimentos Aleat\u00f3rios<\/em><\/strong><\/span>: processos reais ou hipot\u00e9ticos nos quais os poss\u00edveis resultados podem ser identificados, mas n\u00e3o podemos prever com certeza o que vai acontecer – o “acaso” representa um papel preponderante. Assim, um experimento aleat\u00f3rio possui duas caracter\u00edsticas fundamentais:
\n\u2013 O resultado n\u00e3o pode ser previsto com certeza.
\n\u2013 Embora n\u00e3o seja poss\u00edvel afirmar que resultado em particular ocorrer\u00e1, \u00e9 poss\u00edvel descrever o conjunto de todos os resultados poss\u00edveis do experimento.<\/p>\n

\n

► Espa\u00e7o Amostral<\/em><\/strong><\/span>: conjunto formado por todos os poss\u00edveis resultados de um experimento ou fen\u00f4meno aleat\u00f3rio. Neste texto, indicaremos esse conjunto pela letra grega mai\u00fascula \u00f4mega, [tex]\\Omega[\/tex], e trabalharemos quase sempre com experimentos aleat\u00f3rios cujos respectivos espa\u00e7os amostrais sejam finitos (veja o exemplo do lan\u00e7amento do dado abaixo).<\/p>\n

\n

► Evento<\/em><\/strong><\/span>: qualquer subconjunto do espa\u00e7o amostral. Os eventos geralmente s\u00e3o indicados por letras mai\u00fasculas do nosso alfabeto, indexadas ou n\u00e3o; e, na pr\u00e1tica, dizemos que um evento [tex]E[\/tex] ocorre se, quando realizado o experimento, obt\u00e9m-se um resultado que pertence a [tex]E[\/tex]. Dentro de um mesmo espa\u00e7o amostral, quando a ocorr\u00eancia de um evento [tex]E_1[\/tex] impossibilita a ocorr\u00eancia de outro evento [tex]E_2[\/tex], dizemos que os eventos s\u00e3o mutuamente excludentes ou disjuntos.
\nPor exemplo, lan\u00e7ar um dado cujas faces est\u00e3o numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]6[\/tex] e verificar a numera\u00e7\u00e3o da face voltada para cima \u00e9 um experimento aleat\u00f3rio. O espa\u00e7o amostral para este experimento ser\u00e1 [tex] \\Omega=\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}.[\/tex] Sortear um n\u00famero maior do que [tex]4[\/tex] ser\u00e1 o evento [tex]E=\\{5, 6\\}\\subset \\Omega=\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}.[\/tex] Observe que o mesmo lan\u00e7amento do dado pode dar origem a um experimento aleat\u00f3rio diferente, por exemplo, lan\u00e7ar um dado cujas faces est\u00e3o numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]6[\/tex] e verificar a paridade do resultado da face voltada para cima \u00e9 um experimento aleat\u00f3rio diferente cujo espa\u00e7o amostral \u00e9 [tex] \\Omega’=\\{\\text{n\u00famero par}, \\text{n\u00famero \u00edmpar} \\}.[\/tex] <\/p>\n

\n

► Probabilidade cl\u00e1ssica<\/em><\/strong><\/span>: Suponha um experimento aleat\u00f3rio cujo espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega[\/tex] \u00e9 finito e equiprov\u00e1vel, ou seja, [tex]\\Omega[\/tex] \u00e9 formado por um n\u00famero finito de resultados igualmente prov\u00e1veis. Se [tex]E[\/tex] \u00e9 um evento qualquer do espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega[\/tex], a probabilidade de [tex]E [\/tex] ocorrer, ou simplesmente a probabilidade do evento [tex]E[\/tex], \u00e9 definida como a raz\u00e3o entre o n\u00famero de elementos de [tex]E[\/tex] e o n\u00famero de elementos de [tex]\\Omega[\/tex]. Em s\u00edmbolos,
\n[tex]\\qquad \\qquad P(E)=\\dfrac{n(E)}{n(\\Omega)},[\/tex]
\nsendo [tex]n(E)[\/tex] o n\u00famero de elementos do evento e [tex]n(\\Omega)[\/tex] o n\u00famero de elementos do espa\u00e7o amostral.<\/p>\n

\n

► Probabilidade Frequencial<\/em><\/strong><\/span>: Considere um experimento aleat\u00f3rio com espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega[\/tex]. Suponhamos que esse experimento seja repetido nas mesmas condi\u00e7\u00f5es [tex]n[\/tex] vezes e o evento [tex]E[\/tex] ocorra exatamente [tex]m[\/tex] vezes. Ent\u00e3o, a frequ\u00eancia relativa de vezes que o evento [tex]E[\/tex] ocorreu, ou simplesmente a frequ\u00eancia relativa de [tex]E[\/tex], \u00e9 denotada por [tex]fr(E)[\/tex] e assim definida:
\n[tex]\\qquad \\qquad fr(E)=\\dfrac{m}{n}.[\/tex]
\nA probabilidade frequencial de [tex]E[\/tex] \u00e9 definida como o n\u00famero [tex]P(E)[\/tex] para o qual as frequ\u00eancias relativas [tex]fr(E[\/tex]) se aproximam quando vamos aumentando cada vez mais o n\u00famero [tex]n[\/tex] de vezes que realizamos o experimento.
\nDeve-se notar que as frequ\u00eancias relativas do evento [tex]E[\/tex] s\u00e3o aproxima\u00e7\u00f5es da probabilidade [tex]P(E)[\/tex]. As duas se igualam apenas no limite de infinitos experimentos. Em geral, para um valor de [tex]n[\/tex] razoavelmente grande, [tex]fr(E)[\/tex] \u00e9 uma boa aproxima\u00e7\u00e3o para [tex]P(E)[\/tex]. Podemos at\u00e9 pensar que temos duas probabilidades diferentes para um evento [tex]E[\/tex]: a probabilidade cl\u00e1ssica e a probabilidade frequencial. Mas, pode-se provar que, quando um evento [tex]E[\/tex] tem probabilidade cl\u00e1ssica [tex]P(E)[\/tex], ent\u00e3o o n\u00famero do qual as frequ\u00eancias relativas se aproximam \u00e9 exatamente [tex]P(E)[\/tex]. Esse resultado \u00e9 conhecido como Lei dos Grandes N\u00fameros<\/strong><\/em>.\n<\/div>\n

\n

Vamos ilustrar a import\u00e2ncia do conceito de probabilidade frequencial apresentando algumas de suas in\u00fameras aplica\u00e7\u00f5es pr\u00e1ticas. A primeira dessas aplica\u00e7\u00f5es est\u00e1 relacionada a eventos aleat\u00f3rios com espa\u00e7o amostral finito e equiprov\u00e1vel, mas que por raz\u00f5es pr\u00e1ticas temos dificuldades de descrever tal espa\u00e7o amostral. A segunda aplica\u00e7\u00e3o ir\u00e1 ilustrar o uso da probabilidade frequencial em espa\u00e7os amostrais infinitos nos quais n\u00e3o podemos fazer uso da defini\u00e7\u00e3o cl\u00e1ssica de probabilidade.<\/p>\n

\n

\n➤<\/span> Exemplo 1.<\/strong><\/span> Determinar uma aproxima\u00e7\u00e3o para a quantidade [tex]Q[\/tex] de peixes em um lago.<\/p>\n

\"\"Imagem extra\u00edda do site do Freepik<\/strong><\/a>.(Acesso em 14\/04\/2024.)<\/p>\n

Uma estrat\u00e9gia consiste em capturar um n\u00famero [tex]q[\/tex] de peixes com uma rede, marc\u00e1-los e reintroduzi-los no lago.
\nAgora, vamos considerar “o experimento aleat\u00f3rio de capturar algum peixe desse lago”<\/strong>.
\nO espa\u00e7o amostral para esse evento ser\u00e1 o conjunto [tex]\\Omega[\/tex] contendo todos os [tex]Q[\/tex] peixes. Vamos fazer a suposi\u00e7\u00e3o que cada um dos peixes do lago tem a mesma chance de ser capturado. Assim, nosso espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega[\/tex] ser\u00e1 finito e equiprov\u00e1vel.
\nConsideremos o evento [tex]E=\\{ \\mathrm{peixes \\ marcados }\\}[\/tex]; pela defini\u00e7\u00e3o cl\u00e1ssica de probabilidade, temos
\n[tex]\\qquad P(E)=\\dfrac{n(E)}{n(\\Omega)}=\\dfrac{q}{Q},[\/tex]
\nou seja,
\n[tex] \\qquad Q=\\dfrac{q}{P(E)}.[\/tex]
\nAssim, se soub\u00e9ssemos o valor de [tex]P(E)[\/tex], ter\u00edamos nossa f\u00f3rmula para calcular [tex]Q[\/tex]. Entretanto, sem o conhecimento da quantidade de peixes, n\u00e3o poderemos aplicar a defini\u00e7\u00e3o cl\u00e1ssica. Aqui, portanto, ser\u00e1 \u00fatil a f\u00f3rmula frequencial.
\nNote que, por meio da captura de um n\u00famero [tex]n[\/tex] razoavelmente grande de peixes, podemos calcular o valor [tex]fr(E)[\/tex] que, pela Lei dos Grandes N\u00fameros, ser\u00e1 uma aproxima\u00e7\u00e3o para [tex]P(E)[\/tex]. Logo,
\n[tex]\\qquad \\boxed{Q\\approx \\dfrac{q}{fr(E)}}.[\/tex]
\nEssa f\u00f3rmula \u00e9 muito usada por ecologistas para se estimar o tamanho de popula\u00e7\u00f5es de certas esp\u00e9cies.\n<\/div>\n

\n

\n➤<\/span> Exemplo 2.<\/strong><\/span> Consideremos o problema de aproximar o valor da \u00e1rea da regi\u00e3o [tex]R[\/tex] limitada pelas retas [tex] x=1[\/tex], [tex] y=1[\/tex], pelo eixo [tex]x[\/tex], pelo eixo [tex]y[\/tex] e pelo gr\u00e1fico da par\u00e1bola [tex]y=x^2[\/tex]. Essa regi\u00e3o est\u00e1 destacada na figura abaixo.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Existem ferramentas que permitem o c\u00e1lculo exato dessa \u00e1rea, como o c\u00e1lculo integral que geralmente \u00e9 estudado em cursos de Ci\u00eancias Exatas. Mas, existe uma maneira bem interessante de aproximar o valor dessa \u00e1rea com o uso de probabilidades.
\nConsideremos, ent\u00e3o, o quadrado unit\u00e1rio da figura abaixo e o experimento “selecionar aleatoriamente um ponto desse quadrado”<\/strong>.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Este ser\u00e1 um experimento aleat\u00f3rio com espa\u00e7o amostral infinito, j\u00e1 que este consistir\u00e1 de todos os pontos do quadrado. Seja [tex]E[\/tex] o evento “selecionar um ponto na regi\u00e3o [tex]R[\/tex]”. \u00c9 intuitivo aceitar que
\n[tex]\\qquad P(E)=\\dfrac{\\mathrm{\u00c1rea}(R)}{ \\mathrm{\u00c1rea(Quadrado)}}=\\mathrm{\u00c1rea}(R),\\\\
\n~~[\/tex]
\nj\u00e1 que [tex] \\mathrm{\u00c1rea(Quadrado)} =1[\/tex].
\nN\u00e3o sabemos como calcular a \u00e1rea da regi\u00e3o [tex]R[\/tex] e tamb\u00e9m n\u00e3o podemos aplicar a defini\u00e7\u00e3o cl\u00e1ssica de probabilidades para calcular [tex]P(E)[\/tex], j\u00e1 que o espa\u00e7o amostral \u00e9 infinito. O que nos resta? Probabilidade frequencial. Um experimento feito com apenas [tex]100[\/tex] pontos teve o resultado apresentado na pr\u00f3xima figura.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Das [tex]100[\/tex] vezes que o experimento foi realizado, o evento [tex]E[\/tex], que consiste em obter um ponto na regi\u00e3o [tex]R[\/tex], ocorreu [tex]35[\/tex] vezes. Como [tex]fr(E)\\approx P(E[\/tex]), ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad \\mathrm{\u00c1rea}(R)=P(E)\\approx fr(E)=\\dfrac{35}{100}=0,35.[\/tex]<\/p>\n

\n

Por curiosidade, [tex] \\mathrm{\u00c1rea}(R)=1\/3=0,33…[\/tex]
\nObserve que com apenas [tex]100[\/tex] pontos, obtivemos uma boa aproxima\u00e7\u00e3o. Imaginem com milhares ou milh\u00f5es de pontos, o que pode ser facilmente executado com o aux\u00edlio de um computador.\n<\/p><\/div>\n

\n

Os dois exemplos que acabamos de apresentar sobre o uso da probabilidade frequencial s\u00e3o aplica\u00e7\u00f5es do M\u00e9todo de Monte Carlo<\/em>, desenvolvido pelo grande matem\u00e1tico e f\u00edsico polaco Stanislaw Ulam<\/em> (1909-1984).
\nComo ficar\u00e1 claro mais adiante, esses exemplos podem ser interpretados como aplica\u00e7\u00f5es do conceito de valor esperado.<\/p>\n

\n
Valor Esperado ou Esperan\u00e7a <\/em><\/strong><\/span><\/p>\n
<\/div>\n

Embora os resultados de experimentos aleat\u00f3rios n\u00e3o possam ser previstos com certeza, pode ser poss\u00edvel estimar o que se espera a longo prazo desses experimentos. <\/p>\n

    \n
  • Se o experimento aleat\u00f3rio tem espa\u00e7o amostral finito e equiprov\u00e1vel, podemos utilizar Probabilidade Cl\u00e1ssica para estimar particularmente as possibilidades de ocorr\u00eancia dos eventos desse experimento, sem nem mesmo repeti-lo v\u00e1rias vezes.<\/li>\n
  • Se for poss\u00edvel repetir o experimento um n\u00famero bem grande de vezes, podemos utilizar o conceito de frequ\u00eancia relativa para estimar as possibilidades de ocorr\u00eancia dos seus eventos.<\/li>\n<\/ul>\n

    Mas e quando, mesmo com essas probabilidades aplicadas no modelo matem\u00e1tico de um experimento, n\u00e3o conseguirmos “prever” o futuro?
    \nPor exemplo, suponha a seguinte situa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n

      Seu Jo\u00e3o se diverte muito com a rotina di\u00e1ria de, ao caminho de seu trabalho, fazer uma aposta na banquinha da dona Mariazinha, que fica na pra\u00e7a em frente ao local de trabalho dele.
      \nO jogo no qual ele aposta \u00e9 o seguinte:<\/p>\n
        \n
      • Um baralho completo (4 naipes com 13 cartas) \u00e9 embaralhado e, sem olhar, seu Jo\u00e3o retira uma carta.
        \nSe a carta retirada for um Rei, seu Jo\u00e3o ganha R$ 10,00.
        \nSe a carta retirada n\u00e3o for um Rei, seu Jo\u00e3o paga R$ 1,00 para dona Mariazinha.<\/li>\n<\/ul>\n

        \u00c9 claro que em um determinado dia seu Jo\u00e3o pode ganhar ou perder; mas, a longo prazo, qual \u00e9 o resultado esperado para as apostas do seu Jo\u00e3o?
        \nVeja que, como existem 4 Reis entre as 52 cartas do baralho, a probabilidade de seu Jo\u00e3o retirar um Rei \u00e9 [tex]\\dfrac{4}{52}[\/tex]; e a probabilidade de sair outra carta \u00e9 [tex]\\dfrac{52-4}{52}=\\dfrac{48}{52}.[\/tex] Mas e da\u00ed?
        \nObserve que, multiplicando o ganho e a perda pela respectiva probabilidade disso acontecer e somando os produtos obtidos, obtemos:
        \n[tex]\\qquad \\textcolor{blue}{10 \\times \\dfrac{4}{52}}+\\textcolor{red}{(-1) \\times \\dfrac{48}{52}}\\approx -0,15 [\/tex]
        \ne assim o valor m\u00e9dio <\/strong>esperado \u00e9 uma perda de aproximadamente 0,15 reais.
        \n\u00c9 claro que seu Jo\u00e3o faz a aposta diariamente porque ele se diverte e \u00e9 uma maneira de ajudar a dona Mariazinha.<\/ul>\n

        \n

        O valor [tex]-0,15 [\/tex] obtido \u00e9 o objeto que vamos definir formalmente. Observe que nos nossos c\u00e1lculos, a cada evento do experimento aleat\u00f3rio “Fazer uma aposta”, [tex]E_1:GANHAR[\/tex] e [tex]E_2:PERDER[\/tex], associamos um n\u00famero real, [tex]e_1=10[\/tex] e [tex]e_2=-1[\/tex] respectivamente, e as respectivas probabilidades, [tex]p_1=\\dfrac{4}{52}[\/tex] e [tex]p_2=\\dfrac{48}{52}.[\/tex]
        \nDe modo geral, ser\u00e3o estes os valores num\u00e9ricos que associaremos aos eventos do experimento que vamos calcular o valor m\u00e9dio de um experimento aleat\u00f3rio a longo prazo!<\/strong><\/p>\n

        \n

        \nComo nas aplica\u00e7\u00f5es envolvendo espa\u00e7os amostrais e seus eventos \u00e9 conveniente trabalhar com n\u00fameros e n\u00e3o com os eventos propriamente ditos, \u00e9 comum associar aos eventos de um espa\u00e7o amostral valores num\u00e9ricos convenientes, de acordo com a aplica\u00e7\u00e3o que estamos analisando. Por exemplo, quando consideramos o evento aleat\u00f3rio do lan\u00e7amento simult\u00e2neo de duas moedas, sabemos que o espa\u00e7o amostral \u00e9
        \n[tex]\\quad \\Omega=\\{(cara,cara);(cara,coroa);(coroa,cara);(coroa,coroa)\\}.[\/tex]
        \nPodemos associar a cada elemento de [tex]\\Omega[\/tex] o n\u00famero de caras obtidas ou, dependendo do que est\u00e1 sendo analisado, poder\u00edamos associar o n\u00famero de coroas.
        \nCom essa observa\u00e7\u00e3o, j\u00e1 temos condi\u00e7\u00e3o de definir o objeto central desta Sala.<\/p>\n
          Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Seja [tex]E[\/tex] um experimento aleat\u00f3rio cujo espa\u00e7o amostral finito [tex]\\Omega[\/tex], n\u00e3o necessariamente equiprov\u00e1vel, pode ser escrito como uni\u00e3o de eventos dois a dois disjuntos, ou seja, [tex]\\Omega=E_1 \\cup E_2 \\cup \\dots \\cup E_k,[\/tex] com [tex]E_i\\cap E_j=\\emptyset[\/tex], para [tex] i\\neq j[\/tex].
          \nSejam tamb\u00e9m [tex]e_1, e_2, \\dots, e_k[\/tex] n\u00fameros reais n\u00e3o necessariamente distintos que, de alguma forma, caracterizam num\u00e9rica e respectivamente os eventos [tex]E_1 , E_2 , \\dots , E_k[\/tex]; e [tex]P\\left(E_1\\right) , P\\left(E_2\\right) , \\dots ,P\\left(E_k\\right)[\/tex] as respectivas probabilidades desses eventos.
          \nPara a associa\u00e7\u00e3o <\/p>\n

          \n

            n\u00famero real [tex]e_1[\/tex] associado ao evento [tex] E_1[\/tex], n\u00famero real [tex]e_2[\/tex] associado ao evento [tex]E_2[\/tex] e, assim sucessivamente, at\u00e9 o n\u00famero [tex]e_k[\/tex] associado ao evento [tex]E_k[\/tex],<\/ul>\n

            o valor esperado do experimento aleat\u00f3rio [tex]E[\/tex]<\/strong> \u00e9 o n\u00famero definido e denotado como se segue:
            \n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{VE=e_1\\cdot P(E_1) +e_2\\cdot P(E_2)+ \\dots +e_k\\cdot P(E_k)^{~}_{~}}.[\/tex] <\/ul>\n

            Veja que o n\u00famero [tex]VE[\/tex] depende do experimento aleat\u00f3rio em quest\u00e3o e tamb\u00e9m da associa\u00e7\u00e3o entre os eventos [tex]E_1, E_2, \\dots, E_k~ [\/tex] e os n\u00fameros [tex]~e_1, e_2, \\dots, e_k[\/tex].\n<\/p><\/div>\n

            \n

            Vamos tentar entender o significado do n\u00famero [tex]VE[\/tex] utilizando mais um exemplo.<\/p>\n

            \n

            \nConsideremos o seguinte experimento aleat\u00f3rio [tex]E:[\/tex] “lan\u00e7ar um dado honesto cujas faces est\u00e3o numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]6[\/tex] e verificar a numera\u00e7\u00e3o da face voltada para cima<\/strong>.
            \nQue numera\u00e7\u00e3o ser\u00e1 essa?”
            \nBem, sabemos que o espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega=\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}[\/tex] deste experimento \u00e9 finito e equiprov\u00e1vel. Podemos fazer a decomposi\u00e7\u00e3o
            \n[tex]\\quad \\Omega=E_1\\cup E_2 \\cup E_3\\cup E_4 \\cup E_5 \\cup E_6, [\/tex]
            \nsendo
            \n[tex]\\quad E_1=\\{1\\}[\/tex], [tex]E_2=\\{2\\}[\/tex], [tex]E_3=\\{3\\}[\/tex], [tex]E_4=\\{4\\}[\/tex], [tex]E_5=\\{5\\}[\/tex] e [tex]E_6=\\{6\\}.[\/tex]
            \nComo o dado \u00e9 honesto, temos que [tex]P(E_1)=P(E_2)=P(E_3)=P(E_4)=P(E_5)=P(E_6)=\\dfrac{1}{6}.[\/tex]
            \nAssim, com a seguinte associa\u00e7\u00e3o,
            \n[tex]\\qquad E_1 \\to 1[\/tex] ; [tex]E_2 \\to 2[\/tex] ; [tex]E_3 \\to 3[\/tex] ; [tex]E_4 \\to 4[\/tex] ; [tex]E_5 \\to 5[\/tex] ; [tex]E_6 \\to 6[\/tex],
            \no valor esperado do experimento [tex]E[\/tex] ser\u00e1:
            \n[tex]\\qquad VE=1 \\cdot \\dfrac{1}{6}+2 \\cdot \\dfrac{1}{6}+3 \\cdot \\dfrac{1}{6}+4 \\cdot \\dfrac{1}{6}+5 \\cdot \\dfrac{1}{6}+6 \\cdot \\dfrac{1}{6}=3,5.[\/tex]
            \nMas qual \u00e9 o significado do valor [tex] VE=3,5[\/tex], uma vez que no dado n\u00e3o existe uma face com o n\u00famero [tex]3,5[\/tex]?
            \nPara compreendermos esse n\u00famero, vamos realizar uma experi\u00eancia: Vamos lan\u00e7ar um dado [tex]n[\/tex] vezes e somar, inicialmente, todos os n\u00fameros obtidos, formando a soma [tex]S_n.[\/tex] Por exemplo, se para tr\u00eas lan\u00e7amentos os resultados forem [tex]5, 4[\/tex] e [tex] 2[\/tex], ent\u00e3o teremos [tex]S_3=11.[\/tex]
            \nObservem alguns valores obtidos para a soma [tex]S_n[\/tex], em fun\u00e7\u00e3o de [tex]n[\/tex], em dez experi\u00eancias com lan\u00e7amentos de um dado que realizamos:
            \n[tex]\\quad S_{20}=72, ~ S_{40}=150, ~ S_{60}=219, ~ S_{80}=282, ~ S_{100}=357,[\/tex]
            \n[tex]\\quad S_{120}=432, ~ S_{140}=499, ~ S_{160}=563, ~S_{180}=633, ~ S_{200}=702. [\/tex]
            \nVamos agora calcular as respectivas “m\u00e9dias das somas [tex]S_n[\/tex]” obtidas, ou seja, vamos calcular a raz\u00e3o [tex]\\dfrac{S_n}{n}[\/tex], para os dez valores de [tex]n[\/tex] utilizados:
            \n[tex]\\quad\\frac{S_{20}}{20}=3,6,~\\frac{S_{40}}{40}=3,75,~ \\frac{S_{60}}{60}=3,65,~ \\frac{S_{80}}{80}=3,52,~ \\frac{S_{100}}{100}=3,57,\\\\
            \n~~\\\\
            \n\\quad\\frac{S_{120}}{120}=3,6,~\\frac{S_{140}}{140}=3,564,~ \\frac{S_{160}}{160}=3,518,~ \\frac{S_{180}}{180}=3,516,~\\frac{S_{200}}{200}=3,51.\\\\
            \n~~[\/tex]
            \nPodemos representar, em um gr\u00e1fico cartesiano, [tex]\\dfrac{S_n}{n}[\/tex] como fun\u00e7\u00e3o de [tex]n:[\/tex] <\/p>\n

            \"\"<\/p>\n

            \n

            Note que, \u00e0 medida que o valor de [tex]n[\/tex] cresce, as m\u00e9dias das somas, [tex] \\dfrac{S_n}{n}[\/tex], se aproximam do valor esperado [tex]3,5.[\/tex]
            \nCom apenas [tex]200[\/tex] lan\u00e7amentos, tivemos uma m\u00e9dia de [tex]3,51.[\/tex] E esse n\u00famero ser\u00e1 cada vez mais pr\u00f3ximo do [tex] VE=3,5[\/tex], quanto mais aumentamos o valor de [tex] n.[\/tex]<\/p>\n

            \n

            \n➤<\/span> Voc\u00ea pode utilizar um aplicativo para simular lan\u00e7amentos, obter as respectivas somas [tex]S_n[\/tex] e m\u00e9dias [tex]\\dfrac{S_{n}}{n}[\/tex]; al\u00e9m de observar que, de fato, [tex] \\dfrac{S_n}{n}[\/tex] se aproxima do valor [tex]3,5[\/tex] para valores grandes de [tex]n.[\/tex]
            \n\u00c9 s\u00f3 clicar no bot\u00e3o abaixo e conferir!<\/p>\n
            \n <\/p>\n
            \n

            1)<\/strong> Aguardem o aplicativo carregar completamente.
            \n2)<\/strong> Cliquem no bot\u00e3o Lan\u00e7ar o dado<\/strong>. N\u00e3o h\u00e1 necessidade de anotar o resultado; o aplicativo fornece dados acumulados.
            \n3)<\/strong> Repitam o passo 2 <\/strong> umas [tex]200[\/tex] vezes.<\/p>\n

            \n