\n
Problema [tex]\\sqrt{2^{2018}+2^{1010}+1}-\\sqrt{2^{2018}-2^{1010}+1}\\, \\, .[\/tex]<\/p>\n \n<\/div>\n \n Lembretes<\/p>\n \n As duas identidades alg\u00e9bricas abaixo podem ajudar… (02)<\/strong><\/span> [tex] (a-b)^2 = a^2-2ab +b^2\\, ;\\, \\forall\\, a,\\, b\\in \\mathbb{R}.[\/tex]<\/p>\n (Para conhecer um pouco mais sobre "Malabarismos aritm\u00e9ticos e alg\u00e9bricos", clique AQUI<\/a><\/strong>)<\/p>\n (03)<\/strong><\/span> Para finalizar a solu\u00e7\u00e3o, vamos precisar da defini\u00e7\u00e3o de m\u00f3dulo de um n\u00famero real [tex]x[\/tex]: \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Assim, segue que: \n [tex]\\qquad \\begin{align*}\\sqrt{2^{2018}+2^{1010}+1}-\\sqrt{2^{2018}-2^{1010}+1}&=\\left(2^{1009}+1\\right)-\\left(2^{1009}-1\\right)\\\\ \n Portanto, [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\sqrt{2^{2018}+2^{1010}+1}-\\sqrt{2^{2018}-2^{1010}+1}=2$}\\, .[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n
\nSimplifique a seguinte express\u00e3o:<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n(01)<\/strong><\/span> [tex] (a +b)^2 = a^2 +2ab +b^2\\, ;\\, \\forall \\, a,\\, b\\, \\in \\mathbb{R}[\/tex].<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\sqrt{x^2}=|x|[\/tex],
\nonde [tex]|x|[\/tex] indica o m\u00f3dulo do n\u00famero real [tex]x[\/tex]:
\n[tex]\\qquad |x|=\\begin{cases} x, \\text{ se } x\\geqslant 0\\\\
\n -x, \\text{ se } x\\lt 0\\\\
\n\\end{cases}\\, . [\/tex]\n<\/div>\n
\nObserve que:<\/p>\n\n
\n&\\stackrel{\\textcolor{#800000}{\\text{Lembrete (1)}}}{=}\\left(2^{1009}+1\\right)^2\\, ;\\end{align*}[\/tex]<\/li>\n
\n&\\stackrel{\\textcolor{#800000}{\\text{Lembrete (2)}}}{=}\\left(2^{1009}-1\\right)^2\\, .\\end{align*}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n
\n[tex]\\qquad \\begin{align*}\\sqrt{2^{2018}+2^{1010}+1}-\\sqrt{2^{2018}-2^{1010}+1}=&\\sqrt{\\left(2^{1009}+1\\right)^2}-\\sqrt{\\left(2^{1009}-1\\right)^2}\\\\
\n\\stackrel{\\textcolor{#800000}{\\text{Lembrete (3)}}}{=}&|2^{1009}+1|-|2^{1009}-1|\\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}
\n\\end{align*}[\/tex]
\nMas
\n[tex]\\qquad 2^{1009}+1 \\gt 0\\, \\, \\, [\/tex] e [tex]\\, \\, 2^{1009}-1 \\gt 0\\, [\/tex];
\nassim,
\n[tex]\\qquad \\boxed{|2^{1009}+1|= 2^{1009}+1}\\, [\/tex] e [tex]\\, \\boxed{|2^{1009}-1|= 2^{1009}-1}\\, .[\/tex]
\nLogo, segue de [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], que:<\/p>\n
\n&=2^{1009}+1-2^{1009}+1\\\\
\n&=2\\, .\\end{align*}[\/tex]<\/p>\n
\n\n
\n <\/td>\n\n
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