\n
Problema Na figura abaixo, vemos o gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica assim definida: [tex]f(x)=x^2+bx+c.[\/tex]<\/p>\n Determine [tex]f(8).[\/tex]<\/p>\n \n<\/div>\n \n Lembretes para Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n \n (1)<\/strong><\/span> Uma das rela\u00e7\u00f5es de Girard afirma que a soma das ra\u00edzes de uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau \u00e9 igual \u00e0 raz\u00e3o entre o oposto do coeficiente de [tex]x[\/tex] e o coeficiente de [tex]x^2[\/tex], ou seja, a soma das ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex] \u00e9 dada por [tex]\\boxed{\\dfrac{-b}{a}}[\/tex]. (Para conhecer um pouco mais sobre as rela\u00e7\u00f5es de Girard<\/strong>, cliquem AQUI<\/a><\/strong>.)<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n [tex]b+4=\\dfrac{-b}{1}=-b \\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad b \\cdot 4=\\dfrac{c}{1}=c\\, [\/tex],<\/p>\n de onde obtemos [tex]\\boxed{b=-2}\\, [\/tex] e [tex]\\, \\boxed{c=-8}\\, .[\/tex] [tex]f(x)=x^2-2x-8[\/tex];<\/p>\n fazendo [tex]x=8\\, [\/tex], segue que:<\/p>\n [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(8)=8^2-2\\cdot 8-8=40$}\\, .[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Lembretes para Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n \n [tex]{\\color{#800000}(1)}[\/tex] O gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica [tex]h:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]h(x)=ax^2+bx+c,\\, a\\not=0[\/tex], \u00e9 uma par\u00e1bola com diretriz paralela ao eixo [tex]Ox[\/tex], eixo de simetria paralelo ao eixo [tex]Oy[\/tex], sendo sua concavidade voltada para cima se [tex]a\\gt 0[\/tex] e voltada para baixo se [tex]a\\lt0[\/tex]. <\/p>\n \n [tex]{\\color{#800000}(2)}[\/tex] Se [tex]\\Delta= b^2-4ac[\/tex], as coordenadas do v\u00e9rtice da par\u00e1bola do gr\u00e1fico de [tex]h[\/tex] s\u00e3o dadas por: ✓<\/span> o ponto de m\u00ednimo e o valor m\u00ednimo da fun\u00e7\u00e3o [tex]h[\/tex], se a concavidade estiver voltada para cima; Particularmente, se [tex]\\Delta \\gt 0[\/tex], [tex]x_v[\/tex] \u00e9 a m\u00e9dia entre as duas ra\u00edzes de [tex]h[\/tex]: [tex]x_v=\\frac{r_1+r_2}{2}[\/tex]<\/p>\n \nVisualizem as informa\u00e7\u00f5es fornecidas no lembrete [tex]{\\color{#800000}(2)}[\/tex], se [tex]\\Delta \\gt 0[\/tex], \n Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/04\/prob190.png\")
<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n(2)<\/strong><\/span> Uma outra rela\u00e7\u00e3o de Girard afirma que o produto das ra\u00edzes de uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau \u00e9 igual \u00e0 raz\u00e3o entre o seu termo independente [tex]c[\/tex] e o seu coeficiente de [tex]x^2[\/tex], o que implica dizer que o produto das ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex] \u00e9 dado por [tex]\\boxed{\\dfrac{c}{a}}[\/tex].<\/p>\n
\nObservando o gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex], vemos que [tex]f(b)=f(4)=0[\/tex], ou seja, os n\u00fameros [tex]b\\, [\/tex] e [tex]\\, 4[\/tex] s\u00e3o ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]x^2+bx+c=0.[\/tex]
\nUtilizando, ent\u00e3o, as rela\u00e7\u00f5es de Girard para a soma e para o produto de ra\u00edzes de uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau, temos:<\/p>\n
\nCom isso, a express\u00e3o que define a fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] \u00e9 <\/p>\n
\n <\/p>\n
\n [tex]\\qquad \\qquad (x_v,y_v)=\\bigg(\\dfrac{-b}{2a},\\dfrac{-\\Delta}{4a}\\bigg)[\/tex],
\nsendo que [tex]x_v=\\dfrac{-b}{2a}\\, [\/tex] e [tex]\\, y_v=\\dfrac{-\\Delta}{4a}[\/tex] indicam, respectivamente:<\/p>\n
\n ✓<\/span> o ponto de m\u00e1ximo e o valor m\u00e1ximo da fun\u00e7\u00e3o [tex]h[\/tex], se a concavidade estiver voltada para baixo.<\/p>\n
\nclicando no bot\u00e3o abaixo.<\/strong><\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/prob190_1.png\")
\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\nObservando o gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o dado no problema, vemos que os n\u00fameros [tex]b\\, [\/tex] e [tex]\\, 4[\/tex] s\u00e3o ra\u00edzes (ou os zeros) da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] e, como a coordenada [tex]x_v[\/tex] do v\u00e9rtice do gr\u00e1fico de [tex]f[\/tex] \u00e9 a m\u00e9dia dessas ra\u00edzes, segue que
\n[tex]\\qquad x_v=\\dfrac{b+4}{2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\dfrac{-b}{2}=\\dfrac{b+4}{2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad -b=b+4[\/tex]
\n[tex]\\qquad -2b=4[\/tex]
\ne, ent\u00e3o, [tex]\\boxed{b=-2}\\, .[\/tex]
\nDessa forma, podemos reescrever a express\u00e3o que define [tex]f[\/tex] como [tex]\\boxed{f(x)=x^2-2x+c}\\, .[\/tex]
\nMas sabemos que [tex]\\, 4[\/tex] \u00e9 uma raiz (ou o zero) da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex], assim:
\n[tex]\\qquad f(4)=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad 4^2-2\\cdot 4+c=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad 16-8+c=0[\/tex]
\ne, ent\u00e3o [tex]\\boxed{c=-8}\\, .[\/tex]
\nDessa forma, a express\u00e3o que define a fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] \u00e9 [tex]\\boxed{f(x)=x^2-2x-8}[\/tex] e, portanto, [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(8)=8^2-2\\cdot 8-8=40$}\\, .[\/tex]<\/p>\n
\n\n
\n <\/td>\n\n
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