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Problema Extra\u00eddo de Matem\u00e1tica. Volume \u00fanico. Iezzi, etc.<\/strong><\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema. Problema (Indicado a partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.) Resolva no conjunto dos n\u00fameros reais a equa\u00e7\u00e3o [tex]4^x+6^x=9^x.[\/tex] Extra\u00eddo de Matem\u00e1tica. Volume \u00fanico. Iezzi, etc. Solu\u00e7\u00e3o Como [tex]4^x\\ne 0[\/tex], podemos dividir os dois membros da equa\u00e7\u00e3o [tex]4^x+6^x=9^x[\/tex] por [tex]4^x[\/tex]. Desta forma, teremos: [tex]\\qquad 1+\\left(\\dfrac{6}{4}\\right)^x=\\left(\\dfrac{9}{4}\\right)^x.[\/tex] Como … <\/p>\n
\n (Indicado a partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nResolva no conjunto dos n\u00fameros reais a equa\u00e7\u00e3o [tex]4^x+6^x=9^x.[\/tex]<\/p>\n
\nComo [tex]4^x\\ne 0[\/tex], podemos dividir os dois membros da equa\u00e7\u00e3o [tex]4^x+6^x=9^x[\/tex] por [tex]4^x[\/tex]. Desta forma, teremos:
\n[tex]\\qquad 1+\\left(\\dfrac{6}{4}\\right)^x=\\left(\\dfrac{9}{4}\\right)^x.[\/tex]
\nComo [tex]6\/4=3\/2~[\/tex] e [tex]~9\/4=(3\/2)^2[\/tex] nossa equa\u00e7\u00e3o \u00e9 equivalente a
\n[tex]\\qquad 1+\\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^x=\\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^{2x}.[\/tex]
\nFazendo a substitui\u00e7\u00e3o [tex]y=\\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^x[\/tex] segue que
\n[tex]\\qquad 1+y=y^2 \\\\
\n\\qquad y^2-y-1=0.[\/tex]
\nAplicando a f\u00f3rmula resolutiva para a equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex] \\boxed{y^2-y-1=0}[\/tex], encontramos as ra\u00edzes [tex]y_1=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}~[\/tex] e [tex]~y_2=\\dfrac{1-\\sqrt{5}}{2}.[\/tex]
\nMas observe que [tex]y=\\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^x\\gt 0[\/tex]; logo, a solu\u00e7\u00e3o deve ser [tex]y=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}[\/tex] e com isso [tex]\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}=\\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^x.[\/tex]
\nAplicando logaritmo a ambos os lados dessa \u00faltima igualdade, obtemos
\n[tex]\\qquad x\\log \\left(\\dfrac{3}{2}\\right)=\\log \\left( \\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}\\right),[\/tex]
\ndonde conclu\u00edmos que
\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{\\log \\left( \\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}\\right)}{\\log\\left(\\dfrac{3}{2}\\right)}.[\/tex]<\/p>\n
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