{"id":219385,"date":"2024-05-30T06:03:14","date_gmt":"2024-05-30T09:03:14","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=219385"},"modified":"2024-06-01T04:22:54","modified_gmt":"2024-06-01T07:22:54","slug":"problemao-dois-retangulos-e-dois-quadrados-1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-dois-retangulos-e-dois-quadrados-1\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Dois ret\u00e2ngulos e dois quadrados"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=219403\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 25px; padding-bottom: 15px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 25px; margin: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size: 12px; color: #800000;\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nQue rela\u00e7\u00f5es alg\u00e9bricas podemos deduzir a partir da imagem abaixo, na qual visualizamos dois ret\u00e2ngulos iguais e dois quadrados n\u00e3o necessariamente iguais?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/05\/fig054.png\"  alt=\"\" width=\"442\" height=\"591\" class=\"aligncenter size-full wp-image-219291\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/05\/fig054.png 442w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/05\/fig054-224x300.png 224w\" sizes=\"auto, (max-width: 442px) 100vw, 442px\" \/><br \/>\n&nbsp;<\/p>\n<p><strong>Voc\u00ea pode utilizar um  APPLET para ajudar na solu\u00e7\u00e3o do problema. \u00c9 s\u00f3 clicar no bot\u00e3o abaixo!<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div style=\"text-align:center;\"><input class=\"bo1 c3 cb33 bg3\" value=\"APPLET\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=  \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'APPLET';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"g1n cb36 \">\n<strong>Instru\u00e7\u00f5es:<\/strong><br \/>\n<strong>(1)<\/strong> Espere o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)<br \/>\n<strong>(2)<\/strong> Para transladar qualquer quadril\u00e1tero,  clique sobre ele com qualquer bot\u00e3o do mouse, mantenha o mouse pressionado e fa\u00e7a o movimento. (Se voc\u00ea estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no quadril\u00e1tero e fazer o movimento.)<br \/>\n<strong>(3)<\/strong> Para rodar qualquer quadril\u00e1tero, clique com qualquer bot\u00e3o do mouse sobre o v\u00e9rtice  destacado, mantenha o mouse pressionado e rode-o. (Se voc\u00ea estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no ponto e fazer o movimento.)<br \/>\n<strong>(4)<\/strong> Para modificar o comprimento dos lados de um dos quadrados, e os lados correspondentes dos ret\u00e2ngulos, clique com o bot\u00e3o esquerdo do mouse sobre o ponto a (ou b), mantenha o mouse pressionado e movimente-o horizontalmente.<br \/>\n<strong>(5)<\/strong> Para reiniciar o processo, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do aplicativo.<br \/>\n<strong>(6)<\/strong> Voc\u00ea pode usar o aplicativo fora do F\u00f3rum dos Clubes, utilizando este link:<br \/>\n<center><strong><a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/q2xpbewh\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">https:\/\/www.geogebra.org\/m\/q2xpbewh<\/a><\/strong><\/center><br \/>\n\u00c9 s\u00f3 copiar e usar!<\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<p style=\"margin:10px;text-align: center;\">\n<iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" title=\"Dois ret\u00e2ngulos e dois quadrados\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/yncbggvj\/width\/680\/height\/735\/border\/ffffff\/sfsb\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/true\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"695px\" height=\"734\" style=\"border: 2px solid #800000;\"> <\/iframe><br \/>\n<span style=\"font-size: 14px;\">OBMEP_ srdg, criado com o <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\">GeoGebra<\/a><\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 12px; text-align: justify; color: #800000; line-height: 12px;\">Observamos que o <em>applet<\/em> ajuda na visualiza\u00e7\u00e3o da resposta;<br \/>\nmas, matematicamente, n\u00e3o substitui sua demonstra\u00e7\u00e3o.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 28px; margin: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\n&#8211; Se o comprimento do lado do quadrado menor \u00e9 [tex]a[\/tex], a sua \u00e1rea \u00e9 dada por [tex]a \\cdot a = a^2.[\/tex]<br \/>\n&#8211; Se o comprimento do lado do quadrado maior de [tex]b[\/tex], a sua \u00e1rea \u00e9 dada por [tex]b \\cdot b = b^2.[\/tex]<br \/>\n&#8211; Os dois ret\u00e2ngulos possuem lados medindo [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex], logo suas \u00e1reas s\u00e3o dadas por [tex]ab.[\/tex]<br \/>\nPodemos juntar os dois quadrados e os dois ret\u00e2ngulos para formar um \u00fanico quadrado de lados [tex]a+b[\/tex], como mostrado na figura abaixo.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/05\/fig055.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"459\" height=\"456\" class=\"aligncenter size-full wp-image-219295\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/05\/fig055.png 459w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/05\/fig055-150x150.png 150w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/05\/fig055-300x298.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 459px) 100vw, 459px\" \/><br \/>\nA a\u00e9rea deste novo quadrado \u00e9 dada por [tex](a+b) \\cdot (a+b) = (a+b)^2[\/tex]<br \/>\nComo formamos o quadrado de lado [tex](a+b)[\/tex] utilizando as figuras mostradas no enunciado, a sua \u00e1rea ser\u00e1 igual a soma da \u00e1rea de todas elas, ou seja:<br \/>\n[tex]\\qquad (a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab + ab[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{~(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}~.[\/tex]<br \/>\nAssim, podemos notar que acabamos de fazer uma demonstra\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica do produto not\u00e1vel do <strong>quadrado de uma soma<\/strong>!<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px; border: 0 none;\" \/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\"> <strong>COM Pot\u00eancias de Euler<\/strong> <span style=\"font-size:15px;\">(EECIT Lynaldo Cavalcanti de Albuquerque &#8211; Patos, PB)<\/span>.<br \/>\n<strong>Equipe COM &#8211; OBMEP<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 28px; margin: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nVamos, agora, considerar [tex]a \\gt b \\gt 0[\/tex]. Teremos, ent\u00e3o um quadrado rosa maior do que o verde, mas as express\u00f5es das \u00e1reas se mant\u00eam:<br \/>\n&#8211; O comprimento do lado do quadrado maior \u00e9 [tex]a[\/tex] e a sua \u00e1rea \u00e9 [tex]a \\cdot a = a^2.[\/tex]<br \/>\n&#8211; O comprimento do lado do quadrado menor \u00e9 [tex]b[\/tex] e a sua \u00e1rea \u00e9 [tex]b \\cdot b = b^2.[\/tex]<br \/>\n&#8211; Os dois ret\u00e2ngulos possuem lados medindo [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] e suas \u00e1reas s\u00e3o [tex]ab.[\/tex]<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/05\/fig061.jpg\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"450\" height=\"550\" class=\"aligncenter size-full wp-image-219373\" \/><br \/>\nVamos inserir os dois ret\u00e2ngulos dentro do quadrado maior e calcular a \u00e1rea rosa que n\u00e3o ficou coberta. Observe a figura abaixo e note que  essa regi\u00e3o rosa \u00e9 um quadrado de \u00e1rea [tex]\\left(a-b\\right)^2.[\/tex]<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/05\/fig062.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"420\" height=\"493\" class=\"aligncenter size-full wp-image-219376\" \/><br \/>\nMas como calcular essa \u00e1rea utilizando os dois ret\u00e2ngulos que a definiram?<br \/>\nObserve que a \u00e1rea do quadrado de  \u00e1rea de [tex](a-b)^2[\/tex] tamb\u00e9m pode ser assim calculada:<br \/>\n&#8211; Partimos da \u00e1rea total do quadrado original rosa ([tex]a^2[\/tex]).<br \/>\n&#8211; Retiramos duas vezes a \u00e1rea do ret\u00e2ngulo ([tex]a\\cdot b[\/tex]).<br \/>\n&#8211; Como a \u00e1rea correspondente ao quadradinho rosa de lado [tex]b[\/tex] est\u00e1 sendo retirada duas vezes pela opera\u00e7\u00e3o anterior, adicionamos o quadradinho verde na constru\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica, para que as rela\u00e7\u00f5es alg\u00e9bricas fiquem corretas.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/05\/fig063.png\"  style=\"border:none\"  alt=\"\" width=\"420\" height=\"492\" class=\"aligncenter size-full wp-image-219380\" \/><br \/>\nDessa forma, segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\left(a-b\\right)^2=a^2-a\\cdot b-a\\cdot b+b^2\\\\<br \/>\n\\qquad \\boxed{~\\left(a-b\\right)^2=a^2-2ab+b^2}~.[\/tex]<br \/>\nO que fizemos agora foi uma demonstra\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica do produto not\u00e1vel do <strong>quadrado de uma diferen\u00e7a<\/strong>!<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px; border: 0 none;\" \/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\"> <strong>COM Pot\u00eancias de Euler<\/strong> <span style=\"font-size:15px;\">(EECIT Lynaldo Cavalcanti de Albuquerque &#8211; Patos, PB)<\/span>.<br \/>\n<strong>Equipe COM &#8211; OBMEP<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) 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