{"id":217743,"date":"2024-05-05T05:17:10","date_gmt":"2024-05-05T08:17:10","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=217743"},"modified":"2024-05-05T05:17:10","modified_gmt":"2024-05-05T08:17:10","slug":"a-problema-remedios","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problema-remedios\/","title":{"rendered":"(A) Problema: Rem\u00e9dios"},"content":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema.<\/p>\n

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\n

Problema
\n (Indicado a partir da [tex]7^\\circ[\/tex] S\u00e9rie do E. F.)<\/span><\/p>\n

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Um frasco do medicamento [tex]A[\/tex] tem [tex]153[\/tex] comprimidos e um frasco do medicamento [tex]B[\/tex] tem [tex]192[\/tex] comprimidos. Jos\u00e9 do En\u00e7a deve tomar [tex]4[\/tex] comprimidos por dia do medicamento [tex]A [\/tex] e [tex]3[\/tex] por dia do [tex]B[\/tex], em dias alternados, iniciando pelo [tex]A[\/tex], ou seja, ele tomar\u00e1 [tex]4[\/tex] comprimidos do [tex] A[\/tex] no primeiro dia, [tex]3[\/tex] do [tex]B[\/tex] no segundo, [tex]4[\/tex] do [tex]A [\/tex] no terceiro, etc.<\/p>\n

(a)<\/strong> Ap\u00f3s quantos dias do in\u00edcio do tratamento terminar\u00e1 o primeiro frasco do medicamento [tex]B[\/tex]?<\/p>\n

(b)<\/strong> Um frasco destes medicamentos, tanto [tex]A[\/tex] quanto [tex]B[\/tex], demora [tex]2[\/tex] dias para chegar \u00e0 casa de Jos\u00e9. A partir do in\u00edcio do tratamento, depois de quantos dias, no m\u00e1ximo, ele dever\u00e1 solicitar um novo frasco de medicamento, para n\u00e3o correr o risco de ficar sem?<\/p>\n

Extra\u00eddo de XXIII Olimp\u00edada Paulista de Matem\u00e1tica <\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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(a)<\/strong> Observem que, como [tex]192=3\\times 64[\/tex], vemos que o primeiro frasco do medicamento [tex]B[\/tex] possui comprimidos suficientes para [tex]64[\/tex] ingest\u00f5es de [tex]3[\/tex] comprimidos.
\nComo Jos\u00e9 est\u00e1 tomando esse medicamento em dias alternados, os comprimidos da primeira ingest\u00e3o ser\u00e3o tomados no dia [tex]2[\/tex], os comprimidos da segunda ingest\u00e3o no dia [tex]4[\/tex], os da terceira no dia [tex]6[\/tex] e, assim por diante, at\u00e9 que os comprimidos da ingest\u00e3o de n\u00famero [tex]64[\/tex] ser\u00e3o tomados no dia de n\u00famero [tex]128[\/tex]. Podemos concluir que ap\u00f3s [tex]128[\/tex] dias o primeiro frasco do medicamento [tex]B[\/tex] ir\u00e1 terminar. <\/p>\n

\n

(b)<\/strong> J\u00e1 sabemos que o medicamento [tex]B[\/tex] durar\u00e1 [tex]128[\/tex] dias. Passamos agora a calcular quantos dias durar\u00e1 o frasco do medicamento [tex]A[\/tex]. Como [tex]153=38\\cdot 4+1[\/tex], conclu\u00edmos que um frasco do medicamento [tex]A[\/tex] possui comprimidos suficientes para [tex]38[\/tex] ingest\u00f5es de [tex]4[\/tex] comprimidos e sobrar\u00e1 um comprimido.
\nObserve que os comprimidos da primeira ingest\u00e3o ser\u00e3o tomados no dia [tex]1[\/tex], os comprimidos da segunda ingest\u00e3o no dia [tex]3[\/tex], da terceira no dia [tex]5[\/tex] e, assim por diante, at\u00e9 que os comprimidos da ingest\u00e3o de n\u00famero [tex]38[\/tex] ser\u00e3o tomados no dia de n\u00famero [tex]2\\cdot 38-1=75[\/tex]. Podemos concluir que ap\u00f3s [tex]75[\/tex] dias o primeiro frasco do medicamento [tex]A[\/tex] ir\u00e1 terminar (sobrando um comprimido, o que n\u00e3o \u00e9 suficiente para outra dose). Assim, o medicamento [tex]A[\/tex] terminar\u00e1 primeiro e, levando-se em considera\u00e7\u00e3o os dois dias necess\u00e1rios para a entrega, no m\u00e1ximo [tex]75[\/tex] dias ap\u00f3s o in\u00edcio do tratamento ele dever\u00e1 solicitar um novo frasco do medicamento [tex]A[\/tex], pois este chegar\u00e1 no dia de n\u00famero [tex]77[\/tex] (no dia de n\u00famero [tex]76[\/tex] ele ir\u00e1 tomar o medicamento [tex]B[\/tex]).<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema. Problema (Indicado a partir da [tex]7^\\circ[\/tex] S\u00e9rie do E. F.) Um frasco do medicamento [tex]A[\/tex] tem [tex]153[\/tex] comprimidos e um frasco do medicamento [tex]B[\/tex] tem [tex]192[\/tex] comprimidos. Jos\u00e9 do En\u00e7a deve tomar [tex]4[\/tex] comprimidos por dia do medicamento [tex]A [\/tex] e [tex]3[\/tex] por dia do [tex]B[\/tex], em … <\/p>\n

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