{"id":216693,"date":"2024-05-05T04:15:17","date_gmt":"2024-05-05T07:15:17","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=216693"},"modified":"2024-05-05T05:14:21","modified_gmt":"2024-05-05T08:14:21","slug":"problema-premio","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-premio\/","title":{"rendered":".Problema: Pr\u00eamio"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=217735\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;padding-bottom:15px\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nDuas pessoas disputar\u00e3o um pr\u00eamio da seguinte maneira: <\/p>\n<ul><strong>Em uma urna ser\u00e3o colocadas nove bolas vermelhas e uma azul. Cada um dos participantes retira, alternadamente, uma destas bolas. Se a bola retirada for vermelha ela ser\u00e1 inserida novamente na urna e ser\u00e1 a vez do outro participante retirar uma bola.<br \/>\nQuem retirar a bola azul primeiro ser\u00e1 o vencedor.<\/strong> <\/ul>\n<p>Qual \u00e9 a probabilidade de o primeiro a jogar ganhar o pr\u00eamio?<\/p>\n<p style=\"font-size: 12px;text-align:right;line-height:1px;\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nVamos denotar por [tex]p_1[\/tex] e [tex]p_2[\/tex] a probabilidade de o primeiro e de o segundo a jogar, respectivamente, ser o vencedor.<br \/>\nTamb\u00e9m denotaremos por [tex]A[\/tex] o evento <strong>o segundo jogador ganha<\/strong> e, por [tex]B[\/tex], o evento <strong>o primeiro jogador n\u00e3o ganha na primeira retirada<\/strong>.<br \/>\nUsando a f\u00f3rmula de probabilidade condicional, podemos calcular a probabilidade de o segundo jogador ganhar, se o primeiro jogador n\u00e3o ganhar na primeira retirada; \u00e9 esta a f\u00f3rmula:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad P(A|B)=\\dfrac{P(A\\cap B)}{P(B)}.[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>Observem que, se o primeiro a jogar n\u00e3o retirar a bola azul, ent\u00e3o o segundo a jogar se encontra com a mesma chance de vencer o pr\u00eamio que o primeiro jogador se encontrava no in\u00edcio da competi\u00e7\u00e3o, ou seja, [tex]\\boxed{P(A|B)=p_1}.[\/tex] <\/li>\n<li>Podemos calcular que a probabilidade do primeiro jogador n\u00e3o retirar a bola azul na primeira tentativa \u00e9 [tex]9\/10[\/tex], ou seja, [tex]\\boxed{P(B)=9\/10}.[\/tex] <\/li>\n<li>Por \u00faltimo, observem que [tex]A\\subset B[\/tex], pois o segundo jogador ganha somente se o primeiro jogador n\u00e3o retirar a bola azul na primeira tentativa; assim, [tex]A\\cap B=A[\/tex] e, portanto,  [tex]\\boxed{P(A\\cap B)=P(A)=p_2}.[\/tex] <\/li>\n<\/ul>\n<p>Substituindo essas tr\u00eas informa\u00e7\u00f5es na f\u00f3rmula da probabilidade condicional, segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad p_1=\\dfrac{p_2}{9\/10}\\\\<br \/>\n\\qquad p_2=(9\/10)\\cdot p_1.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Finalizando, como sabemos que [tex]p_1+p_2=1[\/tex], temos [tex]p_1+(9\/10)p_1=1[\/tex], ou seja, [tex](19\/10)p_1=1[\/tex] e, portanto, [tex]p_1=10\/19\\approx 0,53[\/tex].<br \/>\nEnt\u00e3o, o primeiro a jogar tem probabilidade aproximada de [tex]53\\%[\/tex] de vencer. <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" >Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.) Duas pessoas disputar\u00e3o um pr\u00eamio da seguinte maneira: Em uma urna ser\u00e3o colocadas nove bolas vermelhas e uma azul. Cada um dos participantes retira, alternadamente, uma destas bolas. Se a bola retirada for vermelha ela ser\u00e1 inserida &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-premio\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-216693","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/216693","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=216693"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/216693\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":217738,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/216693\/revisions\/217738"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=216693"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}