\n
Problema [tex]\\qquad \\qquad \\quad \\boxed{ \\, x \\triangle y= x^2+y \\, } \\, .[\/tex]<\/p>\n (a)<\/strong> Determine [tex]5 \\triangle 1[\/tex].<\/p>\n (b)<\/strong> Existe um n\u00famero real [tex]a[\/tex] tal que [tex]a \\triangle b=b[\/tex], para todo n\u00famero real [tex]b[\/tex]?<\/p>\n (c)<\/strong> Se [tex]r_1 \\, [\/tex] e [tex] \\, r_2[\/tex] s\u00e3o as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{(2x)\\triangle 1+1\\triangle (2x)=x\\triangle 2}[\/tex], determine o valor de [tex]r_1+r_2[\/tex].<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n (b)<\/strong> Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros reais. \n Assim, se [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=0$} \\, [\/tex], ent\u00e3o [tex]a \\triangle b=b[\/tex] para todo n\u00famero real [tex]b \\, .[\/tex]<\/p>\n \n (c)<\/strong> Sejam [tex]r_1 \\, [\/tex] e [tex] \\, r_2[\/tex] ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex](2x)\\triangle 1+1\\triangle (2x)=x\\triangle 2 \\, .[\/tex] Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n
\n(ONEM<\/strong> 2010 – Adaptado) Vamos trabalhar no conjunto dos n\u00fameros reais, utilizando uma opera\u00e7\u00e3o diferente das habituais.
\nEssa opera\u00e7\u00e3o, indicada por [tex]\\triangle[\/tex], ser\u00e1 assim definida:<\/p>\n
\n(a)<\/strong> Utilizando a defini\u00e7\u00e3o da opera\u00e7\u00e3o [tex]\\triangle [\/tex], temos que:
\n[tex]\\qquad 5 \\triangle 1=5^2+1[\/tex]
\n[tex]\\qquad 5 \\triangle 1=25+1[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5 \\triangle 1=26$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\nNote que
\n[tex]\\qquad \\qquad \\quad \\quad a \\triangle b=b \\Leftrightarrow a^2+b=b \\Leftrightarrow a^2=0 \\Leftrightarrow a=0 \\, .[\/tex]<\/p>\n
\nComo
\n[tex]\\quad \\begin{align*}\\boxed{(2x)\\triangle 1+1\\triangle (2x)=x\\triangle 2} &\\Leftrightarrow \\left(\\left(2x\\right)^2+1\\right)+ \\left(1^2+2x\\right)=x^2+2 \\Leftrightarrow\\\\
\n&\\Leftrightarrow \\boxed{3x^2+2x=0} \\, , \\end{align*}[\/tex]
\nent\u00e3o [tex]r_1 \\, [\/tex] e [tex] \\, r_2[\/tex] s\u00e3o ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]3x^2+2x=0 \\, .[\/tex]
\nMas sabemos que
\n[tex]\\qquad \\qquad \\quad\\boxed{3x^2+2x=0} \\Leftrightarrow x\\cdot(3x+2)=0 \\Leftrightarrow x=0 \\text{ ou } x=-\\frac{2}{3} \\, [\/tex];
\nportanto, as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{3x^2+2x=0}[\/tex] s\u00e3o [tex]\\boxed{ 0 \\text{ e } -\\frac{2}{3}} \\, [\/tex], que s\u00e3o tamb\u00e9m as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{(2x)\\triangle 1+1\\triangle (2x)=x\\triangle 2} \\, .[\/tex]
\nDessa forma, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$r_1+r_2=0-\\dfrac{2}{3}=-\\dfrac{2}{3}$}[\/tex].<\/p>\n
\n\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n\n
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