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Problema Se [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos e distintos tais que [tex]a\\gt 4[\/tex], [tex]b \\gt 5[\/tex] e [tex]c \\lt 7[\/tex], qual \u00e9 o menor valor do n\u00famero [tex]a+b-c \\, ?[\/tex]<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Observe que, como [tex]a\\gt 4[\/tex], [tex]b \\gt 5[\/tex] e [tex]c \\lt 7[\/tex] e os tr\u00eas n\u00fameros s\u00e3o naturais, ent\u00e3o Com esses valores, ter\u00edamos [tex]a+b-c=5+6-6=5[\/tex], mas perceba que [tex]b=c=6[\/tex], o que contraria a hip\u00f3tese de que [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] s\u00e3o distintos. Logo, Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n
\n
\n
\n[tex]\\qquad \\quad a \\geqslant 5 \\, [\/tex],
\n[tex]\\qquad \\quad b \\geqslant 6 \\, [\/tex],
\n[tex]\\qquad -c \\geqslant -6 \\, [\/tex],
\ndonde, somando termo a termo as tr\u00eas desigualdades, segue que
\n[tex]\\qquad a+b-c \\geqslant 5+6-6 \\, [\/tex]
\ne assim
\n[tex]\\qquad \\boxed{a+b-c \\geqslant 5} \\, .\\quad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nPor outro lado, o menor valor de [tex]a+b-c[\/tex] ocorre quando [tex]a+b[\/tex] assume o menor valor poss\u00edvel e [tex] \\, c \\, [\/tex], o maior.<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad a+b-c\\ne 5.\\quad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\nPor [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex] \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], segue que
\n[tex]\\qquad \\boxed{a+b-c \\geqslant 6} \\, .[\/tex]
\nFinalmente, note que se [tex]a=5[\/tex], [tex]b=7[\/tex] e [tex]c=6[\/tex], ent\u00e3o [tex]a+b-c=5+7-6=6[\/tex] e [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos e distintos. Assim, o n\u00famero m\u00ednimo buscado \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
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