{"id":215642,"date":"2024-04-05T04:37:13","date_gmt":"2024-04-05T07:37:13","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=215642"},"modified":"2024-04-06T04:23:26","modified_gmt":"2024-04-06T07:23:26","slug":"a-problemao-area-do-triangulo-pqr","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problemao-area-do-triangulo-pqr\/","title":{"rendered":"(A) Problem\u00e3o: \u00c1rea do tri\u00e2ngulo PQR"},"content":{"rendered":"<p class=\"ti3\"  style=\"text-align:center;\">Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;margin-top:10px;\">\n<input class=\"bo1 c1 cb13\" style=\"width:150px;\" value=\"Problema\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Problema';}\" \/>  <\/p>\n<div style=\"display: none;\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 25px; padding-bottom: 15px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 25px; margin: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size: 12px; color: #800000;\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\n(<strong>FCMSCSP, 2021<\/strong> &#8211; Adaptado) Um c\u00edrculo de centro [tex]K[\/tex] tangencia o lado [tex]\\overline{RP}[\/tex] de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo [tex]PQR[\/tex] de hipotenusa [tex]\\overline{QR}[\/tex]. Esse c\u00edrculo gira, mantendo-se tangente a [tex]\\overline{RP}[\/tex], at\u00e9 tangenciar [tex]\\overline{PQ}[\/tex]. Em seguida, ele gira tangenciando [tex]\\overline{PQ}[\/tex], at\u00e9 tangenciar [tex]\\overline{QR}[\/tex]. Por fim, ele gira tangenciando [tex]\\overline{QR}[\/tex] at\u00e9 que seu centro [tex]K[\/tex] volte \u00e0 posi\u00e7\u00e3o inicial.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/fran027.png\" alt=\"\" width=\"280\" height=\"258\" class=\"aligncenter size-full wp-image-215680\" \/><\/p>\n<p>Sabendo-se que o raio do c\u00edrculo mede [tex]1\\;cm[\/tex] e que os lados do tri\u00e2ngulo medem [tex]RP = 8 \\;cm[\/tex], [tex]PQ = 6 \\; cm[\/tex] e [tex]QR = 10 \\;cm[\/tex], determine a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo formado pela trajet\u00f3ria descrita por [tex]K[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"border: 2px dashed #800000; text-align:justify; padding: 10px; width:85%; margin-left: auto; margin-right: auto;\" >\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:30px;margin:10px\"> Um applet para ajudar na visualiza\u00e7\u00e3o do enunciado<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nVoc\u00ea pode utilizar este applet para ver o movimento do c\u00edrculo  e, principalmente, observar o tri\u00e2ngulo descrito pela trajet\u00f3ria do centro [tex]K[\/tex].<br \/>\n<strong>Instru\u00e7\u00f5es<\/strong>:<br \/>\n<strong>(1)<\/strong> Espere o applet carregar. <span style=\"font-size:12px\">(O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)<\/span><br \/>\n<strong>(2)<\/strong> Para fazer o c\u00edrculo girar, clique com o bot\u00e3o direito do mouse sobre o ponto  <strong><span style=\"color:#0000FF;\">K<\/span><\/strong> e selecione a op\u00e7\u00e3o <strong>Anima\u00e7\u00e3o<\/strong> na janelinha que se abriu.<br \/>\n<strong>(3)<\/strong> Clique no \u00edcone <strong>||<\/strong> que apareceu no canto inferior esquerdo da janela, para parar a anima\u00e7\u00e3o.<br \/>\n<strong>(4)<\/strong>  Clique no \u00edcone \u25ba que apareceu no canto inferior esquerdo da janela, para reiniciar a anima\u00e7\u00e3o.<br \/>\n<strong>(5)<\/strong> Se quiser voltar para a visualiza\u00e7\u00e3o inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do aplicativo.<\/p>\n<p style=\"text-align:center; line-height:12px;\">\n<iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" title=\"Um c\u00edrculo girando\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/tm5ysg8r\/width\/600\/height\/434\/border\/800000\/sfsb\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/true\/rc\/true\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"587px\" height=\"444px\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><br \/>\n <span style=\"font-size: 14px;line-height: 12px;\">OBMEP_ srdg, criado com o <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\">GeoGebra<\/a><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:85%; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"81\" height=\"97\" class=\"alignright size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\"> Lembrete para a Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><strong>Rela\u00e7\u00e3o dos segmentos tangentes:<\/strong> Se de um ponto [tex]T[\/tex] conduzirmos os segmentos [tex]\\overline{TT_1}[\/tex] e  [tex]\\overline{TT_2}[\/tex] tangentes a uma circunfer\u00eancia, sendo [tex]T_1[\/tex] e [tex]T_2[\/tex] pontos da circunfer\u00eancia, ent\u00e3o [tex]\\overline{TT_1}[\/tex] e  [tex]\\overline{TT_2}[\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/f103.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"289\" class=\"aligncenter size-full wp-image-179613\" \/>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 28px; margin: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nComo o raio do c\u00edrculo mede [tex]1 \\;cm[\/tex], ent\u00e3o a dist\u00e2ncia entre os lados do tri\u00e2ngulo [tex]PQR[\/tex] e os lados correspondentes do tri\u00e2ngulo formado pela trajet\u00f3ria do c\u00edrculo \u00e9 igual a [tex]1 \\;cm[\/tex], ou seja, os lados s\u00e3o paralelos, o que implica que os \u00e2ngulos internos correspondentes dos tri\u00e2ngulos t\u00eam as mesmas medidas e, portanto, os tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes.<br \/>\nPor outro lado, utilizando o <strong>Lembrete<\/strong>, podemos concluir que os segmentos tangentes aos c\u00edrculos partindo do v\u00e9rtice [tex]R~[\/tex], e tamb\u00e9m do v\u00e9rtice [tex]~Q[\/tex], at\u00e9 os respectivos pontos de tang\u00eancia t\u00eam o mesmo comprimento: digamos [tex]x~[\/tex] e [tex]~y.[\/tex]<br \/>\nObserve a figura abaixo.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/tri\u00e2ngulo-pqr1.png\" style=\"border:none\"  alt=\"\" width=\"376\" height=\"274\" class=\"aligncenter size-full wp-image-214192\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/tri\u00e2ngulo-pqr1.png 376w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/tri\u00e2ngulo-pqr1-300x219.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 376px) 100vw, 376px\" \/><\/p>\n<p>Agora, sendo [tex]\\alpha[\/tex] a medida do \u00e2ngulo [tex]P\\hat{R}Q[\/tex], temos [tex]\\text{sen} \\;\\alpha = \\dfrac{6}{10}[\/tex] e [tex]\\cos \\;\\alpha = \\dfrac{8}{10}[\/tex]. Assim, em rela\u00e7\u00e3o ao tri\u00e2ngulo menor, devemos ter:<\/p>\n<p>[tex]\\quad \\begin{cases}\\text{sen} \\;\\alpha = \\dfrac{5-y}{10-x-y} = \\dfrac{6}{10}\\\\<br \/>\n\\cos \\;\\alpha = \\dfrac{7-x}{10-x-y} = \\dfrac{8}{10}<br \/>\n\\end{cases}.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Com isso, segue que:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\quad \\begin{cases}10\\cdot (5-y)= 6\\cdot (10-x-y)\\\\<br \/>\n10\\cdot (7-x) = 8\\cdot (10-x-y)<br \/>\n\\end{cases}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>ou ainda:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\quad \\begin{cases}6x-4y= 10\\\\<br \/>\n2x-8y = -10<br \/>\n\\end{cases}.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Multiplicando a segunda equa\u00e7\u00e3o do \u00faltimo sistema por [tex]-3[\/tex] e somando \u00e0 primeira, obtemos [tex]20y = 40[\/tex] e assim [tex]y = 2 \\;cm.[\/tex]<br \/>\nSubstituindo o valor de [tex]y[\/tex] na primeira equa\u00e7\u00e3o do \u00faltimo sistema, obtemos [tex]x = 3 \\;cm[\/tex].<br \/>\nLogo, a \u00e1rea [tex]A[\/tex] do tri\u00e2ngulo formado pela trajet\u00f3ria descrita por [tex]K[\/tex] \u00e9<br \/>\n[tex]\\quad A=\\dfrac{(7-x)(5-y)}{2} = \\dfrac{4\\cdot 3}{2}\\\\<br \/>\n \\quad \\boxed{A= 6 \\;cm^2}.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px; border: 0 none;\" \/>\n<p class=\"g2\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 28px; margin: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nSabemos que o raio do c\u00edrculo que gira mede [tex]1 \\text{ cm}[\/tex]; assim, as dist\u00e2ncias entre os lados do tri\u00e2ngulo [tex]RPQ[\/tex] e os lados correspondentes do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] definido pela trajet\u00f3ria do c\u00edrculo s\u00e3o iguais a [tex]1 \\text{ cm}[\/tex].<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/fran022_2.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"350\" height=\"382\" class=\"aligncenter size-full wp-image-215700\" \/><br \/>\nDessa forma, os lados correspondentes dos dois tri\u00e2ngulos s\u00e3o paralelos, o que implica nos \u00e2ngulos internos correspondentes dos tri\u00e2ngulos terem a mesma medida e, consequentemente, os tri\u00e2ngulos [tex]RPQ[\/tex] e [tex]ABC[\/tex] s\u00e3o semelhantes.<br \/>\nPodemos, ent\u00e3o, concluir que os lados do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] medem [tex]6k\\text{ cm}[\/tex], [tex]8k\\text{ cm}[\/tex] e [tex]10k\\text{ cm}[\/tex], sendo [tex]k \\gt 0[\/tex] a constante de proporcionalidade. Observe a figura.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/fran023.png\" style=\"border:none\"  alt=\"\" width=\"350\" height=\"393\" class=\"aligncenter size-full wp-image-214760\" \/><br \/>\nPerceba que podemos decompor a \u00e1rea interna do tri\u00e2ngulo [tex]RPQ[\/tex] como a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] e dos trap\u00e9zios [tex]ARPB[\/tex], [tex]BPQC[\/tex] e [tex]CQRA[\/tex]; portanto temos a seguinte soma de \u00e1reas:<br \/>\n[tex]\\qquad S_{RPQ}=S_{ABC}+S_{ARPB}+S_{BPQC}+S_{CQRA}\\,.[\/tex]<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/fran024.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"450\" height=\"388\" class=\"aligncenter size-full wp-image-214763\" \/><br \/>\nVamos aos c\u00e1lculos:<br \/>\n[tex]\\qquad S_{RPQ}=S_{ABC}+S_{ARPB}+S_{BPQC}+S_{CQRA}\\\\<br \/>\n\\qquad \\dfrac{8 \\times 6}{2}=\\dfrac{8k \\times 6k}{2}+\\dfrac{\\left(8+8k \\right)\\times1}{2}+\\dfrac{\\left(6+6k \\right)\\times1}{2}+\\dfrac{\\left(10+10k \\right)\\times1}{2}\\\\<br \/>\n\\qquad \\dfrac{8 \\times 6}{2}=\\dfrac{8k \\times 6k}{2}+\\dfrac{8+8k}{2}+\\dfrac{6+6k}{2}+\\dfrac{10+10k}{2}\\\\<br \/>\n\\qquad \\dfrac{8 \\times 6}{\\cancel{2}}=\\dfrac{8k \\times 6k}{\\cancel{2}}+\\dfrac{8+8k}{\\cancel{2}}+\\dfrac{6+6k}{\\cancel{2}}+\\dfrac{10+10k}{\\cancel{2}}\\\\<br \/>\n\\qquad 48=48k^2+24+24k\\\\<br \/>\n\\qquad 2=2k^2+1+k\\\\<br \/>\n\\qquad 2k^2+k-1=0.[\/tex]<br \/>\nAgora, vamos determinar os valores de [tex]k[\/tex] que satisfazem a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{2k^2+k-1=0}[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad k =\\dfrac{-1\\pm\\sqrt{1+8~}}{2\\times 2}\\\\<br \/>\n\\qquad k =\\dfrac{-1\\pm 3}{4}\\\\<br \/>\n\\qquad k =\\dfrac{-1+ 3}{4} \\text{ ou } k =\\dfrac{-1- 3}{4}\\\\<br \/>\n\\qquad k =\\dfrac{1}{2} \\text{ ou } k =-1.\\\\<br \/>\n[\/tex]<br \/>\nFinalmente, observe que [tex]6k[\/tex], [tex]8k[\/tex] e [tex]10k[\/tex] s\u00e3o comprimentos, o que nos leva a eliminar o valor [tex]k =-1[\/tex]. Assim, os lados do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] s\u00e3o [tex]6\\times \\dfrac{1}{2}[\/tex], [tex]8\\times \\dfrac{1}{2}[\/tex] e [tex]10\\times \\dfrac{1}{2}[\/tex], ou seja, [tex]3[\/tex], [tex]4[\/tex] e [tex]5[\/tex] cent\u00edmetros.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/fran025.png\" style=\"border:none\"  alt=\"\" width=\"274\" height=\"221\" class=\"aligncenter size-full wp-image-214799\" \/><br \/>\nCom isso, conclu\u00edmos que<br \/>\n[tex]\\qquad S_{ABC}= \\dfrac{4 \\times 3}{2}=\\boxed{6 { cm}^2}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px; border: 0 none;\" \/>\n<p class=\"g2\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema. Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (FCMSCSP, 2021 &#8211; Adaptado) Um c\u00edrculo de centro [tex]K[\/tex] tangencia o lado [tex]\\overline{RP}[\/tex] de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo [tex]PQR[\/tex] de hipotenusa [tex]\\overline{QR}[\/tex]. Esse c\u00edrculo gira, mantendo-se tangente a [tex]\\overline{RP}[\/tex], at\u00e9 tangenciar [tex]\\overline{PQ}[\/tex]. Em seguida, ele gira tangenciando [tex]\\overline{PQ}[\/tex], &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problemao-area-do-triangulo-pqr\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-215642","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/215642","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=215642"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/215642\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":215702,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/215642\/revisions\/215702"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=215642"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}