{"id":21542,"date":"2014-08-11T17:16:18","date_gmt":"2014-08-11T20:16:18","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=21542"},"modified":"2022-12-28T21:58:34","modified_gmt":"2022-12-29T00:58:34","slug":"sala-de-leitura_009-fatorial-e-permutacao-simples","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-leitura_009-fatorial-e-permutacao-simples\/","title":{"rendered":".Texto_009: Fatorial e Permuta\u00e7\u00e3o Simples"},"content":{"rendered":"<div style=\"border: 8px double #BDB76B;padding: 20px;color: #363636;\">\n<p class=\"tiss\" style=\"color: #BDB76B;line-height:25px;margin:10px\">Fatorial e Permuta\u00e7\u00e3o Simples<\/p>\n<hr style=\"height:3px; width:98%;background-color:#BDB76B; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:95%;background-color:#BDB76B; border: 0 none\"\/>\n<div style=\"texT-align:justify;\">\n<p style=\"margin:50px;\">\n<p class=\"gr3 cb84\" style=\"background-color: #CDC673;\">De quantas maneiras os cinco membros de um Clube Ol\u00edmpico de Matem\u00e1tica podem se organizar em uma sala de computa\u00e7\u00e3o com cinco computadores?<\/p>\n<p><a id=\"O1\"><\/a><\/p>\n<p style=\"margin:50px;\">\n<div class=\"gr1\" style=\"border: 3px solid #BDB76B;\">\n<p class=\"tis\" style=\"color: #BDB76B;line-height:25px;margin:10px\">Fatorial<\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:97%;background-color:#BDB76B; border: 0 none\"\/>\n<div style=\"padding: 30px;\">Perguntas como a apresentada acima podem ser encontradas com muita frequ\u00eancia no nosso cotidiano; e, em geral, pelo <strong>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong> (PFC), tamb\u00e9m chamado de <strong>Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>, a resposta a esse tipo de problema \u00e9 imediata.<\/p>\n<p style=\"padding: 10px; border-style: dotted; border-color :#BDB76B; border-width :2px; width:70%;margin-left: auto; margin-right: auto;\">\nNo caso do problema formulado, h\u00e1 5 possibilidades para escolhermos a pessoa que utilizar\u00e1 o primeiro computador. Escolhida tal pessoa, h\u00e1 4 possibilidades para aquela que ocupar\u00e1 o segundo computador.<br \/>\nSeguindo esse racioc\u00ednio, \u00e9 muito simples perceber que, utilizando o <strong><em>PFC<\/em><\/strong>, a resposta ao problema ser\u00e1:<br \/>\n<span class=\"lat\"><span style=\"padding-left: 30px;\">  5 &#8901; 4 &#8901; 3 &#8901; 2 &sdot; 1 = 120<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Imagine, por\u00e9m, que o problema inicial se referisse a 100 funcion\u00e1rios do <em>Call Center<\/em> de uma importante empresa que fossem fazer um treinamento em uma gigantesca sala de computa\u00e7\u00e3o, com 100 computadores. Ser\u00e1 que, para registrarmos a solu\u00e7\u00e3o, precisar\u00edamos escrever o correspondente produto com cem  fatores???<br \/>\nCom certeza n\u00e3o precisar\u00edamos escrever todos os cem fatores e nem  mesmo express\u00f5es com uso de retic\u00eancias, como, por exemplo, <span class=\"lat\">100 &#8901; 99 &#8901; 98 &#8901; . . . &#8901; 2 &#8901; 1<\/span>. Explicitar produtos como esse toda vez que eles aparecerem \u00e9 algo desnecess\u00e1rio, j\u00e1 que o matem\u00e1tico franc\u00eas <strong><em>Christian Kramp<\/em><\/strong> (Conhe\u00e7a um pouco do trabalho desse matem\u00e1tico <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=21926\" title=\"Aprenda um puco mais\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #BDB76B;\"> <strong><em>aqui<\/em><\/strong><\/span><\/a>.) decidiu adotar uma nota\u00e7\u00e3o muito simples para produtos desse tipo:&nbsp; ele decidiu representar o fatorial do n\u00famero [tex]n[\/tex] por [tex]n![\/tex] (<strong>leia n fatorial<\/strong>).<br \/>\n<span style=\"padding-left: 50px;\"><strong><em>&#8211; Elegante, n\u00e3o \u00e9?<\/em> <\/strong><\/span><br \/>\nPor\u00e9m, esta nota\u00e7\u00e3o n\u00e3o foi a \u00fanica utilizada para representar o fatorial de um n\u00famero natural. Para conhecer um pouco dessa hist\u00f3ria, clique no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div style=\"text-align:center\">\n<div>\n<input   value=\"Um pouco sobre a nota\u00e7\u00e3o n!\" style=\"padding: 0px; width: 270px; height: 40px; background-color:#BDB76B; font-size: 18px; font-family: Calibri, sans-serif; color: #ffffff;\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Fechar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Um pouco sobre a nota\u00e7\u00e3o n!';}\"    type=\"button\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none; text-align:justify;\" >\n<div class=\"gr1\" style=\"border: 2px solid #BDB76B;\">\n<ul>\n<li>Dizem os historiadores que o primeiro uso de uma multiplica\u00e7\u00e3o de longas sequ\u00eancias de n\u00fameros sucessivos para um problema espec\u00edfico pode ter surgido com <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/leonhard-euler\/\" title=\"Conhe\u00e7a um pouco da vida deste brilhante matem\u00e1tico.\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #0000ee;\">Euler<\/span><\/a>, em resolu\u00e7\u00f5es de problemas sobre jogos. Em um artigo intitulado <em><strong>Calcul de la probabilit\u00e9 dans le jeu de rencontre<\/strong><\/em> (C\u00e1lculo da probabilidade no jogo da coincid\u00eancia), publicado em 1753, Euler escreveu:<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/euler.png\"  alt=\"euler\" width=\"535\" height=\"74\" class=\"aligncenter size-full wp-image-22788\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/euler.png 535w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/euler-300x41.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 535px) 100vw, 535px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin-left:40px;\">A primeira parte deste trecho pode ser traduzida como: <strong>Este n\u00famero de casos 1&#8901; 2 &#8901; 3 &#8901; 4 &#8901; &#8230; &#8901;<em> m<\/em>  &nbsp; est\u00e1 sendo colocado como <span style=\"font-size: 20px;\">=<\/span>M &nbsp; por abrevia\u00e7\u00e3o<\/strong>.<br \/>\nEm 1772, o matem\u00e1tico franc\u00eas <strong>Alexandre-The\u00f3phile Vandermonde<\/strong> utilizou a nota\u00e7\u00e3o <span class=\"lat\"> [<em>p<\/em>]<sup><em>n<\/em><\/sup> <\/span> para representar o produto dos  fatores de <span class=\"lat\"> p &#8901; (<em>p<\/em> &#8211; 1) &#8901; (<em>p<\/em> &#8211; 2)&#8901; &#8230; &#8901; (<em>p &#8211; n<\/em> + 1)<\/span>.<br \/>\nCom essa nota\u00e7\u00e3o, [tex] [p]^p[\/tex] representaria o que hoje escrevemos como <span class=\"lat\"><em>p<\/em>!<\/span>. A nota\u00e7\u00e3o de Vandermonde inclu\u00eda um m\u00e9todo para pular n\u00fameros, de modo que  <span class=\"lat\"> [<em>p<\/em>\/3]<sup><em>n<\/em><\/sup> <\/span>, por exemplo, indicaria <span class=\"lat\"> <em>p<\/em> &#8901; (<em>p<\/em> &#8211; 3) &#8901;(<em>p<\/em> &#8211; 6)  &#8901;&#8230; &#8901; (<em>p<\/em> &#8211; 3 (<em>n<\/em> &#8211; 1))<\/span>.<br \/>\n Alguns anos mais tarde, um educador alem\u00e3o chamado <strong>Johan Bernhard Basedow<\/strong> passou a usar uma estrela ou asterisco para indicar o fatorial:  <span class=\"lat\"><em>n<\/em><sup>*<\/sup><\/span>. No in\u00edcio do s\u00e9culo XIX, alguns matem\u00e1ticos utilizavam a nota\u00e7\u00e3o  <span class=\"lat\"> &#928;(<em>n<\/em>)<\/span> para a mesma finalidade.<br \/>\nAo que tudo indica, Kramp foi o primeiro a utilizar a nota\u00e7\u00e3o [tex]n![\/tex], em 1808, mas o nome  <strong>fatorial <\/strong> foi dado pelo matem\u00e1tico <strong>Louis Arbogast<\/strong>. A nota\u00e7\u00e3o de Kramp  e a nomenclatura de Arbogast resistiram ao tempo e s\u00e3o as utilizadas nos dias de hoje; no entanto a utiliza\u00e7\u00e3o do s\u00edmbolo de Kramp n\u00e3o foi sempre uma unanimidade. As imagens abaixo mostram que um outro s\u00edmbolo de fatorial foi utilizado at\u00e9 um passado recente: <span class=\"lat\">|<u>n<\/u><\/span>. Esta outra nota\u00e7\u00e3o foi criada, em 1827, pelo<strong><em> Rev. Thomas Jarrett<\/em><\/strong>.<br \/>\n<div id=\"attachment_22830\" style=\"width: 380px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-22830\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/fat1.png\" alt=\" copy of the 1830 paper on Google Books\" width=\"380\" height=\"124\" class=\"size-full wp-image-22830\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/fat1.png 380w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/fat1-300x97.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 380px) 100vw, 380px\" \/><p id=\"caption-attachment-22830\" class=\"wp-caption-text\">C\u00f3pia de um texto de 1830<\/p><\/div><div id=\"attachment_22831\" style=\"width: 569px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-22831\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/fat2.png\" alt=\" 1889 textbook, A College Algebra by J.M. Taylor\" width=\"569\" height=\"178\" class=\"size-full wp-image-22831\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/fat2.png 569w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/fat2-300x93.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 569px) 100vw, 569px\" \/><p id=\"caption-attachment-22831\" class=\"wp-caption-text\">C\u00f3pia de um texto de 1889,  <em>A College Algebra<\/em>, escrito por  <strong>J.M. Taylor<\/strong><\/p><\/div><div id=\"attachment_22833\" style=\"width: 596px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-22833\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/fat3.png\" alt=\"Esta imagem \u00e9 de uma observa\u00e7\u00e3o escrita uma p\u00e1gina de um texto sobre Combinat\u00f3ria, escrito em 1922, por Walter Burton Ford, da Universidade de Michigan.\" width=\"596\" height=\"235\" class=\"size-full wp-image-22833\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/fat3.png 596w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/fat3-300x118.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 596px) 100vw, 596px\" \/><p id=\"caption-attachment-22833\" class=\"wp-caption-text\">Observa\u00e7\u00e3o encontrada em uma p\u00e1gina de um texto sobre Combinat\u00f3ria, escrito em 1922, por <strong><em>Walter Burton Ford<\/em><\/strong>, da Universidade de Michigan.<\/p><\/div><div id=\"attachment_22834\" style=\"width: 518px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-22834\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/fat4.png\" alt=\" Parte de um artigo de C. V. Newsome e John F. Randolph, escrito em 1946.\" width=\"518\" height=\"208\" class=\"size-full wp-image-22834\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/fat4.png 518w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/fat4-300x120.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 518px) 100vw, 518px\" \/><p id=\"caption-attachment-22834\" class=\"wp-caption-text\">Parte de um artigo de <strong>C. V. Newsome<\/strong> e <strong>John F. Randolph<\/strong>, escrito em 1946.<\/p><\/div><br \/>\nSegundo contam, a resist\u00eancia ao uso do ponto de exclama\u00e7\u00e3o para indicar o fatorial teve um representante de peso: o matem\u00e1tico, l\u00f3gico e professor indiano <strong><em>Augustus de Morgan<\/em><\/strong> (1806-1871), radicado na Inglaterra. De Morgan teria classificado como &#8220;barb\u00e1rie&#8221; a utiliza\u00e7\u00e3o de s\u00edmbolos da linguagem comum na matem\u00e1tica!<br \/>\n<div id=\"attachment_22835\" style=\"width: 191px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-22835\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/De-morgan.png\" alt=\"Augustus de Morgan\" width=\"191\" height=\"238\" class=\"size-full wp-image-22835\" \/><p id=\"caption-attachment-22835\" class=\"wp-caption-text\">Augustus de Morgan<\/p><\/div><\/p>\n<ul>\n<li>Finalizando este pequeno coment\u00e1rio hist\u00f3rico, repetimos o que foi escrito em nossa <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/biblioteca-salas-para-leitura-historia\/\" title=\"Visite a Sala. Vale a pena!\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #0000ee;\"><strong>Sala de Hist\u00f3ria<\/strong><\/span><\/a>:<br \/>\n<em>&#8220;A Hist\u00f3ria sempre foi um valioso instrumento para o aprendizado da Matem\u00e1tica. Conhecendo o passado, \u00e9 poss\u00edvel entender que cada t\u00f3pico de Matem\u00e1tica que hoje nos \u00e9 apresentado bem organizado e acabado resultou de grandes esfor\u00e7os das mentes privilegiadas de matem\u00e1ticos que viveram em diferentes \u00e9pocas.&#8221;<\/em>.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p>Pois agora que j\u00e1 viajamos um pouco pela hist\u00f3ria do fatorial, vamos conferir alguns exemplos? Observe:<br \/>\n&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<span class=\"lat\">4! = 4  &#8901; 3  &#8901; 2 &#8901; 1 = 24<\/span>;<br \/>\n&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<span class=\"lat\">10! = 10 &#8901; 9 &#8901;  8 &#8901; 7 &#8901; 6 &#8901; 5 &#8901; 4 &#8901; 3 &#8901; 2 &#8901; 1 = 3628800<\/span><br \/>\n&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<span class=\"lat\"><em>n<\/em>! = <em>n<\/em> &#8901; (<em>n<\/em> &#8211; 1) &#8901; (<em>n<\/em> &#8211; 2) &#8901; &#8230; &#8901; 3 &#8901; 2 &#8901; 1<\/span>.<\/p>\n<p>De uma maneira mais formal, o fatorial de um n\u00famero natural [tex]n[\/tex] \u00e9 o n\u00famero denotado por [tex]n![\/tex] e definido da seguinte forma:<\/p>\n<p style=\"padding: 10px; border-style: dotted; border-color :#BDB76B; border-width :thin; width:230px;margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n [tex]n!=1[\/tex], se [tex]n=0[\/tex];<br \/>\n [tex]n!=n \\cdot (n-1)![\/tex], se [tex]n\\gt 0[\/tex].<\/p>\n<p>A aten\u00e7\u00e3o e o cuidado na hora de trabalhar com fatoriais \u00e9 muito importante. A soma <span class=\"lat\"> <em>a<\/em>! + <strong>b<\/strong>! <\/span> ou o produto <span class=\"lat\"> a!  &#8901; b!<\/span> , por exemplo, <strong>n\u00e3o <\/strong>s\u00e3o equivalentes a <span class=\"lat\">(<em>a + b<\/em>)!<\/span> ou a <span class=\"lat\">(<em>a<\/em> &#8901; <em>b<\/em>)!<\/span> (tente entender o porqu\u00ea!).<br \/>\nUma interessante propriedade dos fatoriais \u00e9 a de que, se [tex]a[\/tex]  e [tex]b[\/tex]  forem n\u00fameros naturais, com [tex]a\\gt b[\/tex], ent\u00e3o<br \/>\n<span style=\"line-height: 35px;\">[tex] \\qquad\\qquad \\dfrac{a!}{b!} = a(a-1)(a-2)\\cdot\\, \\dots\\, \\cdot(b+1)[\/tex]<br \/>\n ou, de forma equivalente,<br \/>\n[tex]\\qquad\\qquad a!=a(a-1)(a-2)\\cdot\\, \\dots\\, \\cdot(b+1)\\cdot b! [\/tex]. <\/span><br \/>\nQue tal tentar provar essas igualdades?<br \/>\nElas facilitam bastante c\u00e1lculos que envolvam fatoriais. De acordo com elas, n\u00f3s temos, por exemplo, [tex]\\dfrac{10!}{9!} = 10[\/tex] e [tex]\\dfrac{50!}{47!} = 50\\cdot 49\\cdot 48 = 117600[\/tex]. Por que isso ocorre?\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><a id=\"O2\"><\/a><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:50%;background-color:#BDB76B; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:60%;background-color:#BDB76B; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px; width:70%;background-color:#BDB76B; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:4px; width:75%;background-color:#BDB76B; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px; width:70%;background-color:#BDB76B; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:60%;background-color:#BDB76B; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:50%;background-color:#BDB76B; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"gr1\" style=\"border: 3px solid #BDB76B;\">\n<p class=\"tis\" style=\"color: #BDB76B;line-height:25px;margin:10px\">Permuta\u00e7\u00e3o Simples<\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:97%;background-color:#BDB76B; border: 0 none\"\/>\n<div style=\"padding: 30px;\">Agora que j\u00e1 estamos mais familiarizados com fatoriais, \u00e9 hora de introduzir o conceito de <strong>permuta\u00e7\u00e3o simples<\/strong>. Lembra-se do tipo de problema citado no in\u00edcio do texto? Pois \u00e9; problemas assim s\u00e3o conhecidos como problemas de permuta\u00e7\u00e3o simples. Em problemas de combinat\u00f3ria, costuma-se indicar por <strong>permuta\u00e7\u00f5es simples as maneiras de se organizar n objetos distintos <\/strong>(pessoas, malas, livros, etc.) <strong>em uma fila<\/strong>. O n\u00famero total desse tipo de organiza\u00e7\u00e3o para n objetos distintos \u00e9 denotado, geralmente, por <span class=\"lat\"> P<sub>n<\/sub><\/span>.<br \/>\nPodemos utilizar o PFC e resolver o problema geral de uma permuta\u00e7\u00e3o simples com n objetos distintos: calcular a quantidade de maneiras de dispormos n diferentes objetos em fila. Para tanto, vamos realizar um racioc\u00ednio semelhante ao realizado no in\u00edcio do texto: calcular o n\u00famero de  maneiras que podemos escolher o objeto que ocupar\u00e1 o primeiro lugar da fila, depois o segundo lugar, depois o terceiro, at\u00e9 esgotar as [tex]n[\/tex] posi\u00e7\u00f5es da fila.<\/p>\n<table style=\"border: 2px solid #ffffff; width:80%; height:auto; text-align:center; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr class=\"bf\">\n<td   style=\"text-align:center; border-bottom: 2px solid #000000 \"> <strong><em>n<\/em><\/strong> escolhas <\/td>\n<td   style=\"text-align:center; border: 2px solid #ffffff\">&nbsp;<\/td>\n<td   style=\"text-align:center; border-bottom: 2px solid #000000 \"> <em><strong>(n-1)<\/strong><\/em> escolhas  <\/td>\n<td   style=\"text-align:center; border: 2px solid #ffffff\">&nbsp;<\/td>\n<td   style=\"text-align:center; border-bottom: 2px solid #ffffff\"> <strong>&#8230;<\/strong> <\/td>\n<td   style=\"text-align:center; border: 2px solid #ffffff\">&nbsp;<\/td>\n<td   style=\"text-align:center; border-bottom: 2px solid #000000\"> <strong><em>2<\/em> <\/strong> escolhas <\/td>\n<td  style=\"text-align:center; border: 2px solid #ffffff\">&nbsp;<\/td>\n<td  style=\"text-align:center; border-bottom: 2px solid #000000\"> <strong><em>1<\/em><\/strong> escolha <\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"bf\">\n<td   style=\"text-align:center; border: 2px solid #ffffff\"> 1&#186; lugar da fila  <\/td>\n<td   style=\"text-align:center; border: 2px solid #ffffff\">&nbsp;<\/td>\n<td   style=\"text-align:center; border: 2px solid #ffffff\"> 2&#186; lugar da fila  <\/td>\n<td   style=\"text-align:center; border: 2px solid #ffffff\">&nbsp;<\/td>\n<td   style=\"text-align:center; border: 2px solid #ffffff\">&nbsp; <\/td>\n<td   style=\"text-align:center; border: 2px solid #ffffff\">&nbsp;<\/td>\n<td   style=\"text-align:center; border: 2px solid #ffffff\"> (n-1)&#186; lugar da fila  <\/td>\n<td   style=\"text-align:center; border: 2px solid #ffffff\">&nbsp;<\/td>\n<td   style=\"text-align:center;\" > n&#186; lugar da fila<\/td>\n<\/table>\n<p>A resposta ser\u00e1  [tex]n![\/tex] , n\u00e3o ser\u00e1?<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; padding: 10px; border-style: dotted; border-color: #BDB76B; border-width :1px; width:70%;margin-left: auto; margin-right: auto;\">Portanto, o n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es simples de [tex]n[\/tex]  objetos em fila fica definido pela igualdade  [tex] P_n=n![\/tex].<\/p>\n<p><strong>\u00datil e f\u00e1cil!<\/strong><br \/>\nFormalmente: <\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p style=\"padding: 10px; border-style: dotted; border-color :#1C1C1C; border-width:1px; width:70%; background-color: #e3dfb1;margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<strong>Permuta\u00e7\u00f5es simples<\/strong> s\u00e3o definidas como maneiras de organizarmos [tex]n[\/tex] objetos distintos em uma fila. O n\u00famero total de permuta\u00e7\u00f5es simples \u00e9 denotado por  [tex]P_n[\/tex] e \u00e9 verificada a igualdade   [tex]P_n=n![\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p style=\"padding: 10px; border-style: dotted; border-color :#BDB76B; border-width:2px; width:75%; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<strong>Pequenas atividades:<\/strong><br \/>\n<span style=\"padding-left:20px;\"><strong>1.<\/strong> Quantos algarismos voc\u00ea acha que o n\u00famero 14! possui?<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:20px;\"><strong>2. <\/strong>Em quantas ordens diferentes voc\u00ea pode pedir o aut\u00f3grafo dos 11 jogadores titulares de um time de futebol?<br \/>\nA maquineta disponibilizada abaixo poder\u00e1 ajudar nos c\u00e1lculos da segunda atividade e tamb\u00e9m na hora de conferir o palpite da primeira. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 utiliz\u00e1-la para calcular o fatorial de qualquer n\u00famero natural menor que 21.<\/span><\/p>\n<p style=\"margin-top:25px\">\n<p>\u00c9 importante lembrar de que o conceito de permuta\u00e7\u00e3o simples \u00e9 constantemente ligado ao de fatorial, mas a rec\u00edproca nem sempre \u00e9 verdadeira! H\u00e1 outras \u00e1reas da matem\u00e1tica que utilizam o fatorial; n\u00e3o somente a Contagem e a Combinat\u00f3ria.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<hr style=\"height:3px;background-color:#BDB76B; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#BDB76B;margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div style=\"color: #616161; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size:16px;text-align:center\">Utilize esta Maquineta para calcular facilmente os fatoriais de<br \/>\n n\u00fameros naturais menores do que 21.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/08\/Maquineta1.xls\" class=\"buts2\" style=\"background-color:#BDB76B;\" title=\"Arquivo do Excel\" ><span class=\"c7\"> MAQUINETA<\/span><\/a><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p style=\"margin:10px; color: #616161; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px;line-height:12px;\">OBMEP_ srdg<br \/>\n <span style=\"line-height:20px;font-size: 12px;\"> A maquineta funciona adequadamente no Excel.<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#BDB76B; margin-top: 15px; margin-bottom: 10px; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"line-height:20px;font-size: 12px;text-align:justify\"><strong>Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong><br \/>\nAo abrir o arquivo, observe se a planilha est\u00e1 no Modo de Exibi\u00e7\u00e3o Protegido.<br \/>\nEm caso positivo,  habilite a Edi\u00e7\u00e3o antes de usar a Maquineta.<\/p>\n<\/div>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#BDB76B; margin-top: 15px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#BDB76B; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<\/div>\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignleft\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"98\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p style=\"text-align: justify; padding: 10px; border-style: dotted; border-color :#A2B5CD; border-width :thin; width:510px;background-color: #CDC673;\"><span style=\"color: #000000; font-family:  Georgia, Times, 'Times New Roman', serif; font-size: 15px;\">Esperamos que voc\u00ea tire proveito da explana\u00e7\u00e3o feita aqui.<br \/>\nNosso objetivo \u00e9 tentar sempre facilitar o seu entendimento sobre assuntos importantes da matem\u00e1tica.<br \/>\nE que tal agora tentar resolver alguns problemas?<br \/>\n\u00c9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=21842\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #FAFAFA;\"><strong>AQUI<\/strong><\/span><\/a> .<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:30px\">\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#BDB76B; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#BDB76B; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: right;\"><span style=\"color: #BDB76B;\"><strong>&#9670; Francimar de Brito Vieira<\/strong><br \/>\n<strong>&#9670; Noemi Zeraick Monteiro<\/strong><br \/>\n<strong>&#9670; Sonia Regina Di Giacomo<\/strong><br \/>\nEquipe COM &#8211; OBMEP<\/span><\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p class=\"ref\"  style=\" width:500px; line-height:20px;\">Refer\u00eancias, acessadas em 04\/04\/14: <a href=\"http:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Placas_de_identifica%C3%A7%C3%A3o_de_ve%C3%ADculos_no_Brasil#Sistema_de_emplacamento_atual\" target=\"_blank\"><\/a><br \/>\n<a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Thomas_Jarrett\" target=\"_blank\">https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Thomas_Jarrett<\/a>;<br \/>\n<a href=\"http:\/\/www-history.mcs.st-and.ac.uk\/Biographies\/Kramp.html\" target=\"_blank\">http:\/\/www-history.mcs.st-and.ac.uk\/Biographies\/Kramp.html<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Fatorial e Permuta\u00e7\u00e3o Simples De quantas maneiras os cinco membros de um Clube Ol\u00edmpico de Matem\u00e1tica podem se organizar em uma sala de computa\u00e7\u00e3o com cinco computadores? Fatorial Perguntas como a apresentada acima podem ser encontradas com muita frequ\u00eancia no nosso cotidiano; e, em geral, pelo Princ\u00edpio Fundamental da Contagem (PFC), tamb\u00e9m chamado de Princ\u00edpio &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-leitura_009-fatorial-e-permutacao-simples\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-21542","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/21542","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=21542"}],"version-history":[{"count":185,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/21542\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":55454,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/21542\/revisions\/55454"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=21542"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}