{"id":214646,"date":"2024-04-05T04:16:30","date_gmt":"2024-04-05T07:16:30","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=214646"},"modified":"2024-04-06T04:36:31","modified_gmt":"2024-04-06T07:36:31","slug":"problema-arrecadacao-maxima","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-arrecadacao-maxima\/","title":{"rendered":".Problema: Arrecada\u00e7\u00e3o m\u00e1xima"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n(UEG, 2019<\/strong> – Adaptado) Uma locadora de filmes tem [tex]100[\/tex] clientes fixos por semana e o aluguel de cada filme custa [tex]R$ \\;2,00[\/tex]. Sabe-se que a cada [tex]R$ \\;0,50[\/tex] que o dono dessa locadora aumenta no pre\u00e7o dos filmes, ele perde [tex]4[\/tex] clientes.
\nDetermine o valor do aumento que maximiza a arrecada\u00e7\u00e3o dessa locadora na pr\u00f3xima semana e o valor da arrecada\u00e7\u00e3o com o respectivo aumento.\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n\"explicador_p\"<\/p>\n

Lembrete<\/p>\n

Uma fun\u00e7\u00e3o do segundo grau definida por [tex]f(x)=ax^2+bx+c[\/tex], com [tex]a<0[\/tex], atinge um valor m\u00e1ximo em [tex]x_v = \\dfrac{-b}{2a}[\/tex].\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nSeja [tex]x[\/tex] o valor em reais do aumento sobre o valor de cada filme.
\nAssim, a quantidade de clientes ap\u00f3s esse aumento \u00e9 dada por [tex]100-\\dfrac{x}{0,50}\\cdot 4[\/tex], enquanto que o valor de cada filme passa a ser de [tex]R$ \\;\\left(2+x\\right)[\/tex].
\nDessa forma, o valor [tex]V(x)[\/tex] arrecadado pela locadora na pr\u00f3xima semana, em fun\u00e7\u00e3o do valor [tex]x[\/tex] aumentado ser\u00e1 de
\n[tex]\\quad V(x) = \\left(100-\\dfrac{x}{0,50}\\cdot 4\\right)(2+x)\\\\
\n\\quad V(x) = (100-2x\\cdot 4)(2+x)\\\\
\n\\quad V(x) = (100-8x)(2+x)\\\\
\n\\quad V(x) = -8x^2+84x+200.[\/tex]
\nPelo Lembrete<\/strong>, o valor do aumento que maximiza a arrecada\u00e7\u00e3o semanal \u00e9 dado por
\n[tex]\\quad x_v = \\dfrac{-84}{2\\cdot (-8)} = R$\\,5,25 [\/tex];
\nportanto, o valor da arrecada\u00e7\u00e3o com esse aumento de [tex]R$ \\;5,25[\/tex] \u00e9:
\n[tex]\\quad V(5,25) = -8(5,25)^2+84\\cdot 5,25+200\\\\
\n\\quad V(5,25)=\\boxed{R$\\,420,50}.[\/tex]<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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