{"id":213336,"date":"2024-02-28T20:45:07","date_gmt":"2024-02-28T23:45:07","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=213336"},"modified":"2024-03-01T22:39:24","modified_gmt":"2024-03-02T01:39:24","slug":"problema-ali-babao-e-a-vigesima-nona-de-suas-tex40-tex-equacoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-ali-babao-e-a-vigesima-nona-de-suas-tex40-tex-equacoes\/","title":{"rendered":".Problema: Ali Bab\u00e3o e a trig\u00e9sima de suas quarenta equa\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n

Determine a soma e o produto das ra\u00edzes reais da equa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n

[tex]x^2+18x+30=2 \\sqrt{x^2+18x+45}.[\/tex]<\/center><\/p>\n

Extra\u00eddo de IX OCM EF<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\"<\/p>\n

Lembretes e nota\u00e7\u00f5es<\/p>\n

\n

Rela\u00e7\u00f5es de Girard para Equa\u00e7\u00f5es do [tex]2^\\circ[\/tex] grau<\/strong>:
\n Dada a equa\u00e7\u00e3o [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex] que possui ra\u00edzes [tex]x_1[\/tex] e [tex]x_2[\/tex], ent\u00e3o:
\n

[tex]\\boxed{x_1+x_2=-\\dfrac{b}{a}}~[\/tex] e [tex]~\\boxed{x_1 \\cdot x_2=\\dfrac{c}{a}}.[\/tex]<\/center>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nInicialmente, fa\u00e7amos [tex]y= x^2+18x+30[\/tex]. Dessa forma, a equa\u00e7\u00e3o original se reduz a [tex]\\boxed{y=2 \\sqrt{y+15}}.[\/tex]
\nElevando ambos os membros desta \u00faltima equa\u00e7\u00e3o ao quadrado, obtemos:
\n[tex]\\qquad y^2=4 \\cdot (y+15)\\\\
\n\\qquad y^2=4y+60\\\\
\n\\qquad y^2-4y-60=0.[\/tex]
\nO discriminante da equa\u00e7\u00e3o obtida \u00e9 [tex]~\\Delta = (-4)^2-4 \\cdot 1 \\cdot (-60)=256[\/tex] e, portanto, suas ra\u00edzes s\u00e3o
\n[tex]\\qquad y=\\dfrac{-(-4) \\pm \\sqrt{256}}{2 \\cdot 1}=\\dfrac{4 \\pm 16}{2}\\\\
\n\\qquad y_1=\\dfrac{4+16}{2}=10~\\text{ e }~y_2=\\dfrac{4-16}{2}=-6.[\/tex]<\/p>\n

Observe que [tex]y_2=-6[\/tex] n\u00e3o verifica a equa\u00e7\u00e3o [tex]y=2 \\sqrt{y+15}[\/tex], pois se substituirmos [tex]y_2=-6[\/tex], obtemos: [tex]-6=2 \\sqrt{-6+15}[\/tex], o que n\u00e3o \u00e9 verdade. Por outro lado, substituindo [tex]y_1=10[\/tex], obtemos: [tex]10=2 \\sqrt{10+15}[\/tex], o que \u00e9 verdade. Deste modo, apenas [tex]y_1=10[\/tex] nos interessa.
\nComo [tex]y= x^2+18x+30[\/tex] e [tex]y=10[\/tex] \u00e9 o \u00fanico valor que nos interessa, segue que:
\n[tex]\\qquad 10= x^2+18x+30\\\\
\n\\qquad x^2+18x+20=0.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n

A equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] admite apenas ra\u00edzes reais, pois seu discriminante \u00e9 [tex]\\Delta = (18)^2-4 \\cdot 1 \\cdot (20)=244 \\gt 0[\/tex]. Ent\u00e3o, <\/p>\n