Problema \n Um trem saiu do terminal \u00e0s [tex]6[\/tex] horas e chegou \u00e0 esta\u00e7\u00e3o de destino no hor\u00e1rio marcado no rel\u00f3gio mostrado a seguir. \n Dicas sobre ponteiros de um rel\u00f3gio<\/p>\n \n \n 1) Observando com cuidado a figura a seguir, conclu\u00edmos que, de [tex]12[\/tex] horas para [tex]1[\/tex] hora:<\/p>\n Assim, a raz\u00e3o entre a varia\u00e7\u00e3o angular dos ponteiros dos minutos e das horas \u00e9 [tex]\\dfrac{360^\\circ}{30^\\circ}[\/tex] ou [tex]\\dfrac{12^\\circ}{1^\\circ}[\/tex]. Como ambas as medidas est\u00e3o em graus, podemos escrever essa raz\u00e3o como [tex]\\dfrac{12}{1}[\/tex], ou ainda [tex]\\boxed{12:1}[\/tex] ([tex]12[\/tex] para [tex]1[\/tex]). \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n \n Por outro lado, um \u00e2ngulo de [tex] 30^\\circ[\/tex] \u00e9 percorrido em [tex]60[\/tex] minutos pelo ponteiro das horas; ent\u00e3o uma varia\u00e7\u00e3o de [tex]1^\\circ[\/tex] do ponteiro das horas equivale a [tex]2[\/tex] minutos no hor\u00e1rio marcado pelo ponteiro dos minutos. Deste modo, o tempo [tex]t[\/tex] em minutos percorrido pelo trem ap\u00f3s as [tex]6[\/tex] horas \u00e9 dado por: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n Vamos considerar a medida [tex]\\alpha[\/tex], que aparece na figura do enunciado, tomada em graus. Como a raz\u00e3o entre a varia\u00e7\u00e3o angular dos ponteiros dos minutos e das horas \u00e9 [tex]\\boxed{12:1}[\/tex], segue que: Vamos fazer os dois procedimentos!<\/p>\n Pelo exposto, o tempo gasto pelo trem ap\u00f3s as [tex]6[\/tex] horas foi de [tex]~55\\frac{5}{13}~min[\/tex] e, portanto, a viagem durou pouco mais de [tex]55[\/tex] minutos.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Um trem saiu do terminal \u00e0s [tex]6[\/tex] horas e chegou \u00e0 esta\u00e7\u00e3o de destino no hor\u00e1rio marcado no rel\u00f3gio mostrado a seguir. Quanto tempo durou a viagem? Dicas sobre ponteiros de um rel\u00f3gio 1) Observando com cuidado a figura a seguir, conclu\u00edmos que, de [tex]12[\/tex] … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\n![\"Tempo](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/06\/Tempo-de-Viagem.png\")
\nQuanto tempo durou a viagem?<\/strong>\n<\/div>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n\n
\nOutra forma de vermos essa raz\u00e3o \u00e9 observarmos que, no intervalo de uma hora, o ponteiro das horas percorre [tex]1[\/tex] grupo de “cinco tracinhos” (que utilizamos para delimitar cinco minutos) e o ponteiro dos minutos percorre [tex]12[\/tex] grupos de “cinco tracinhos”.
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/f200.png\")
\n2) Note tamb\u00e9m que um \u00e2ngulo de [tex] 30^\\circ[\/tex] \u00e9 percorrido em [tex]60[\/tex] minutos pelo ponteiro das horas<\/span> e em apenas [tex]5[\/tex] minutos pelo ponteiro dos minutos<\/span>.
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/f200_1.png\")
\nEssas duas observa\u00e7\u00f5es iniciais v\u00e3o ajudar bastante na solu\u00e7\u00e3o deste problema.\n<\/div>\n
\nConsideraremos as medidas angulares em graus. Assim, de acordo com a figura do problema, a partir das [tex]6[\/tex] horas temos uma varia\u00e7\u00e3o angular [tex]\\alpha[\/tex] para o ponteiro das horas e uma varia\u00e7\u00e3o angular [tex]360^\\circ-\\alpha[\/tex] para o ponteiro dos minutos.
\nComo a raz\u00e3o entre a varia\u00e7\u00e3o angular dos ponteiros dos minutos e das horas \u00e9 [tex]12:1[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad 12\\alpha =360^\\circ-\\alpha \\\\
\n\\qquad \\alpha = \\dfrac{360^\\circ }{13}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad t=\\dfrac{360^\\circ}{13} \\cdot \\dfrac{2}{1^\\circ}\\\\
\n\\qquad t=\\dfrac{720}{13}\\\\
\n\\qquad t=55\\dfrac{5}{13}~min.[\/tex]<\/p>\n
\n
\n
\nDe acordo com essa mesma figura, a partir das [tex]6[\/tex] horas temos uma varia\u00e7\u00e3o angular [tex]\\textcolor{#FF00FF}{~\\alpha~}[\/tex] para o ponteiro das horas e uma varia\u00e7\u00e3o angular [tex]\\textcolor{#3333FF}{~360^\\circ-\\alpha~}[\/tex] para o ponteiro dos minutos. <\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/f199_1.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\quad \\quad \\dfrac{12}{1}= \\dfrac{360^\\circ-\\alpha}{\\alpha}\\\\
\n \\quad \\quad 12\\alpha =360^\\circ-\\alpha \\\\
\n \\quad \\quad 13\\alpha =360^\\circ \\\\
\n \\quad \\quad \\boxed{\\alpha = \\dfrac{360^\\circ}{13}}\\,.[\/tex]
\nPortanto, para responder \u00e0 pergunta do problema, precisamos considerar [tex]\\alpha= \\dfrac{360^\\circ }{13}~[\/tex] e
\n ➤<\/span> determinar o tempo que o ponteiro das horas levou para percorrer o \u00e2ngulo de medida [tex]\\textcolor{#FF00FF}{~\\alpha~}[\/tex],
\n ou
\n ➤<\/span> determinar o tempo que o ponteiro dos minutos levou para percorrer o \u00e2ngulo de medida [tex]\\textcolor{#3333FF}{~360^\\circ-\\alpha~}[\/tex].<\/p>\n\n
\nComo o ponteiro das horas leva [tex]60[\/tex] minutos para percorrer um \u00e2ngulo de [tex]30^\\circ[\/tex], podemos determinar o tempo que o ponteiro das horas levou para percorrer o \u00e2ngulo de medida
\n[tex]\\qquad\\boxed{\\textcolor{#FF00FF}{ \\alpha=\\dfrac{360^\\circ }{13}}}[\/tex]
\ncom a ajuda de uma regrinha de tr\u00eas simples.
\n [tex]~~\\\\
\n\\qquad \\qquad \\begin{array}{c c c}
\n \\; 60~minutos & \\text{————–} & 30^\\circ \\\\
\n \\; x~ minutos & \\text{————–} & \\textcolor{#FF00FF}{\\dfrac{360^\\circ }{13}} \\end{array}[\/tex]
\nVejamos:
\n[tex]\\qquad 30^\\circ\\cdot x=60\\cdot \\dfrac{360^\\circ}{13}\\\\
\n\\qquad \\cancel{30^\\circ}\\cdot x=60\\cdot \\dfrac{\\cancel{30^\\circ}\\cdot 12}{13}\\\\
\n\\qquad x=60\\cdot \\dfrac{12}{13}\\\\
\n\\qquad x=\\dfrac{720}{13}\\\\
\n\\qquad x=55+\\dfrac{5}{13}=55\\frac{5}{13}~min\\,.[\/tex]<\/li>\n
\nComo o ponteiro dos minutos leva [tex]5[\/tex] minutos para percorrer um \u00e2ngulo de [tex] 30^\\circ[\/tex], podemos determinar o tempo que o ponteiro dos minutos levou para percorrer o \u00e2ngulo de medida
\n[tex]\\qquad\\boxed{\\textcolor{#3333FF}{ 360^\\circ-\\alpha= 360^\\circ-\\dfrac{360^\\circ}{13}=\\dfrac{12\\cdot360^\\circ }{13}}}[\/tex]
\ncom a ajuda desta regrinha de tr\u00eas simples:
\n [tex]~~\\\\
\n\\qquad \\qquad \\begin{array}{c c c}
\n \\; 5~minutos & \\text{————–} & 30^\\circ \\\\
\n \\; x~ minutos & \\text{————–} & \\textcolor{#3333FF}{\\dfrac{12\\cdot360^\\circ}{13}}\\,. \\end{array}[\/tex]
\nAssim:
\n[tex]\\qquad 30^\\circ\\cdot x=5\\cdot \\dfrac{12\\cdot360^\\circ }{13} \\\\
\n\\qquad \\cancel{30^\\circ}\\cdot x=5\\cdot \\dfrac{12\\cdot\\cancel{30^\\circ}\\cdot 12}{13} \\\\
\n\\qquad x=5\\cdot \\dfrac{12\\cdot 12}{13}\\\\
\n\\qquad x=\\dfrac{720}{13}\\\\
\n\\qquad x=55+\\dfrac{5}{13}=55\\frac{5}{13}~min\\,.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n
\n