Problema Extra\u00eddo de IME<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n AJUDAS<\/p>\n \n ✏<\/strong> <\/span>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>: Se<\/p>\n ent\u00e3o o n\u00famero total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[\/tex] decis\u00f5es \u00e9 igual ao produto \n ✏<\/strong> <\/span>Princ\u00edpio Aditivo<\/strong>: Se<\/p>\n ent\u00e3o a quantidade de maneiras em que as [tex]2[\/tex] decis\u00f5es podem ser tomadas uma de cada vez \u00e9 \n ✏<\/strong> <\/span>A probabilidade <\/strong>de um evento ocorrer em um modelo com espa\u00e7o amostral finito e equiprov\u00e1vel \u00e9 calculada por:<\/p>\n \n ✏<\/strong> <\/span> Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos \u00e9 denominado uma Combina\u00e7\u00e3o simples<\/em><\/strong>. Especificamente, quando escolhemos [tex]r[\/tex] dentre [tex]n[\/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combina\u00e7\u00e3o simples de [tex]n[\/tex] elementos tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex]. [tex]C_{n\\, ,\\, r}=C_n^r=\\dfrac{n!}{(n-r)!\\, r!} \\text{, com } n,r \\in\\mathbb{N} \\text{ e }\\,0 \\lt r\\leqslant n[\/tex].<\/p>\n \n<\/div>\n <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Pelo Princ\u00edpio Multiplicativo, teremos [tex]C_{11}^{3}\\cdot C_{8}^{3}\\cdot C_{5}^{3}\\cdot C_{2}^{2}[\/tex] maneiras de formar os grupos ordenadamente. Mas perceba que essa contagem deve ser dividida por [tex]3![\/tex], pois a ordem na qual escolhemos os trios n\u00e3o resulta em uma configura\u00e7\u00e3o diferente. Agora, vamos calcular o n\u00famero de grupos em que o casal est\u00e1 junto:<\/p>\n Portanto, pelo Princ\u00edpio Aditivo e pela defini\u00e7\u00e3o de Probabilidade em espa\u00e7os amostrais finitos e equiprov\u00e1veis, a probabilidade desejada pode ser assim calculada: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema. Problema (Indicado a partir da 2\u00aa s\u00e9rie E. M.) Em uma sala com [tex]11[\/tex] estudantes, um professor decidiu aplicar um trabalho dividindo aleatoriamente a turma em tr\u00eas grupos de [tex]3[\/tex] estudantes e um grupo de [tex]2[\/tex] estudantes. Sabendo que na turma h\u00e1 um casal de namorados, qual … <\/p>\n
\n (Indicado a partir da 2\u00aa s\u00e9rie E. M.)<\/span><\/p>\n
\nEm uma sala com [tex]11[\/tex] estudantes, um professor decidiu aplicar um trabalho dividindo aleatoriamente a turma em tr\u00eas grupos de [tex]3[\/tex] estudantes e um grupo de [tex]2[\/tex] estudantes.
\nSabendo que na turma h\u00e1 um casal de namorados, qual \u00e9 a probabilidade de que o mesmo fa\u00e7a o trabalho junto?<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1\\times m_2 \\times \\cdots \\times m_k} \\, .[\/tex] <\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1+ m_2} \\, .[\/tex] <\/p>\n\n
\n Probabilidade[tex]\\;\\;[\/tex] = <\/strong><\/td>\n n\u00famero de casos favor\u00e1veis<\/strong> <\/td>\n .<\/td>\n<\/tr>\n \n n\u00famero de casos poss\u00edveis<\/strong> <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\nE o legal \u00e9 que, dado um conjunto finito, podemos determinar quantos agrupamentos desse tipo podemos fazer, sem que precisemos exibi-los.<\/p>\n\n
\nInicialmente, vamos calcular o n\u00famero de maneiras de dividir esses estudantes em tr\u00eas grupos de [tex]3[\/tex] e um grupo de [tex]2[\/tex]:<\/p>\n\n
\nAssim, ficamos com [tex]~\\boxed{\\dfrac{C_{11}^{3}\\cdot C_{8}^{3}\\cdot C_{5}^{3}\\cdot C_{2}^{2}}{3!}=\\dfrac{11!}{(3!)^{4}\\cdot 2!}}~[\/tex] maneiras de formar os grupos.<\/p>\n1\u00ba caso:<\/strong> O casal forma um grupo de dois.
\nNesse caso, basta dividir os outros nove alunos em tr\u00eas grupos de tr\u00eas.
\nIsso pode ser feito de [tex]~\\boxed{\\dfrac{C_{9}^{3}\\cdot C_{6}^{3}\\cdot C_{3}^{3}}{3!}=\\dfrac{9!}{(3!)^{4}}}~[\/tex] maneiras.
\n2\u00ba caso:<\/strong> O casal forma um grupo de tr\u00eas com uma terceira pessoa.
\nNesse caso, basta dividir os outros nove alunos em dois grupos de tr\u00eas e um grupo de dois no qual aluno que fica sobrando formar\u00e1 o trio com o casal.
\nIsso pode ser feito de [tex]\\boxed{\\dfrac{C_{9}^{3}\\cdot C_{6}^{3}\\cdot C_{3}^{2}}{2!}=\\dfrac{9!}{(3!)^{2}\\cdot (2!)^{2}}}[\/tex] maneiras.<\/ul>\n
\n[tex]\\qquad P= \\dfrac{\\dfrac{9!}{(3!)^{4}}+\\dfrac{9!}{(3!)^{2}\\cdot (2!)^{2}}}{\\dfrac{11!}{(3!)^{4}\\cdot 2!}}\\\\
\n\\qquad P=\\dfrac{\\dfrac{\\cancel{9!}}{(3!)^{2}\\cdot\\bcancel{(3!)^{2}}}+\\dfrac{\\cancel{9!}}{\\bcancel{(3!)^{2}}\\cdot (2!)^{2}}}{\\dfrac{11\\cdot 10\\cdot\\cancel{9!}}{(3!)^{2}\\cdot\\bcancel{(3!)^{2}}\\cdot 2!}}\\\\
\n\\qquad P=\\dfrac{\\dfrac{1}{(3!)^{2}}+\\dfrac{1}{(2!)^{2}}}{\\dfrac{11\\cdot 10}{(3!)^{2}\\cdot 2!}}=\\dfrac{\\dfrac{1}{36}+\\dfrac{1}{4}}{\\dfrac{110}{72}}\\\\
\n\\qquad P=\\dfrac{2+18}{110}=\\dfrac{2}{11}.[\/tex]
\nAssim, a probabilidade de que o casal fa\u00e7a o trabalho junto \u00e9, aproximadamente, [tex]18,2\\%.[\/tex]<\/p>\n
\n