{"id":212183,"date":"2024-02-01T19:50:24","date_gmt":"2024-02-01T22:50:24","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=212183"},"modified":"2024-02-01T19:50:24","modified_gmt":"2024-02-01T22:50:24","slug":"a-desafio-pavimentacao-com-poligonos-regulares","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-desafio-pavimentacao-com-poligonos-regulares\/","title":{"rendered":"(A) Desafio: Pavimenta\u00e7\u00e3o com pol\u00edgonos regulares"},"content":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema.<\/p>\n

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Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nVamos considerar uma forma especial de cobrir ou pavimentar o plano usando pol\u00edgonos regulares. Uma pavimenta\u00e7\u00e3o ser\u00e1 v\u00e1lida se satisfizer as seguintes condi\u00e7\u00f5es:
\n(i) Estar formada por exatamente dois tipos de pol\u00edgonos regulares diferentes com lados medindo uma unidade de medida;
\n(ii) A interse\u00e7\u00e3o de dois pol\u00edgonos \u00e9 sempre um lado ou um v\u00e9rtice ou vazia;
\n(iii) Cada um dos v\u00e9rtices deve ser v\u00e9rtice comum do mesmo n\u00famero de pol\u00edgonos de cada tipo, ou seja, a distribui\u00e7\u00e3o ao redor de cada v\u00e9rtice \u00e9 sempre a mesma.
\nNa figura a seguir vemos tr\u00eas formas diferentes de pavimentar o plano, usando pol\u00edgonos regulares, que satisfazem a estas condi\u00e7\u00f5es.
\n\"\"
\nEncontre mais duas pavimenta\u00e7\u00f5es do plano que satisfazem \u00e0s condi\u00e7\u00f5es (i), (ii) e (iii). <\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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Vamos usar o fato de que o \u00e2ngulo interno de um pol\u00edgono regular de [tex]n[\/tex] lados mede [tex]\\dfrac{(n-2)180^\\circ}{n}[\/tex].<\/p>\n

Consideremos uma pavimenta\u00e7\u00e3o geral em que cada v\u00e9rtice seja v\u00e9rtice comum de [tex]m[\/tex] pol\u00edgonos regulares de [tex]n[\/tex] lados e de [tex]k[\/tex] pol\u00edgonos regulares de [tex]h[\/tex] lados. <\/strong> Por exemplo, na primeira pavimenta\u00e7\u00e3o da figura do enunciado cada v\u00e9rtice \u00e9 v\u00e9rtice comum de [tex]1[\/tex] hex\u00e1gono regular ([tex]6[\/tex] lados) e de [tex]4[\/tex] tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros ([tex]3[\/tex] lados); na segunda pavimenta\u00e7\u00e3o, cada v\u00e9rtice \u00e9 v\u00e9rtice comum de [tex]2[\/tex] quadrados ([tex]4[\/tex] lados) e de [tex]3[\/tex] tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros ([tex]3[\/tex] lados), etc. Observe que a soma de todos os \u00e2ngulos internos com v\u00e9rtice em comum somam [tex]360^\\circ[\/tex].
\nNossa pavimenta\u00e7\u00e3o geral deve satisfazer a seguinte equa\u00e7\u00e3o:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{m(n-2)180^\\circ}{n}+\\dfrac{k(h-2)180^\\circ}{h}=360^\\circ[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\dfrac{m(n-2)}{n}+\\dfrac{k(h-2)}{h}=2[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{mh(n-2)+kn(h-2)=2nh}.[\/tex]
\n\u00c9 importante ressaltar que toda pavimenta\u00e7\u00e3o satisfazendo \u00e0s condi\u00e7\u00f5es (i), (ii) e (iii) fornece uma solu\u00e7\u00e3o nos inteiros positivos para esta equa\u00e7\u00e3o, entretanto essa equa\u00e7\u00e3o possui solu\u00e7\u00f5es inteiras positivas que n\u00e3o originam pavimenta\u00e7\u00f5es v\u00e1lidas. Por exemplo, [tex]m=2[\/tex], [tex]n=4[\/tex], [tex]k=2[\/tex] e [tex]h=4[\/tex] \u00e9 uma solu\u00e7\u00e3o para a equa\u00e7\u00e3o acima, mas a pavimenta\u00e7\u00e3o gerada usa apenas quadrados, n\u00e3o sendo v\u00e1lida por n\u00e3o verificar a condi\u00e7\u00e3o (i). Mas pelo menos sabemos que as pavimenta\u00e7\u00f5es que buscamos est\u00e3o entre as solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o acima. <\/p>\n

De uma forma geral, essa \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o dif\u00edcil de se resolver. Por\u00e9m, estamos procurando por solu\u00e7\u00f5es inteiras positivas dessa equa\u00e7\u00e3o. Vamos supor, sem perda de generalidade, que [tex]m\\geq k[\/tex].<\/p>\n