{"id":212174,"date":"2024-02-01T19:42:08","date_gmt":"2024-02-01T22:42:08","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=212174"},"modified":"2024-02-14T01:23:15","modified_gmt":"2024-02-14T04:23:15","slug":"a-desafio-ali-babao-e-a-vigesima-nona-de-suas-40-equacoes-na-verdade-e-um-curioso-sistema","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-desafio-ali-babao-e-a-vigesima-nona-de-suas-40-equacoes-na-verdade-e-um-curioso-sistema\/","title":{"rendered":"(A) Desafio: Ali Bab\u00e3o e a Vig\u00e9sima Nona de suas 40 Equa\u00e7\u00f5es – Na verdade, \u00e9 um curioso sistema!"},"content":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema.<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\n

Problema
\n (Indicado para [tex]3^\\circ[\/tex] Ano EM)<\/span><\/p>\n

\nSabendo que [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais positivos tais que [tex]a \\lt b+c[\/tex], [tex]b \\lt a+c[\/tex] e [tex]c \\lt a+b[\/tex], resolva o sistema abaixo no conjunto dos n\u00fameros reais positivos.<\/p>\n

[tex]\\begin{cases}
\n\\sqrt{xy}+\\sqrt{xz}-x=a\\\\
\n\\sqrt{yz}+\\sqrt{yx}-y=b\\\\
\n\\sqrt{zx}+\\sqrt{zy}-z=c \\\\
\n\\end{cases}~~[\/tex].<\/center><\/p>\n

Extra\u00eddo de Revista do Clube de Matem\u00e1ticos<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nObserve que [tex]x \\ne 0[\/tex], [tex]y \\ne 0[\/tex] e [tex]z \\ne 0[\/tex]; pois, caso contr\u00e1rio, ter\u00edamos respectivamente [tex]a=0[\/tex], [tex]b=0[\/tex] e [tex]c=0[\/tex], contrariando a hip\u00f3tese de que [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros positivos.
\nAssim, dividindo-se sequencialmente as equa\u00e7\u00f5es do sistema em quest\u00e3o por [tex]\\sqrt{x}[\/tex], [tex]\\sqrt{y}[\/tex] e [tex]\\sqrt{z}[\/tex], respectivamente, temos:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{cases}
\n\\sqrt{y}+\\sqrt{z}-\\sqrt{x}=\\dfrac{a}{\\sqrt{x}}\\\\
\n\\sqrt{z}+\\sqrt{x}-\\sqrt{y}=\\dfrac{b}{\\sqrt{y}}\\\\
\n\\sqrt{x}+\\sqrt{y}-\\sqrt{z}=\\dfrac{c}{\\sqrt{z}}\\\\
\n\\end{cases}~~[\/tex].<\/p>\n

Agora, adicionando todas as equa\u00e7\u00f5es, obtemos:
\n[tex]\\qquad \\sqrt{x}+\\sqrt{y}+\\sqrt{z}=\\dfrac{a}{\\sqrt{x}}+\\dfrac{b}{\\sqrt{y}}+\\dfrac{c}{\\sqrt{z}}.[\/tex]
\nPor outro lado, observe que
\n[tex]\\qquad \\dfrac{a}{\\sqrt{x}} = \\sqrt{y}+\\sqrt{z}-\\sqrt{x}=\\sqrt{x}+\\sqrt{y}+\\sqrt{z}-2\\sqrt{x}=\\dfrac {a}{\\sqrt{x}}+\\dfrac {b}{\\sqrt{y}}+\\dfrac {c}{\\sqrt{z}}-2\\sqrt{x}[\/tex]
\ne, portanto,
\n[tex]\\qquad \\dfrac {b}{\\sqrt{y}}+\\dfrac {c}{\\sqrt{z}} = 2\\sqrt{x}.[\/tex]
\nDividindo a \u00faltima equa\u00e7\u00e3o por [tex]\\sqrt{x}[\/tex], temos:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{b}{\\sqrt{xy}}+\\dfrac{c}{\\sqrt{xz}}=2.[\/tex]
\nAnalogamente, obtemos:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{a}{\\sqrt{xy}}+\\dfrac{c}{\\sqrt{yz}}=2[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\dfrac{a}{\\sqrt{xz}}+\\dfrac{b}{\\sqrt{yz}}=2[\/tex]
\ne, com isso, agora temos o seguinte sistema:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{cases}
\n\\dfrac{b}{\\sqrt{xy}}+\\dfrac{c}{\\sqrt{xz}}=2\\\\
\n\\dfrac{a}{\\sqrt{xy}}+\\dfrac{c}{\\sqrt{yz}}=2\\\\
\n\\dfrac{a}{\\sqrt{xz}}+\\dfrac{b}{\\sqrt{yz}}=2\\\\
\n\\end{cases}~~[\/tex].<\/p>\n

Vamos fazer [tex]\\dfrac{1}{\\sqrt{xy}}=u[\/tex], [tex]\\dfrac{1}{\\sqrt{xz}}=v[\/tex] e [tex]\\dfrac{1}{\\sqrt{yz}}=w[\/tex]; dessa forma, o sistema anterior passa a ser escrito como:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{cases}
\nbu+cv=2\t\\qquad \\textcolor{#800000}{(I)}\\\\
\nau+cw=2\t\\qquad \\textcolor{#800000}{(II)}\\\\
\nav+bw=2\t\\qquad \\textcolor{#800000}{(III)}\\\\
\n\\end{cases}~~[\/tex].<\/p>\n

De [tex](I)[\/tex], obtemos
\n[tex]\\qquad v=\\dfrac{2-bu}{c}\t\\qquad \\textcolor{#800000}{(IV)}[\/tex].
\nSubstituindo [tex] \\textcolor{#800000}{(IV)}[\/tex] em [tex] \\textcolor{#800000}{(III)}[\/tex], pode-se formar um novo sistema com a equa\u00e7\u00e3o [tex] \\textcolor{#800000}{(II)}[\/tex]; veja:<\/p>\n

[tex]\\qquad\\begin{cases}
\nau+cw=2\\\\
\na \\left(\\dfrac{2-bu}{c}\\right)+bw=2\\\\
\n\\end{cases}~.[\/tex]<\/p>\n

Ap\u00f3s algumas continhas, obtemos:<\/p>\n

[tex]\\qquad\\begin{cases}
\nau+cw=2\\\\
\n-abu+bwc=2c-2a\\\\
\n\\end{cases}~.[\/tex]<\/p>\n

Ao resolvermos o \u00faltimo sistema, obtemos: [tex]w=\\dfrac{-a+b+c}{bc}[\/tex] e [tex]u=\\dfrac{a+b-c}{ab}[\/tex]; usando a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(I)}[\/tex], obtemos [tex]v=\\dfrac{a-b+c}{ac}[\/tex].<\/p>\n

Agora, como [tex]\\dfrac{1}{\\sqrt{xy}}=u[\/tex], obtemos:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{1}{\\sqrt{xy}}=\\dfrac{a+b-c}{ab}\\\\
\n\\qquad xy=\\dfrac{a^2b^2}{(a+b-c)^2}. \\qquad \\textcolor{#800000}{(V)}[\/tex]
\nObserve que de [tex]\\dfrac{1}{\\sqrt{xz}}=v[\/tex] segue que:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{1}{\\sqrt{xz}}=\\dfrac{a-b+c}{ac} \\\\
\n\\qquad xz=\\dfrac{a^2c^2}{(a-b+c)^2} \\qquad \t\\textcolor{#800000}{(VI)}[\/tex]
\ne de [tex] \\dfrac{1}{\\sqrt{yz}}=w[\/tex] obtemos:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{1}{\\sqrt{yz}}=\\dfrac{-a+b+c}{bc} \\\\
\n\\qquad yz=\\dfrac{b^2c^2}{(-a+b+c)^2}. \\qquad \\textcolor{#800000}{(VII)}[\/tex]<\/p>\n

Multiplicando [tex]\\textcolor{#800000}{(V)}[\/tex], [tex]\\textcolor{#800000}{(VI)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(VII)}[\/tex], obtemos:<\/p>\n

[tex]\\qquad x^2y^2z^2=\\dfrac{a^4b^4c^4}{(a+b-c)^2(a-b+c)^2(-a+b+c)^2}.[\/tex]<\/p>\n

Extraindo a raiz quadrada dessa \u00faltima express\u00e3o, temos:
\n[tex]\\qquad xyz=\\dfrac{|a^2b^2c^2|}{|a+b-c||a-b+c||-a+b+c|}.[\/tex]<\/p>\n

Como as express\u00f5es que aparecem nos m\u00f3dulos s\u00e3o todas positivas,
\n[tex]\\qquad xyz=\\dfrac{a^2b^2c^2}{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}[\/tex]<\/p>\n

e, assim:<\/p>\n