{"id":211125,"date":"2024-02-01T18:16:38","date_gmt":"2024-02-01T21:16:38","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=211125"},"modified":"2024-02-01T19:55:59","modified_gmt":"2024-02-01T22:55:59","slug":"problema-o-triangulo-de-kepler","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-o-triangulo-de-kepler\/","title":{"rendered":".Problema: O Tri\u00e2ngulo de Kepler"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nO grande astr\u00f4nomo alem\u00e3o Johannes Kepler<\/strong><\/em><\/a> (1571\u20131630) era um admirador da beleza do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com o menor cateto medindo uma unidade de comprimento e as medidas dos tr\u00eas lados formando uma progress\u00e3o geom\u00e9trica. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

(a)<\/strong> Calcule a raz\u00e3o da progress\u00e3o geom\u00e9trica formada pelas medidas dos lados desse tri\u00e2ngulo. Calcule tamb\u00e9m as \u00e1reas dos quadrados formados com os lados do tri\u00e2ngulo de Kepler. <\/p>\n

(b)<\/strong> Kepler observou que um c\u00edrculo de di\u00e2metro igual ao da hipotenusa do seu tri\u00e2ngulo tem per\u00edmetro muito pr\u00f3ximo, com erro inferior a [tex]0,1\\%[\/tex], ao do quadrado com lado igual \u00e0 medida do maior cateto. Isso leva a uma aproxima\u00e7\u00e3o para o valor de [tex]\\pi[\/tex], encontre-a.
\n\"\"\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\n(a)<\/strong> Se denotarmos por [tex]r[\/tex] a raz\u00e3o da progress\u00e3o geom\u00e9trica, ent\u00e3o os lados do tri\u00e2ngulo de Kepler medir\u00e3o [tex]1[\/tex], [tex]r[\/tex] e [tex]r^2[\/tex].
\n\"\"<\/p>\n

Como se trata de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, podemos aplicar o Teorema de Pit\u00e1goras obtendo a igualdade [tex]1^2+r^2=(r^2)^2.[\/tex]
\nCom a substitui\u00e7\u00e3o [tex]r^2=x[\/tex], obtemos a equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]x^2-x-1=0, [\/tex] cujas solu\u00e7\u00f5es s\u00e3o [tex]x_1=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}, \\ \\ \\ x_2=\\dfrac{1-\\sqrt{5}}{2}.[\/tex]
\nComo o menor cateto mede [tex]1[\/tex], segue que a raz\u00e3o [tex]r[\/tex] da progress\u00e3o geom\u00e9trica deve ser um n\u00famero positivo maior do que [tex]1[\/tex], o mesmo sendo v\u00e1lido para [tex]x=r^2[\/tex].
\nAssim, a \u00fanica solu\u00e7\u00e3o v\u00e1lida \u00e9 [tex]x=\\boxed{\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}}.[\/tex]
\nEsse n\u00famero \u00e9 conhecido como n\u00famero de ouro e simbolizado por [tex]\\phi[\/tex] (para saber mais sobre o n\u00famero de ouro, visite esta Sala<\/strong><\/a>.)
\nLogo, [tex]r=\\pm \\sqrt{\\phi}[\/tex]; mas, como [tex]r[\/tex] \u00e9 positivo, finalmente encontramos a \u00fanica solu\u00e7\u00e3o para o nosso problema: [tex]\\boxed{r=\\sqrt{\\phi}}.[\/tex]
\nObserve que as \u00e1reas dos tr\u00eas quadrados formados sobre os lados do tri\u00e2ngulos s\u00e3o [tex]1[\/tex], [tex]\\phi[\/tex] e [tex]\\phi^2[\/tex].
\n\"\"<\/p>\n

O tri\u00e2ngulo de Kepler combina dois conceitos matem\u00e1ticos fundamentais: o Teorema de Pit\u00e1goras<\/em><\/strong> e a Propor\u00e7\u00e3o \u00c1urea<\/em><\/strong>, que impressionaram Kepler profundamente, como ele mesmo expressou:
\n– A geometria tem dois grandes tesouros, um \u00e9 o teorema de Pit\u00e1goras; o outro, a divis\u00e3o de um segmento em m\u00e9dia e extrema raz\u00e3o. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de joia preciosa.<\/em><\/p>\n

(b)<\/strong> Agora que conhecemos as medidas dos lados do tri\u00e2ngulo de Kepler, podemos calcular os per\u00edmetros do quadrado e do c\u00edrculo em quest\u00e3o.
\n\"\"<\/p>\n

Per\u00edmetro do c\u00edrculo:<\/strong>
\n[tex]\\qquad P_c=2\\pi r\\\\
\n\\qquad P_c=2\\pi \\dfrac{\\phi}{2}\\\\
\n\\qquad \\boxed{P_c=\\pi\\phi}.[\/tex]
\nPer\u00edmetro do quadrado:<\/strong>
\n[tex]\\qquad P_q=4l\\\\
\n\\qquad \\boxed{P_q=4\\,\\sqrt{\\phi}}.[\/tex]<\/p>\n

Finalizando, como esses dois per\u00edmetros s\u00e3o pr\u00f3ximos e [tex]\\phi=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}\\approx 1,618[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad \\pi\\phi\\approx4\\sqrt{\\phi}\\\\
\n\\qquad \\pi \\approx \\dfrac{4\\sqrt{\\phi}}{\\phi} \\\\
\n\\qquad \\pi\\approx \\dfrac{4}{\\sqrt{\\phi}} \\\\
\n\\qquad \\pi\\approx \\dfrac{4}{\\sqrt{1,618}} \\\\
\n\\qquad \\pi\\approx \\dfrac{4}{1,272} \\\\
\n\\qquad \\boxed{\\pi\\approx 3,1447}.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) O grande astr\u00f4nomo alem\u00e3o Johannes Kepler (1571\u20131630) era um admirador da beleza do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com o menor cateto medindo uma unidade de comprimento e as medidas dos tr\u00eas lados formando uma progress\u00e3o geom\u00e9trica. (a) Calcule a … <\/p>\n

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