{"id":211024,"date":"2024-07-13T11:36:17","date_gmt":"2024-07-13T14:36:17","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=211024"},"modified":"2024-08-19T11:27:43","modified_gmt":"2024-08-19T14:27:43","slug":"voltando-de-um-passeio-pelo-mundo-da-equacao-quadratica-ideias-e-aplicacoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/voltando-de-um-passeio-pelo-mundo-da-equacao-quadratica-ideias-e-aplicacoes\/","title":{"rendered":"Voltando de um passeio pelo mundo da Equa\u00e7\u00e3o Quadr\u00e1tica \u2013 Ideias e aplica\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"<h4><strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-178987\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/menino-removebg.png\" alt=\"\" width=\"83\" height=\"100\" \/><\/strong><\/h4>\n<h4 style=\"text-align: center;\"><strong>Salve, explorador(a)!<\/strong><\/h4>\n<h4><\/h4>\n<p><strong>Como foi o passeio pelo <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudo-um-passeio-pelo-mundo-da-equacao-quadratica-sala-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">mundo da Equa\u00e7\u00e3o Quadr\u00e1tica<\/a>? Da Mesopot\u00e2mia \u00e0s f\u00f3rmulas de Vi\u00e8te, passando por Euclides, Bh\u00e1skara, e chegando a alguns exerc\u00edcios &#8220;bugantes&#8221;, com certeza sua mochila volta cheia de ferramentas incr\u00edveis. Agora \u00e9 hora de usar essas ferramentas! Afinal,<\/strong><\/p>\n<p class=\"gree te1\"  style=\"width:95%; text-align:justify; background-color:#9ec4bc;border:1px solid #589386;line-height: 20px;\"><em>&#8220;Tudo o que fazemos \u00e9 baseado em alguma estrutura matem\u00e1tica e, embora a matem\u00e1tica seja muitas vezes considerada abstrata, \u00e9 fundamental para como entendemos a natureza, o universo maior, com suas dimens\u00f5es de tempo e espa\u00e7o e uma infinidade de incertezas.&#8221; Fonte:\u00a0Mathematics for Action, UNESCO, 2022.<\/em><\/p>\n<p><strong>Ent\u00e3o, apresentamos a Sala<\/strong><br \/>\n<\/p>\n<div class=\"gr1 cbved\" style=\"padding-left:30px; padding-right:30px;\">\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p class=\"nome cve\" style=\"font-size: 40px;\"> <strong>Voltando de um passeio pelo mundo da Equa\u00e7\u00e3o Quadr\u00e1tica<\/strong><\/p>\n<p class=\"nome cve\" style=\"font-size: 40px;\"><strong>Ideias e aplica\u00e7\u00f5es<\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#3f888f; border: 0 none\"\/>\n<p>Nesta sala, veremos como utilizar as equa\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas para diversos tipos de problemas: problemas de comprimentos e \u00e1reas, problemas de movimento, custo e receita, e quest\u00f5es envolvendo par\u00e1bolas. Depois disso, apresentaremos algumas atividades preparadas especialmente para futuros astronautas. Vamos?!<\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#3f888f; border: 0 none\"\/>\n&nbsp;<\/p>\n<p class=\"cve\" style=\"margin: 10px 120px 10px 120px; text-align:center; font-size:18px; line-height: 30px;\"> Problemas de Comprimentos e \u00c1reas<\/p>\n<p>Quando pensamos em c\u00e1lculos de \u00e1reas, pensamos em alguma coisa &#8220;ao quadrado&#8221;. Por exemplo, qual \u00e9 a unidade de medida utilizada quando algu\u00e9m vai comprar um im\u00f3vel? Em geral, o &#8220;metro quadrado&#8221;, ou seja, a \u00e1rea de um quadrado de lado 1 metro. Se tivermos o valor da \u00e1rea, por exemplo, de um quadrado cujo lado \u00e9 desconhecido (digamos, de medida [tex]x[\/tex]), podemos igualar a \u00e1rea conhecida a [tex]x^2[\/tex] para encontrar a medida do lado.<\/p>\n<p>Para aquecer, qual seria a \u00e1rea de:<\/p>\n<ul>\n<li>Uma circunfer\u00eancia de raio [tex]x[\/tex]?<\/li>\n<li>Um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero de lado [tex]x[\/tex]?<\/li>\n<li>Um ret\u00e2ngulo cujo menor lado mede [tex]x[\/tex] e o maior lado possui 1 unidade de comprimento a mais?<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Pois \u00e9! Todas estas respostas envolvem um termo de grau dois, o famoso [tex]x^2[\/tex]. De fato, a equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica pode ser uma ferramenta importante na resolu\u00e7\u00e3o de problemas envolvendo \u00e1reas. Vejamos um exemplo:<\/p>\n<div class=\"gr1 cbve5\">\n<br \/>\n<strong>Quest\u00e3o 1<\/strong><\/p>\n<p>Em um dos lados de um galp\u00e3o quadrado, foi constru\u00eddo um anexo de mesma largura, e comprimento de [tex]5[\/tex] metros. A \u00e1rea total da constru\u00e7\u00e3o \u00e9 de\u00a0[tex]100~\\text{m}^2[\/tex].\u00a0Qual \u00e9 a \u00e1rea do galp\u00e3o?<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-208128\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/galpao_anexo.png\" alt=\"\" width=\"350\" height=\"247\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/galpao_anexo.png 1281w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/galpao_anexo-300x211.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/galpao_anexo-768x541.png 768w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/galpao_anexo-1024x722.png 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 350px) 100vw, 350px\" \/><\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cve cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbve3\" style=\"display: none;\">\nSeja [tex]x[\/tex] a medida do lado do galp\u00e3o, em metros. Pelo enunciado,<\/p>\n<p>[tex]\\qquad x(x+5)=100,[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad x^2+5x-100=0.[\/tex]<\/p>\n<p>Observe que esta \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica e, pela f\u00f3rmula resolvente,<\/p>\n<p>[tex]\\qquad x=\\dfrac{-b\\pm\\sqrt{\\Delta}}{2a}=\\dfrac{-5 \\pm \\sqrt{5^2-4\\times 1\\times (-100)}}{2},[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad x=\\dfrac{-5 \\pm \\sqrt{425}}{2}=\\dfrac{-5 \\pm 5\\sqrt{17}}{2},[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad x=\\dfrac{5}{2}\\left(-1\\pm\\sqrt{17}\\right).[\/tex]<\/p>\n<p>Note que [tex]-1-\\sqrt{17}&lt;0[\/tex], e, como\u00a0[tex]x[\/tex] \u00e9 uma medida positiva, essa raiz n\u00e3o \u00e9 vi\u00e1vel. Logo,<\/p>\n<p>[tex]\\qquad x=\\dfrac{5}{2}\\left(-1+\\sqrt{17}\\right).[\/tex]<\/p>\n<p>A \u00e1rea do galp\u00e3o \u00e9 dada, portanto, por<\/p>\n<p>[tex]\\qquad x^2=\\dfrac{5^2}{2^2}\\left(-1+\\sqrt{17}\\right)^2=\\dfrac{25}{4}\\left(1-2\\sqrt{17}+17\\right)\\approx 61\\text{ m}^2.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>Outra aplica\u00e7\u00e3o muito importante das equa\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas pode surgir em quest\u00f5es que s\u00e3o resolvidas pelo Teorema de Pit\u00e1goras. Por exemplo: Qual tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo tem os lados em uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica de raz\u00e3o 1? Relembrando, o Teorema de Pit\u00e1goras afirma que,\u00a0\u00a0<strong>em qualquer tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa \u00e9 igual \u00e0 soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.<\/strong> Assim, o problema pode ser traduzido na forma [tex]x^2+(x+1)^2=(x+2)^2[\/tex], o que pode ser reorganizado em uma equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica. Ao resolv\u00ea-la, voc\u00ea encontrar\u00e1 um dos tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos mais famosos de todos.<\/p>\n<p>Vejamos um exemplo um pouco mais elaborado:<br \/>\n<\/p>\n<div class=\"gr1 cbve5\">\n<strong>Quest\u00e3o 2<\/strong><\/p>\n<p>(Canguru, 2014 &#8211; Adaptado) O quadrado [tex]XYZW[\/tex] tem os v\u00e9rtices\u00a0[tex]X[\/tex] e\u00a0[tex]Y[\/tex] sobre a reta\u00a0[tex]r[\/tex] e os v\u00e9rtices\u00a0[tex]Z[\/tex] e\u00a0[tex]W[\/tex] sobre as circunfer\u00eancias de centros\u00a0[tex]O[\/tex] e\u00a0[tex]O\u2032[\/tex], sendo essas circunfer\u00eancias, de raios medindo\u00a0[tex]2 \\text{ cm}[\/tex], tangentes entre si e \u00e0 reta\u00a0[tex]r[\/tex], como na figura abaixo.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/Circunfer%C3%AAncias.png\" \/><\/p>\n<p>Encontre a medida do lado do quadrado [tex]XYZW[\/tex].<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cve cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbve3\" style=\"display: none;\">\nVeja a solu\u00e7\u00e3o <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-lado-do-quadrado\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">AQUI<\/a>.<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><\/p>\n<div class=\"gr1 cbve5\" style=\"width:95%;\">\n<p class=\"cve\" style=\"margin: 10px 120px 10px 120px; text-align:center; font-size:18px; line-height: 30px;\"> Atividade em grupo 1<\/p>\n<p>Propomos um trabalho de modelagem matem\u00e1tica que visa calcular \u00e1reas das superf\u00edcies de diversas caixas retangulares ap\u00f3s terem todas as dimens\u00f5es diminu\u00eddas igualmente. A atividade deve ser desenvolvida em pequenos grupos, ou duplas.<\/p>\n<p><strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-3060 alignleft\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/02\/carinha4.jpg\" alt=\"\" width=\"111\" height=\"103\" \/>Materiais necess\u00e1rios:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Folhas de papel para anota\u00e7\u00f5es;<\/li>\n<li>Uma r\u00e9gua por aluno;<\/li>\n<li>Caixas retangulares, diversas por grupo;<\/li>\n<li>Tesoura, uma por grupo.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><strong>Procedimentos (para cada caixa):<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li>Anotar em uma tabela as medidas dos lados da caixa e \u00e1rea superficial da mesma.<\/li>\n<li>Planificar a caixa e separar as faces.<\/li>\n<li>Para diferentes medidas [tex]x[\/tex] (menor que a metade do menor lado da caixa), diminuir todos os lados das faces como na figura e anotar a \u00e1rea superficial [tex]A(x)[\/tex] total de uma caixa montada com as faces diminu\u00eddas:<\/li>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-207573\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Clubes_caixa-2.png\" alt=\"\" width=\"659\" height=\"357\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Clubes_caixa-2.png 890w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Clubes_caixa-2-300x162.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Clubes_caixa-2-768x416.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 659px) 100vw, 659px\" \/><\/p>\n<li>Encontrar uma equa\u00e7\u00e3o para [tex]A(x)[\/tex] que descreva a situa\u00e7\u00e3o trabalhada dadas as dimens\u00f5es\u00a0iniciais da caixa [tex]a, b[\/tex] e [tex]c[\/tex], e a medida [tex]x[\/tex]. Comparar os resultados obtidos experimentalmente com o modelo criado.<\/li>\n<li>Discutir os resultados: Qual \u00e9 o valor de [tex]x[\/tex] que faz com que a \u00e1rea superficial da caixa seja a metade da \u00e1rea original? Para este valor de [tex]x[\/tex], como se comparam os volumes? A equa\u00e7\u00e3o [tex]A(x)[\/tex] pode ser a mesma para duas caixas de diferentes dimens\u00f5es? O que deve ser igual em duas caixas para que [tex]A(x)[\/tex] possua a mesma express\u00e3o?<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<\/div>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#3f888f; border: 0 none\"\/>\n<p class=\"cve\" style=\"margin: 10px 120px 10px 120px; text-align:center; font-size:18px; line-height: 30px;\"> Problemas de Movimento<\/p>\n<p>Quando um objeto est\u00e1 em movimento, ele muda de posi\u00e7\u00e3o ao longo do percurso. Para descrevermos o movimento de um objeto, precisamos conhecer os conceitos de deslocamento, dist\u00e2ncia percorrida e velocidade.<\/p>\n<p><\/p>\n<div class=\"gree te1\"  style=\"width:95%; text-align:justify; background-color:#9ec4bc;border:1px solid #589386;line-height: 20px;\">\nQuando um objeto se move em rela\u00e7\u00e3o a um referencial (por exemplo, um foguete se move para cima em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 Terra, ou voc\u00ea se move para a direita em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 parede de sua casa), a posi\u00e7\u00e3o do objeto varia. Essa varia\u00e7\u00e3o na posi\u00e7\u00e3o \u00e9 conhecida como deslocamento. O <strong>deslocamento<\/strong> [tex]d[\/tex] pode ser definido matematicamente como a varia\u00e7\u00e3o da posi\u00e7\u00e3o [tex]s[\/tex], ou seja,<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">[tex]d=\\Delta s=s_{final}-s_{inicial}.[\/tex]<\/p>\n<p>O deslocamento \u00e9 uma grandeza vetorial. Isso significa que ele tem uma dire\u00e7\u00e3o, um sentido e uma magnitude (ou m\u00f3dulo), podendo ser representado visualmente como uma seta que aponta da posi\u00e7\u00e3o inicial para a posi\u00e7\u00e3o final. Quando voc\u00ea come\u00e7a um problema de deslocamento, deve saber ou escolher a orienta\u00e7\u00e3o positiva. Em deslocamentos horizontais, geralmente o sentido positivo \u00e9 o da direita; em deslocamentos verticais, geralmente o sentido positivo \u00e9 para cima. Mas, esta orienta\u00e7\u00e3o pode ser diferente dependendo do problema.<\/p>\n<p>J\u00e1 a <strong>dist\u00e2ncia percorrida<\/strong> \u00e9 o comprimento total do caminho percorrido entre duas posi\u00e7\u00f5es: \u00e9 uma grandeza escalar, n\u00e3o possuindo dire\u00e7\u00e3o nem sentido.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-211433\" style=\"border: none;\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/Deslocamento_velocidade.png\" alt=\"\" width=\"608\" height=\"348\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/Deslocamento_velocidade.png 608w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/Deslocamento_velocidade-300x172.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 608px) 100vw, 608px\" \/><\/p>\n<p>A <strong>velocidade<\/strong> do objeto \u00e9, como o deslocamento, uma grandeza vetorial, possuindo dire\u00e7\u00e3o, sentido e magnitude. Ela \u00e9 definida levando-se em considera\u00e7\u00e3o o deslocamento do objeto em um determinado intervalo de tempo, ou seja, a velocidade diz respeito \u00e0 mudan\u00e7a da posi\u00e7\u00e3o com rela\u00e7\u00e3o ao tempo.<\/p>\n<p>Se conhecermos o deslocamento em certo intervalo de tempo, podemos dividir o deslocamento pelo tempo total de percurso, obtendo o que chamamos de <strong>velocidade vetorial m\u00e9dia<\/strong> do objeto neste intervalo de tempo:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">[tex]\\boxed{\\text{velocidade m\u00e9dia}=\\frac{\\text{deslocamento}}{\\text{tempo gasto}}}[\/tex].<\/p>\n<p>Ou seja,<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">[tex]\\boxed{v_{media}=\\frac{s_{final}-s_{inicial}}{\\Delta t}}[\/tex].<\/p>\n<p>\u00c9 importante dar aten\u00e7\u00e3o \u00e0s unidades de medida. Se, por exemplo, a magnitude da velocidade \u00e9 em quil\u00f4metros\/hora, a magnitude do deslocamento \u00e9 em quil\u00f4metros e o tempo \u00e9 em horas.<\/p>\n<p>Algumas vezes, por\u00e9m, n\u00e3o estamos interessados na dire\u00e7\u00e3o do deslocamento: queremos apenas saber qu\u00e3o r\u00e1pido o objeto se move. Nestes casos, podemos considerar apenas a <strong>velocidade escalar<\/strong>, que \u00e9 sempre positiva, n\u00e3o possuindo dire\u00e7\u00e3o ou sentido, diz respeito \u00e0 dist\u00e2ncia percorrida em um intervalo de tempo:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">[tex]\\boxed{\\text{velocidade escalar m\u00e9dia}=\\frac{\\text{dist\u00e2ncia percorrida}}{\\text{tempo gasto}}}[\/tex].<\/p>\n<p>Tanto na velocidade vetorial quanto na velocidade escalar, quanto menor o intervalo de tempo considerado, mais detalhada \u00e9 a informa\u00e7\u00e3o. Em um intervalo &#8220;infinitamente pequeno&#8221; (o que, formalmente, requer o uso de limites e foge do escopo desta sala), a velocidade vetorial m\u00e9dia se torna a <strong>velocidade vetorial instant\u00e2nea<\/strong>. O veloc\u00edmetro de um carro, por exemplo, mostra a magnitude (mas n\u00e3o a dire\u00e7\u00e3o, nem o sentido) da velocidade vetorial instant\u00e2nea do carro. A magnitude da velocidade vetorial instant\u00e2nea \u00e9 justamente a\u00a0<strong>velocidade escalar instant\u00e2nea<\/strong> do objeto.<\/p>\n<\/div>\n<p>Problemas envolvendo uma velocidade constante geralmente s\u00e3o resolvidos via equa\u00e7\u00f5es polinomiais do 1\u00b0 grau. O exemplo mais comum \u00e9 o do movimento uniforme, que ocorre quando um objeto desloca-se em linha reta\u00a0 com velocidade constante. Considerando uma velocidade constante, a velocidade instant\u00e2nea (vetorial ou escalar) \u00e9 igual \u00e0 velocidade m\u00e9dia (vetorial ou escalar, respectivamente) em qualquer intervalo de tempo. Neste caso, a magnitude da velocidade vetorial \u00e9 sempre igual \u00e0 velocidade escalar.<\/p>\n<p>Vejamos um exemplo: quanto tempo voc\u00ea leva para atravessar um campo de futebol de [tex]100~\\text{m}[\/tex] de comprimento, movendo-se em linha reta a uma velocidade constante de [tex]3~\\text{km\/h}[\/tex]?<\/p>\n<p>Como o comprimento do campo de futebol foi dado em metros, observe que sua velocidade tem magnitude 3000 m\/h. Considerando a dire\u00e7\u00e3o horizontal e o sentido no qual voc\u00ea corre como positivo, sua posi\u00e7\u00e3o final \u00e9 [tex]s_f=100[\/tex], enquanto sua posi\u00e7\u00e3o inicial \u00e9 [tex]s_i=0.[\/tex] O tempo total, em horas, ser\u00e1 dado pela seguinte equa\u00e7\u00e3o do primeiro grau:<br \/>\n[tex]\\qquad s_f=s_i+v t[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 100=0+3000 t[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad t=1\/30.[\/tex]<\/p>\n<p>Assim, voc\u00ea gastar\u00e1 [tex]1\/30[\/tex] de uma hora, ou [tex]60\/30=2[\/tex] minutos para cruzar o campo.<\/p>\n<p>Por\u00e9m, muitas vezes estamos interessados em um movimento no qual a velocidade se modifica, ou seja, existe uma <strong>acelera\u00e7\u00e3o<\/strong>.<\/p>\n<p><\/p>\n<div class=\"gree te1\"  style=\"width:95%; text-align:justify; background-color:#9ec4bc;border:1px solid #589386;line-height: 20px;\">\nAcelera\u00e7\u00e3o \u00e9 o nome dado a qualquer processo no qual a velocidade vetorial [tex]v[\/tex] varia em um intervalo de tempo [tex]\\Delta t[\/tex]. A <strong>acelera\u00e7\u00e3o vetorial m\u00e9dia<\/strong> do objeto pode ser definida matematicamente como<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">[tex]a_{media}=\\dfrac{\\Delta v}{\\Delta t}=\\dfrac{v_{final}-v_{inicial}}{\\Delta t}.[\/tex]<\/p>\n<p>Para a <strong>acelera\u00e7\u00e3o vetorial instant\u00e2nea<\/strong>, precisar\u00edamos considerar um intervalo de tempo infinitamente pequeno, o que requer, mais uma vez, o uso de limites.<\/p>\n<p>J\u00e1 a\u00a0<strong>acelera\u00e7\u00e3o escalar\u00a0<\/strong><strong>m\u00e9dia\u00a0<\/strong>\u00e9 definida como a varia\u00e7\u00e3o da\u00a0<strong>velocidade escalar\u00a0<\/strong>em fun\u00e7\u00e3o do tempo. Com um intervalo de tempo cada vez menor, obtemos, no limite, a\u00a0<strong>acelera\u00e7\u00e3o escalar\u00a0<\/strong><strong>instant\u00e2nea<\/strong>, que \u00e9 justamente a magnitude da\u00a0<strong>acelera\u00e7\u00e3o vetorial instant\u00e2nea<\/strong>.<\/p>\n<p>Nesta sala, consideramos apenas situa\u00e7\u00f5es nas quais a acelera\u00e7\u00e3o \u00e9 constante, de forma que a acelera\u00e7\u00e3o instant\u00e2nea (vetorial ou escalar) \u00e9 igual \u00e0 acelera\u00e7\u00e3o m\u00e9dia (vetorial ou escalar, respectivamente) em qualquer intervalo de tempo. Neste caso, a magnitude da acelera\u00e7\u00e3o vetorial \u00e9 sempre igual \u00e0 acelera\u00e7\u00e3o escalar.<\/p>\n<\/div>\n<p>Problemas envolvendo uma acelera\u00e7\u00e3o constante podem necessitar de uma equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica para serem resolvidos. O exemplo mais comum \u00e9 o do movimento uniformemente variado, que ocorre quando um objeto desloca-se em linha reta e com acelera\u00e7\u00e3o constante. Por exemplo, quando voc\u00ea lan\u00e7a um objeto para cima com uma velocidade\u00a0<em><strong>(velocidade vetorial instant\u00e2nea, cuja magnitude \u00e9 a velocidade escalar instant\u00e2nea)<\/strong><\/em>\u00a0inicial [tex]v_0[\/tex], a acelera\u00e7\u00e3o da gravidade <em><strong>(acelera\u00e7\u00e3o vetorial instant\u00e2nea, cuja magnitude \u00e9 a acelera\u00e7\u00e3o escalar instant\u00e2nea)<\/strong><\/em>\u00a0faz com que ele suba no ar cada vez mais devagar, para depois descer cada vez mais r\u00e1pido. De maneira geral, a velocidade de um objeto em movimento uniformemente variado num tempo [tex]t[\/tex] \u00e9 dada por<\/p>\n<p>[tex]v(t)=v_0+at,[\/tex]<\/p>\n<p>onde [tex]v_0[\/tex] \u00e9 a velocidade inicial e [tex]a[\/tex] \u00e9 a acelera\u00e7\u00e3o:<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-211420\" style=\"border: none;\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/MUV_Clubes.png\" alt=\"\" width=\"431\" height=\"364\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/MUV_Clubes.png 431w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/MUV_Clubes-300x253.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 431px) 100vw, 431px\" \/><\/p>\n<p>A magnitude do deslocamento do objeto, em cada instante, ser\u00e1 informada por uma fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica em [tex]t[\/tex]. Vejamos como. Para encontrar o deslocamento, utilizaremos a velocidade m\u00e9dia do objeto em um espa\u00e7o de tempo [tex]\\Delta t=t-0=t[\/tex]. Isso n\u00e3o \u00e9 t\u00e3o simples, porque, <em>a priori<\/em>, temos infinitas velocidades entre [tex]v_0[\/tex] e [tex]v_0+at[\/tex]. Para entender como encontramos a velocidade m\u00e9dia, suponha que sabemos apenas a velocidade inicial e a velocidade final. Neste caso, nossa primeira aproxima\u00e7\u00e3o para a velocidade m\u00e9dia do objeto seria<br \/>\n[tex]v_{media}=\\frac{v_0+v_0+at}{2}=v_0+a\\frac{t}{2}.[\/tex]<\/p>\n<p>Agora, supomos que conhecemos tamb\u00e9m a velocidade em [tex]\\frac{t}{2}[\/tex]. De fato a conhecemos:<br \/>\n[tex]\\qquad v\\left(\\frac{t}{2}\\right)=v_0+a\\frac{t}{2}.[\/tex]<\/p>\n<p>Como fica nossa aproxima\u00e7\u00e3o neste caso? E se consider\u00e1ssemos, al\u00e9m do tempo [tex]\\frac{t}{2}[\/tex], os tempos [tex]\\frac{t}{4}[\/tex] e [tex]\\frac{3t}{4}[\/tex]? Observe na figura abaixo o c\u00e1lculo das m\u00e9dias:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-211421\" style=\"border: none;\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/MUV_Clubes_2.png\" alt=\"\" width=\"413\" height=\"427\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/MUV_Clubes_2.png 413w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/MUV_Clubes_2-290x300.png 290w\" sizes=\"auto, (max-width: 413px) 100vw, 413px\" \/><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-211422\" style=\"border: none;\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/MUV_Clubes_3.png\" alt=\"\" width=\"428\" height=\"427\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/MUV_Clubes_3.png 428w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/MUV_Clubes_3-150x150.png 150w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/MUV_Clubes_3-300x300.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 428px) 100vw, 428px\" \/><\/p>\n<p>Uma justificativa formal foge do escopo desta sala, mas voc\u00ea pode perceber que, considerando mais e mais medi\u00e7\u00f5es, nos aproximamos da velocidade m\u00e9dia exata (aquela que seria definida por todas as infinitas medi\u00e7\u00f5es), e esta \u00e9, justamente, [tex]v_{media}=v_0+a\\frac{t}{2}.[\/tex]<\/p>\n<p>Portanto, o deslocamento\u00a0do objeto em um tempo [tex]t[\/tex] \u00e9 dado por<br \/>\n[tex]\\qquad d(t)=\\left(v_0+a\\dfrac{t}{2}\\right)t=\\frac{a}{2}t^2+v_0t.[\/tex]<\/p>\n<p>Como [tex]d(t)=s(t)-s_{inicial},[\/tex] temos<br \/>\n[tex]\\qquad s(t)-s_{inicial}=\\frac{a}{2}t^2+v_0t,[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad s(t)=\\frac{a}{2}t^2+v_0t+s_{inicial},[\/tex]<br \/>\numa fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica!<\/p>\n<p>Vejamos um exemplo de aplica\u00e7\u00e3o:<br \/>\n<\/p>\n<div class=\"gr1 cbve5\">\n<strong>Quest\u00e3o 3<\/strong><\/p>\n<p>De uma altura de [tex]2\\text{ m}[\/tex] em rela\u00e7\u00e3o ao solo, lan\u00e7a-se uma bola para cima com velocidade de\u00a0[tex]10\\text{ m\/s}[\/tex]. Daqui a quanto tempo ela atingir\u00e1 o solo?<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cve cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbve3\" style=\"display: none;\">\nIgnorando a resist\u00eancia do ar e sendo [tex]t[\/tex] o tempo em segundos desde o lan\u00e7amento, a velocidade inicial ser\u00e1 modificada a cada tempo [tex]t[\/tex] de maneira uniforme, com a acelera\u00e7\u00e3o constante da a\u00e7\u00e3o da gravidade, que aqui consideramos [tex]9,8 \\text{ m\/s}^2[\/tex].<br \/>\nComo velocidade e posi\u00e7\u00e3o s\u00e3o grandezas vetoriais (dependem de uma dire\u00e7\u00e3o e sentido), vamos considerar o sentido &#8220;para cima&#8221; como positivo. Assim, [tex]v_0=10\\text{ m\/s}[\/tex] e\u00a0[tex]a=-9,8 \\text{ m\/s}^2[\/tex]. Tamb\u00e9m consideramos a dire\u00e7\u00e3o vertical e [tex]s_0=2\\text{ m}[\/tex] como a posi\u00e7\u00e3o inicial. Como vimos, a posi\u00e7\u00e3o \u00e9 descrita pela equa\u00e7\u00e3o<\/p>\n<p>[tex]\\qquad s(t)=\\frac{a}{2}t^2+v_0t+s_{inicial}[\/tex], ou seja,<\/p>\n<p>[tex]\\qquad s(t)=-4,9t^2+10t+2.[\/tex]<\/p>\n<p>A bola estar\u00e1 no solo quando [tex]s(t)=0,[\/tex] ou seja, queremos resolver a equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica [tex]-4,9t^2+10t+2=0[\/tex]. Aplicando a f\u00f3rmula resolvente, temos<\/p>\n<p>[tex]\\qquad t=\\dfrac{-10\\pm \\sqrt{10^2-4\\times(-4,9)\\times2}}{2\\times(-4,9)}=\\dfrac{-10\\pm \\sqrt{139,2}}{-9,8}=\\dfrac{10\\mp\\sqrt{139,2}}{9,8}.[\/tex]<\/p>\n<p>Como queremos um tempo positivo,\u00a0a resposta, em segundos, \u00e9 dada por<\/p>\n<p>[tex]\\qquad t=\\dfrac{10+\\sqrt{139,2}}{9,8}\\approx 2,22.[\/tex]<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>Encontrar a velocidade de um determinado objeto tamb\u00e9m pode levar \u00e0 resolu\u00e7\u00e3o de uma equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica, e isso pode ser utilizado, por exemplo, por esportistas.<br \/>\n<\/p>\n<div class=\"gr1 cbve5\">\n<strong>Quest\u00e3o 4<\/strong><\/p>\n<p>Um caiaque est\u00e1 subindo um rio que flui a [tex]2 \\text{ km\/h}[\/tex]. Qual deve ser a velocidade aplicada do caiaque para que um percurso de\u00a0[tex]15 \\text{ km}[\/tex] seja realizado em\u00a0[tex]3 \\text{ h}[\/tex] (ida e volta)?<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cve cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbve3\" style=\"display: none;\">\n<p>Podemos modelar o problema da seguinte forma: considerando o rio retil\u00edneo, nosso problema \u00e9 unidimensional. Temos que definir um sentido positivo. Neste caso, definimos o sentido positivo para cima. Assim, partimos da altura [tex]0[\/tex] e o rio implica em uma velocidade [tex]-2 \\text{ km\/h}[\/tex]. Se\u00a0[tex]x[\/tex] \u00e9 a velocidade aplicada do caiaque em [tex]\\text{ km\/h} [\/tex], a velocidade efetiva na subida ser\u00e1 de [tex](x-2) \\text{ km\/h}[\/tex], ent\u00e3o o esportista gastar\u00e1\u00a0[tex]15\/(x-2)[\/tex] horas. J\u00e1 na descida, a velocidade efetiva ser\u00e1 de [tex](x+2) \\text{ km\/h}[\/tex], e o esportista gastar\u00e1\u00a0[tex]15\/(x+2)[\/tex] horas. Assim, teremos<\/p>\n<p>[tex]\\qquad \\dfrac{15}{x\u22122}+\\dfrac{15}{x+2}=3,[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad 15(x+2)+15(x\u22122)=3(x+2)(x\u22122),[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad 5(x+2)+5(x\u22122)=(x+2)(x\u22122),[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad 10x=x^2-4,[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad x^2\u221210x\u22124=0.[\/tex]<\/p>\n<p>Solucionando a equa\u00e7\u00e3o,<\/p>\n<p>[tex]\\qquad x=\\dfrac{10\\pm \\sqrt{10^2-4\\times1\\times(-4)}}{2\\times1}=\\dfrac{10\\pm \\sqrt{116}}{2}=5\\pm\\sqrt{29}.[\/tex]<\/p>\n<p>Como queremos uma raiz positiva, a velocidade aplicada ao caiaque deve ser de<\/p>\n<p>[tex]\\qquad x=5+\\sqrt{29}\\approx 10,39 \\text{km\/h}.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#3f888f; border: 0 none\"\/>\n&nbsp;<\/p>\n<p class=\"cve\" style=\"margin: 10px 120px 10px 120px; text-align:center; font-size:18px; line-height: 30px;\"> Custo, receita e otimiza\u00e7\u00e3o<\/p>\n<p>As fun\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas podem modelar diversas situa\u00e7\u00f5es de custo\/benef\u00edcio, al\u00e9m de possu\u00edrem uma f\u00f3rmula simples para seu ponto m\u00e1ximo\/m\u00ednimo e seu respectivo valor m\u00e1ximo\/m\u00ednimo. Assim, s\u00e3o muito utilizadas em problemas de <strong>otimiza\u00e7\u00e3o<\/strong>, onde precisamos encontrar um valor ou tempo \u00f3timo ou extremo em determinado contexto.<\/p>\n<p>O gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica [tex]h:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]h(x)=ax^2+bx+c,\\, a\\not=0[\/tex], \u00e9 uma par\u00e1bola com diretriz paralela ao eixo [tex]Ox[\/tex], eixo de simetria paralelo ao eixo [tex]Oy[\/tex], sendo sua concavidade voltada para cima se [tex]a\\gt 0[\/tex] e voltada para baixo se [tex]a\\lt0[\/tex].<\/p>\n<p>Se [tex]\\Delta= b^2-4ac[\/tex], as coordenadas do v\u00e9rtice da par\u00e1bola do gr\u00e1fico de [tex]h[\/tex] s\u00e3o dadas por:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad (x_v,y_v)=\\bigg(\\dfrac{-b}{2a},\\dfrac{-\\Delta}{4a}\\bigg)[\/tex],<br \/>\nsendo que [tex]x_v=\\dfrac{-b}{2a}\\, [\/tex] e [tex]\\, y_v=\\dfrac{-\\Delta}{4a}[\/tex] indicam, respectivamente:<\/p>\n<ul>\n<li>o ponto de m\u00ednimo e o valor m\u00ednimo da fun\u00e7\u00e3o [tex]h[\/tex], se a concavidade estiver voltada para cima;<\/li>\n<li>o ponto de m\u00e1ximo e o valor m\u00e1ximo da fun\u00e7\u00e3o [tex]h[\/tex], se a concavidade estiver voltada para baixo.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Particularmente, se [tex]\\Delta \\gt 0[\/tex], [tex]x_v[\/tex] \u00e9 a m\u00e9dia entre as duas ra\u00edzes de [tex]h[\/tex]: [tex]x_v=\\dfrac{r_1+r_2}{2}.[\/tex]<\/p>\n<p>Visualizem as informa\u00e7\u00f5es, se [tex]\\Delta \\gt 0[\/tex], nos gr\u00e1ficos abaixo:<br \/>\n<img decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/prob190_1.png\" \/><\/p>\n<p>Nos pr\u00f3ximos problemas, utilizaremos fun\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas para problemas de custo e receita. Antes de passar para os problemas, vamos dar uma revisada: o custo \u00e9 todo e qualquer valor aplicado no momento da produ\u00e7\u00e3o do produto. Podemos considerar como custos a m\u00e3o de obra, a mat\u00e9ria-prima e os insumos utilizados na produ\u00e7\u00e3o, al\u00e9m da quantia despendida com energia el\u00e9trica, manuten\u00e7\u00e3o, deprecia\u00e7\u00e3o de m\u00e1quinas e equipamentos. Os custos podem ser classificados em fixos e vari\u00e1veis:<\/p>\n<p><strong>\u2710\u00a0Custos Fixos<\/strong><\/p>\n<p>Custos fixos s\u00e3o aqueles que n\u00e3o sofrem altera\u00e7\u00e3o de valor em caso de aumento ou diminui\u00e7\u00e3o da produ\u00e7\u00e3o. Independem, portanto, do n\u00edvel de atividade e s\u00e3o conhecidos tamb\u00e9m como custos de estrutura.<\/p>\n<p>Exemplos: Limpeza e conserva\u00e7\u00e3o; alugu\u00e9is de equipamentos e instala\u00e7\u00f5es.<\/p>\n<p><strong>\u2710\u00a0Custos Vari\u00e1veis<\/strong><\/p>\n<p>Classificamos como custos vari\u00e1veis aqueles que variam proporcionalmente, de acordo com o n\u00edvel de produ\u00e7\u00e3o ou atividades. Seus valores dependem diretamente do volume produzido ou volume de vendas efetivado num determinado per\u00edodo.<\/p>\n<p>Exemplos: Mat\u00e9rias-primas; insumos produtivos (\u00e1gua, energia).<\/p>\n<p>Agora que j\u00e1 entendemos os &#8220;atores&#8221; do nosso contexto, vamos aos problemas!<br \/>\n<\/p>\n<div class=\"gr1 cbve5\">\n<strong>Quest\u00e3o 5<\/strong><\/p>\n<p>A diretoria de vendas de uma determinada empresa decide que, ao produzir e vender [tex]x[\/tex] unidades de certo produto, a receita total das vendas desse produto, em reais, dever\u00e1 ser [tex]100 \\sqrt{x}[\/tex]. Se a produ\u00e7\u00e3o de qualquer quantidade desse produto tem um custo fixo de [tex]R\\$\\, 1.200,00[\/tex] e o custo por unidade produzida \u00e9 de [tex]R\\$ \\, 2,00[\/tex], para quais valores de [tex]x[\/tex] a empresa n\u00e3o ter\u00e1 lucro nem preju\u00edzo, isto \u00e9, a receita total das vendas ser\u00e1 o custo vari\u00e1vel mais o custo fixo?<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cve cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbve3\" style=\"display: none;\">\n<p>Veja a solu\u00e7\u00e3o\u00a0<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-fazendo-negocios\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">AQUI.<\/a>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><\/p>\n<div class=\"gr1 cbve5\">\n<strong>Quest\u00e3o 6<\/strong><br \/>\nUma empresa produz semanalmente [tex]300[\/tex] unidades de um determinado produto, quantidade essa que \u00e9 vendida totalmente ao pre\u00e7o de [tex]600[\/tex] reais cada unidade.<br \/>\nAo longo de um per\u00edodo de tempo observou-se que, se o pre\u00e7o das unidades variava, as vendas tamb\u00e9m variavam de acordo com a seguinte rela\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<ul>\n<li>a cada [tex]7[\/tex] reais de aumento ou de desconto no pre\u00e7o de cada unidade, a venda diminu\u00eda ou aumentava em [tex]3[\/tex] unidades, respectivamente.<\/li>\n<\/ul>\n<p>A partir dessas observa\u00e7\u00f5es, a que pre\u00e7o a receita seria m\u00e1xima?<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cve cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbve3\" style=\"display: none;\">\nVeja a solu\u00e7\u00e3o <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-analise-de-vendas-de-um-produto\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">AQUI.<\/a>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#3f888f; border: 0 none\"\/>\n<p class=\"cve\" style=\"margin: 10px 120px 10px 120px; text-align:center; font-size:18px; line-height: 30px;\"> As Par\u00e1bolas<\/p>\n<p>Conforme explicado acima, o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica \u00e9 uma par\u00e1bola. Voc\u00ea j\u00e1 parou para pensar por que as antenas parab\u00f3licas s\u00e3o <strong>parab\u00f3licas<\/strong>?<\/p>\n<p>Isso envolve a configura\u00e7\u00e3o de certos \u00e2ngulos para que os sinais sejam captados de forma eficaz. Em uma superf\u00edcie parab\u00f3lica,\u00a0um feixe de part\u00edculas paralelas ao eixo de simetria \u00e9 direcionado para o seu foco.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><strong>Foco da par\u00e1bola?\u00a0Acho que &#8220;perdi o foco&#8221;.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-17461\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/04\/carinha20.jpg\" alt=\"\" width=\"105\" height=\"102\" \/><\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><strong>Calma!<\/strong><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Realmente, at\u00e9 agora, falamos da par\u00e1bola como o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica. <b>Mas, existe uma descri\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica muito interessante para este objeto matem\u00e1tico.\u00a0<\/b>Uma\u00a0par\u00e1bola \u00e9 o lugar geom\u00e9trico dos pontos que equidistam de um ponto (chamado o foco da par\u00e1bola) e de uma reta (a diretriz da par\u00e1bola). Em outras palavras, todos os pontos do plano que t\u00eam a mesma dist\u00e2ncia de um ponto e uma reta dada formam uma par\u00e1bola:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-208127\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Parabola_Foco_Diretriz.png\" alt=\"\" width=\"580\" height=\"528\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Parabola_Foco_Diretriz.png 1824w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Parabola_Foco_Diretriz-300x273.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Parabola_Foco_Diretriz-768x700.png 768w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Parabola_Foco_Diretriz-1024x933.png 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 580px) 100vw, 580px\" \/><\/p>\n<p>Voltando \u00e0 propriedade de reflex\u00e3o, segundo a qual\u00a0um feixe de part\u00edculas paralelas ao eixo de simetria \u00e9 direcionado para o seu foco, o\u00a0 inverso tamb\u00e9m vale, isto \u00e9, as part\u00edculas que saem do foco s\u00e3o refletidas na superf\u00edcie e projetam um feixe paralelo ao eixo de simetria da par\u00e1bola. Este \u00e9 o princ\u00edpio de funcionamento dos far\u00f3is, por exemplo, que s\u00e3o superf\u00edcies parab\u00f3licas.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/Parabolica.jpg\" alt=\"\" width=\"206\" height=\"245\" class=\"aligncenter size-full wp-image-221346\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: center; font-size:11px;\"><em>Imagem extra\u00edda de\u00a0<a href=\"https:\/\/www3.unicentro.br\/petfisica\/2016\/03\/30\/parabolas-as-curvas-misteriosas\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Par\u00e1bolas: As curvas misteriosas<\/a>. Acesso em: jun 2024.<\/em><\/p>\n<p>Para entender melhor, nada mais adequado do que assistir a um v\u00eddeo do grande professor Elon (falecido em\u00a0 2017):<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><strong><div id=\"wpfp_9f7153089ec37d03c7cb39f03912c83b\" data-item=\"{&quot;sources&quot;:[{&quot;src&quot;:&quot;https:\\\/\\\/www.youtube.com\\\/watch?v=4ROMvyWqUic&quot;,&quot;type&quot;:&quot;video\\\/youtube&quot;}],&quot;id&quot;:&quot;8&quot;,&quot;splash&quot;:&quot;https:\\\/\\\/i.ytimg.com\\\/vi\\\/4ROMvyWqUic\\\/maxresdefault.jpg#auto&quot;}\" class=\"flowplayer no-brand is-splash is-paused skin-slim no-svg fp-slim fp-edgy is-youtube\" data-engine=\"fvyoutube\" data-fv-embed=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/voltando-de-um-passeio-pelo-mundo-da-equacao-quadratica-ideias-e-aplicacoes\/fvp-8\/\" style=\"position:relative; max-width: 640px; max-height: 480px; \" data-ratio=\"0.75\">\n\t<div class=\"fp-ratio\" style=\"padding-top: 75%\"><\/div>\n\t<img decoding=\"async\" class=\"fp-splash\" alt=\"video\" src=\"https:\/\/i.ytimg.com\/vi\/4ROMvyWqUic\/maxresdefault.jpg#auto\" style=\"position:absolute;top:0;width:100%\" \/>\n\t<div class=\"fp-ui\"><noscript>Please enable JavaScript<\/noscript><div class=\"fp-play fp-visible\"><svg class=\"fp-play-sharp-fill\" xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/2000\/svg\" viewBox=\"0 0 100 100\"><defs><style>.fp-color-play{opacity:0.65;}.controlbutton{fill:#fff;}<\/style><\/defs><title>play-sharp-fill<\/title><path class=\"fp-color-play\" d=\"M49.9217-.078a50,50,0,1,0,50,50A50.0564,50.0564,0,0,0,49.9217-.078Z\"\/><polygon class=\"controlbutton\" points=\"73.601 50 37.968 70.573 37.968 29.427 73.601 50\" filter=\"url(#f1)\"\/><\/svg><\/div><div class=\"fp-preload\"><b><\/b><b><\/b><b><\/b><b><\/b><\/div><\/div>\n<div class='fvp-share-bar'><ul class=\"fvp-sharing\">\r\n    <li><a class=\"sharing-facebook\" href=\"https:\/\/www.facebook.com\/sharer\/sharer.php?u=https%3A%2F%2Fclubes.obmep.org.br%2Fblog%2Fvoltando-de-um-passeio-pelo-mundo-da-equacao-quadratica-ideias-e-aplicacoes%2F\" target=\"_blank\"><\/a><\/li>\r\n    <li><a class=\"sharing-twitter\" href=\"https:\/\/twitter.com\/intent\/tweet?text=Clubes+de+Matem%C3%A1tica+da+OBMEP+&url=https%3A%2F%2Fclubes.obmep.org.br%2Fblog%2Fvoltando-de-um-passeio-pelo-mundo-da-equacao-quadratica-ideias-e-aplicacoes%2F\" target=\"_blank\"><\/a><\/li>\r\n    <li><a class=\"sharing-email\" href=\"mailto:?body=Check%20out%20the%20amazing%20video%20here%3A%20https%3A%2F%2Fclubes.obmep.org.br%2Fblog%2Fvoltando-de-um-passeio-pelo-mundo-da-equacao-quadratica-ideias-e-aplicacoes%2F\" target=\"_blank\"><\/a><\/li><\/ul><div><a class=\"sharing-link\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/voltando-de-um-passeio-pelo-mundo-da-equacao-quadratica-ideias-e-aplicacoes\/\" target=\"_blank\">Link<\/a><\/div><div><label><a class=\"embed-code-toggle\" href=\"#\"><strong>Embed<\/strong><\/a><\/label><\/div><div class=\"embed-code\"><label>Copy and paste this HTML code into your webpage to embed.<\/label><textarea><\/textarea><\/div><\/div>\n<\/div>\n<\/strong><\/p>\n<p><\/p>\n<div class=\"gr1 cbve5\">\n<strong>Quest\u00e3o 7<\/strong><\/p>\n<p>Um refletor parab\u00f3lico tem\u00a0[tex]15\\text{ cm}[\/tex] de profundidade e seu di\u00e2metro \u00e9 de\u00a0[tex]40\\text{ cm}[\/tex]. A que dist\u00e2ncia est\u00e1 o foco do v\u00e9rtice?<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cve cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbve3\" style=\"display: none;\">\n<p>O esquema da situa\u00e7\u00e3o est\u00e1 desenhado a seguir:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-208129\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Explicacao.png\" alt=\"\" width=\"374\" height=\"338\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Explicacao.png 439w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Explicacao-300x271.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 374px) 100vw, 374px\" \/><\/p>\n<p>\u00c9 seu exerc\u00edcio entender cada passo do esquema e resolver a quest\u00e3o pelo Teorema de Pit\u00e1goras!\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>Embora a utiliza\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica na quest\u00e3o acima seja apenas por conta do Teorema de Pit\u00e1goras, fica clara a import\u00e2ncia da equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica em problemas de geometria envolvendo par\u00e1bolas, desde que possamos relacionar as duas defini\u00e7\u00f5es de par\u00e1bola (a defini\u00e7\u00e3o alg\u00e9brica, como o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica, e a defini\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica, via foco e diretriz). Mas como encontrar a equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica que define uma par\u00e1bola dados seu foco e sua diretriz?<br \/>\n<\/p>\n<div class=\"gr1 cbve5\">\n<strong>Quest\u00e3o 8<\/strong><\/p>\n<p>Encontre a fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica cujo gr\u00e1fico \u00e9 uma par\u00e1bola com diretriz [tex]y=3[\/tex] e foco [tex]F=(-2,5)[\/tex]. Voc\u00ea consegue generalizar para uma par\u00e1bola com diretriz [tex]y=d[\/tex] e foco [tex]F=(m,n)[\/tex]?<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cve cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Dica\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Dica';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbve3\" style=\"display: none;\">\nConsidere um ponto qualquer [tex](x,y)[\/tex]. Pela defini\u00e7\u00e3o, [tex](x,y)[\/tex] pertence \u00e0 par\u00e1bola se, e somente se, sua dist\u00e2ncia ao foco for igual \u00e0 sua dist\u00e2ncia \u00e0 diretriz.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-211430\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/Parabola_Clubes.png\" alt=\"\" width=\"671\" height=\"469\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/Parabola_Clubes.png 671w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/Parabola_Clubes-300x210.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 671px) 100vw, 671px\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><\/p>\n<div class=\"gr1 cbve5\">\n<strong>Quest\u00e3o 9<\/strong><\/p>\n<p>Uma se\u00e7\u00e3o transversal de um iniciador de fogo solar com tamanho de viagem \u00e9 mostrada abaixo:<\/p>\n<p><strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-213715\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/Acendedor_Clubes-2.png\" alt=\"\" width=\"529\" height=\"220\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/Acendedor_Clubes-2.png 529w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/Acendedor_Clubes-2-300x125.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 529px) 100vw, 529px\" \/><\/strong><br \/>\nOs raios do sol refletem no espelho parab\u00f3lico em dire\u00e7\u00e3o a um objeto preso ao dispositivo de igni\u00e7\u00e3o. Como o dispositivo de igni\u00e7\u00e3o est\u00e1 localizado no foco da par\u00e1bola, os raios refletidos fazem com que o objeto queime em apenas alguns segundos.<\/p>\n<p>Supondo que o v\u00e9rtice do espelho parab\u00f3lico seja a origem do plano cartesiano,\u00a0 encontre a equa\u00e7\u00e3o da par\u00e1bola que modela o iniciador de fogo.\u00a0 Use esta equa\u00e7\u00e3o para encontrar a profundidade do iniciador de fogo.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cve cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbve3\" style=\"display: none;\">\nComo o v\u00e9rtice da par\u00e1bola \u00e9 o ponto [tex](0, 0)[\/tex], a diretriz \u00e9 paralela ao eixo [tex]Ox[\/tex] e consideramos a par\u00e1bola voltada para cima, o foco \u00e9 o ponto [tex](0; 4,3)[\/tex]. Como o v\u00e9rtice deve estar \u00e0 mesma dist\u00e2ncia do foco e da diretriz, a diretriz da par\u00e1bola \u00e9 a reta [tex]y=-4,3[\/tex]. Um ponto [tex](x,y)[\/tex] qualquer na par\u00e1bola deve satisfazer<\/p>\n<p>[tex]\\qquad \\sqrt{(x-0)^2+(y-4,3)^2} =y-(-4,3),[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad \\sqrt{x^2+(y-4,3)^2}=y+4,3,[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad x^2+(y-4,3)^2=(y+4,3)^2,[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad x^2+y^2-8,6y+18,49=y^2+8,6y+18,49,[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad y=\\frac{1}{17,2}x^2.[\/tex]<\/p>\n<p>Observe que os pontos da beirada do espelho est\u00e3o a uma dist\u00e2ncia [tex]11,4\/2=5,7[\/tex] do eixo [tex]Oy[\/tex]. A profundidade do objeto \u00e9 dada pela ordenada desses pontos:<\/p>\n<p>[tex]\\qquad y=\\frac{1}{17,2}(\\pm5,7)^2\\approx 1,89\\text{ cm}.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<\/div>\n<p><\/p>\n<div class=\"gr1 cbve5\" style=\"width:95%;\">\n<p class=\"cve\" style=\"margin: 10px 120px 10px 120px; text-align:center; font-size:18px; line-height: 30px;\"> Atividade em grupo 2<\/p>\n<p>Voc\u00ea verificou na Quest\u00e3o 3 que as equa\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas s\u00e3o fundamentais para descrever o movimento vertical de um objeto lan\u00e7ado. Mas se engana se pensa que a equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica para a descri\u00e7\u00e3o de movimentos se resume a lan\u00e7amentos verticais! As par\u00e1bolas est\u00e3o intimamente ligadas aos lan\u00e7amentos obl\u00edquos. Para entender um pouco mais, propomos um experimento para a observa\u00e7\u00e3o de par\u00e1bolas a partir de jatos de \u00e1gua.<\/p>\n<p><strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-3060 alignleft\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/02\/carinha4.jpg\" alt=\"\" width=\"111\" height=\"103\" \/>Materiais necess\u00e1rios:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Uma mangueira que forne\u00e7a um jato cont\u00ednuo, sem esguichar muita \u00e1gua;<\/li>\n<li>Trena;<\/li>\n<li>Transferidor;<\/li>\n<li>Cron\u00f4metro.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Procedimentos:<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li>Regular o fluxo de \u00e1gua que sai pela mangueira (cuidado com o desperd\u00edcio!);<\/li>\n<li>Para melhor percep\u00e7\u00e3o, sugere-se que o\u00a0experimento seja realizado pr\u00f3ximo de uma parede, onde deve ser marcada a posi\u00e7\u00e3o inicial (origem) e os \u00e2ngulos ([tex]90^\\circ[\/tex], [tex]75^\\circ[\/tex], [tex]60^\\circ[\/tex], [tex]45^\\circ[\/tex], [tex]30^\\circ[\/tex] e [tex]15^\\circ[\/tex]);<\/li>\n<li>Para cada \u00e2ngulo, medir\u00a0o tempo ([tex]t[\/tex]) necess\u00e1rio para o jato retornar ao solo e o alcance ([tex]A[\/tex]);<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-207850\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Mangueira.png\" alt=\"\" width=\"385\" height=\"208\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Mangueira.png 581w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Mangueira-300x162.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 385px) 100vw, 385px\" \/><\/li>\n<li>O experimento pode ser filmado e exibido em c\u00e2mera lenta para melhor observa\u00e7\u00e3o;<\/li>\n<li>Para cada \u00e2ngulo, escrever uma fun\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica que descreve o movimento da \u00e1gua (altura x tempo),\u00a0 construir os gr\u00e1ficos (manualmente ou com o uso do computador), e discutir os resultados.<\/li>\n<li>Pesquisar sobre a f\u00f3rmula do alcance, com a ajuda de seus professores de matem\u00e1tica e de f\u00edsica.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<p><\/p>\n<p>Na pr\u00f3xima Sala, vamos mostrar como as equa\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas auxiliam em problemas reais relativos ao estudo do espa\u00e7o.<\/p>\n<div style=\"text-align:center; padding:15px\">\n<td  class=\"bf\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=220430&#038;preview=true\" title=\"Clique aqui e v\u00e1 para a  para a Sala 2 - M\u00e3os na massa com a NASA. \" target=\"_blank\"><span class=\"gr1 cbved\" > <strong>Sala 2<\/strong><\/span><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<p>\n<\/div>\n<p>\n<\/div>\n<p><\/p>\n<div style=\"padding-left:10px; padding-right:10px;\">\n<div class=\"ref\" style=\"width:97%;\">\n<em>REFER\u00caNCIAS (\u00daltimo acesso aos links: jun. 2024)<\/em><\/p>\n<ol>\n<li><a href=\"https:\/\/www.toppr.com\/guides\/maths\/quadratic-equations\/applications-of-quadratic-equations\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Applications of Quadratic Equations (toppr)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/courses.lumenlearning.com\/cuny-hunter-collegealgebra\/chapter\/applications-of-quadratic-functions\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Applications of Quadratic Functions (lumen)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.whitmoreschool.org\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/Alg_2CP_lesson13_Demo.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Application Problems with Quadratic Equations (Whitmore School)<\/a><\/li>\n<li>Chung, K. A par\u00e1bola, sua propriedade refletora e aplica\u00e7\u00f5es.\u00a0<i>Trabalho de Conclus\u00e3o-Departamento de Matem\u00e1tica da Universidade Federal Rural de Pernambuco<\/i>,\u00a0<i>32<\/i>.<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.parabolixlight.com\/fresnel-lens-and-parabolic-reflectors\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Fresnel Lens and Parabolic Reflectors (Parabolix)<\/a><\/li>\n<li>&#8220;Modelagem Matem\u00e1tica no Ensino de Fun\u00e7\u00f5es Polinomiais do 2\u00ba Grau&#8221; em S\u00f3 Pedagogia. Virtuous Tecnologia da Informa\u00e7\u00e3o, 2008-2023. Dispon\u00edvel em <a href=\"http:\/\/www.pedagogia.com.br\/artigos\/modelagemmatematica\/index.php\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">http:\/\/www.pedagogia.com.br\/artigos\/modelagemmatematica\/index.php<\/a>.<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/isaacphysics.org\/questions\/parabolic_mirror?stage=all\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Parabolic Mirror (Isaac Physics)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/study.com\/learn\/lesson\/quadratic-equation-in-real-life-overview-examples.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Quadratic Equations in Real Life (Study.com)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.mathsisfun.com\/algebra\/quadratic-equation-real-world.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Real World Examples of Quadratic Equations (Math is Fun)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sccollege.edu\/academics\/areasofstudy\/stem\/SitePages\/Home.aspx\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Study STEM @ SCC<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/pt.khanacademy.org\/science\/physics\/one-dimensional-motion\/acceleration-tutorial\/a\/acceleration-article\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">O que \u00e9 acelera\u00e7\u00e3o? (Khan Academy)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/pt.khanacademy.org\/science\/physics\/one-dimensional-motion\/displacement-velocity-time\/a\/what-is-displacement\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">O que \u00e9 deslocamento? (Khan Academy)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/pt.khanacademy.org\/science\/physics\/one-dimensional-motion\/displacement-velocity-time\/a\/what-is-velocity\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">O que \u00e9 velocidade vetorial m\u00e9dia? (Khan Academy)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/pt.khanacademy.org\/math\/geometry\/xff63fac4:hs-geo-conic-sections\/xff63fac4:hs-geo-parabola\/a\/parabola-focus-directrix-review\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Revis\u00e3o do foco e diretriz da par\u00e1bola (Khan Academy)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/allusesof.com\/math\/uses-of-quadratic-equations-in-daily-life\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Uses of quadratic equations in daily life (All uses of)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/brasilescola.uol.com.br\/fisica\/movimento-uniforme.htm\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Movimento uniforme (Brasil Escola)<\/a><\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Salve, explorador(a)! Como foi o passeio pelo mundo da Equa\u00e7\u00e3o Quadr\u00e1tica? Da Mesopot\u00e2mia \u00e0s f\u00f3rmulas de Vi\u00e8te, passando por Euclides, Bh\u00e1skara, e chegando a alguns exerc\u00edcios &#8220;bugantes&#8221;, com certeza sua mochila volta cheia de ferramentas incr\u00edveis. Agora \u00e9 hora de usar essas ferramentas! Afinal, &#8220;Tudo o que fazemos \u00e9 baseado em alguma estrutura matem\u00e1tica e, &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/voltando-de-um-passeio-pelo-mundo-da-equacao-quadratica-ideias-e-aplicacoes\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":255,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-211024","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/211024","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/255"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=211024"}],"version-history":[{"count":117,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/211024\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":222198,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/211024\/revisions\/222198"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=211024"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}