\n
Problema Qual a senha do cofre onde est\u00e1 o presente do Paulinho? \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n a senha do cofre \u00e9 [tex]\\boxed{N=abcde} \\, \\, \\, [\/tex]; [tex] \\, \\, \\, \\boxed{P=abcde1} \\, \\, \\, [\/tex] ; [tex] \\, \\, \\, \\boxed{Q=1abcde} \\, [\/tex].<\/p>\n (Antes de prosseguir, perceba que as nota\u00e7\u00f5es [tex]abcde[\/tex], [tex]abcde1[\/tex] e [tex]1abcde[\/tex] n\u00e3o indicam produtos e sim representa\u00e7\u00f5es de n\u00famero de cinco algarismos no sistema decimal.)<\/span> [tex] \\begin{array}{c&c&c&c&c&c} Como o algarismo das unidades do produto \u00e9 [tex]1[\/tex], conclu\u00edmos que [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$e=7$} \\, [\/tex], pois [tex]3\\times 7=2\\underline{1}[\/tex] e [tex]7[\/tex] \u00e9 o \u00fanico algarismo que, quando multiplicado por [tex]3 \\, [\/tex], resulta em um produto que termina em [tex]1[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n Substituindo o algarismo [tex]e[\/tex] pelo seu valor e fazendo a multiplica\u00e7\u00e3o [tex]3\\times 7=21[\/tex], partimos para a pr\u00f3xima etapa.<\/p>\n [tex]\\begin{array}{c&c&c&c&c&c}&&&&\\underline{_2}&\\\\1&a&b&c&d&7\\\\&&&&\\times&3\\\\\\hline a&b&c&d&7&1\\end{array}[\/tex]<\/p>\n O \u00faltimo algarismo do n\u00famero [tex]\\boxed{3\\times d+2} \\, [\/tex] deve ser [tex]7[\/tex]. Aqui, a \u00fanica possibilidade \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$d=5$} \\, [\/tex], pois [tex]3\\times 5+2=1\\underline{7}[\/tex] e [tex]5[\/tex] \u00e9 o \u00fanico algarismo que produz o resultado desejado terminando em [tex]7[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n Vamos substituir o algarismo [tex]d[\/tex] pelo seu valor, efetuar [tex]3\\times 5+2=17[\/tex] e partir para mais uma etapa.<\/p>\n [tex]\\begin{array}{c&c&c&c&c&c}&&&\\underline{_1}&\\underline{_2}&\\\\1&a&b&c&5&7\\\\&&&&\\times&3\\\\\\hline a&b&c&5&7&1\\end{array}[\/tex]<\/p>\n Ao fazermos [tex]\\boxed{3\\times c+1} \\, [\/tex] obteremos um n\u00famero cujo \u00faltimo algarismo \u00e9 [tex]5[\/tex]. Veja que [tex]3\\times 8+1=2\\underline{5}[\/tex] e [tex]8[\/tex] \u00e9 o \u00fanico algarismo que produz o resultado necess\u00e1rio terminado em [tex]5[\/tex]. Assim, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$c=8$} \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n Substitu\u00edmos o algarismo [tex]c[\/tex] pelo seu valor, fazemos a soma [tex](3\\times 8)+1=25[\/tex] e podemos efetuar mais uma etapa do algoritmo.<\/p>\n [tex]\\begin{array}{c&c&c&c&c&c}&&\\underline{_2}&\\underline{_1}&\\underline{_2}&\\\\1&a&b&8&5&7\\\\&&&&\\times&3\\\\\\hline a&b&8&5&7&1\\end{array}[\/tex]<\/p>\n Faremos agora [tex]\\boxed{3\\times b+2} \\, [\/tex] e o resultado deve terminar em [tex]8[\/tex]. De maneira an\u00e1loga, [tex]3\\times 2+2=\\underline{8}[\/tex] e [tex]2[\/tex] \u00e9 o \u00fanico algarismo que produz o resultado em quest\u00e3o terminando em [tex]8[\/tex]. Assim, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$b=2$} \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n Ufa, faremos [tex]b=2[\/tex] e vamos para a \u00faltima etapa do algoritmo.<\/p>\n [tex]\\begin{array}{c&c&c&c&c&c}&&\\underline{_2}&\\underline{_1}&\\underline{_2}&\\\\1&a&2&8&5&7\\\\&&&&\\times&3\\\\\\hline a&2&8&5&7&1\\end{array}[\/tex]<\/p>\n Agora ficou f\u00e1cil: precisamos de um algarismo que multiplicado por [tex]3[\/tex] resulte um n\u00famero que termine em [tex]2[\/tex] e apenas o [tex]4[\/tex] tem essa caracter\u00edstica; assim [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=4$} \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n \n [tex]\\begin{array}{c&c&c&c&c&c}&&\\underline{_2}&\\underline{_1}&\\underline{_2}&\\\\1&4&2&8&5&7\\\\&&&&\\times&3\\\\\\hline 4&2&8&5&7&1\\end{array}[\/tex]<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n Pronto, Paulinho, a senha que permite a voc\u00ea abrir o cofre e pegar seu presente \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$428571$}[\/tex] !<\/strong><\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 8\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n
\nSeu Paulo comprou um presente para o filho Paulinho. Por\u00e9m, para fazer suspense, seu Paulo colocou o presente em um pequeno cofre que eles t\u00eam em casa e cuja senha de abertura o Paulinho n\u00e3o conhece. Essa senha \u00e9 um n\u00famero natural [tex]N[\/tex] com cinco algarismos e seu Paulo forneceu a seguinte pista para o Paulinho:<\/p>\n\n
\n![](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/10\/prob129.png\")
<\/p>\n
\nSejam [tex] \\, \\, a, \\, b, \\, c, \\, d, \\, e \\, \\, [\/tex] os algarismos do n\u00famero [tex]N \\, [\/tex]; portanto:<\/p>\n
\nSabemos que [tex]P[\/tex] \u00e9 o triplo de [tex]Q[\/tex], ent\u00e3o vamos utilizar o algoritmo da multiplica\u00e7\u00e3o para tentar obter os cinco algarismos em quest\u00e3o e, consequentemente, ajudar Paulinho.<\/p>\n\n
\n
\n1&a&b&c&d&e\\\\
\n&&&&\\times&3\\\\
\n\\hline
\na&b&c&d&e&1\\end{array}[\/tex]<\/p>\n\n
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\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n\n
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