Problema Calcule o n\u00famero de c\u00f3digos que dever\u00e3o ser experimentados para que, com certeza, essa pessoa consiga desbloquear e acessar as informa\u00e7\u00f5es desse aparelho celular.<\/p>\n Adaptado de IME – 2005<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n AJUDAS<\/p>\n \n ✏<\/strong> <\/span>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>: Se<\/p>\n ent\u00e3o o n\u00famero total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[\/tex] decis\u00f5es (D1<\/strong> e D2<\/strong> e [tex]\\cdots[\/tex] e Dk<\/strong>) \u00e9 igual ao produto \n ✏<\/strong> <\/span>Princ\u00edpio Aditivo<\/strong>: Se<\/p>\n ent\u00e3o a quantidade de maneiras em que uma das [tex]k[\/tex] decis\u00f5es pode ser tomada (D1<\/strong> ou D2<\/strong> ou [tex]\\cdots[\/tex] ou Dk<\/strong>) \u00e9 \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n 2\u00ba) O primeiro e o \u00faltimo d\u00edgitos est\u00e3o na segunda ou terceira linha <\/strong> Por fim, utilizando o Princ\u00edpio Aditivo<\/strong><\/em><\/span>, s\u00e3o [tex]\\boxed{162+9=171}[\/tex] possibilidades para desbloquear o aparelho celular.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n [tex]\\begin{array}{c c c c} Assim, pelo Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong><\/em><\/span>, o c\u00f3digo pode ser formado de [tex] \\, \\boxed{3\\times 3 \\times 3 \\times 3=81}[\/tex] modos, nestas condi\u00e7\u00f5es.\n<\/li>\n [tex]\\begin{array}{c c c c} Assim, pelo Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong><\/em><\/span>, o c\u00f3digo pode ser formado de [tex] \\, \\boxed{3\\times 3 \\times 3 \\times 3=81}[\/tex] modos, nestas condi\u00e7\u00f5es.\n<\/li>\n [tex]\\begin{array}{c c c c} Assim, pelo Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong><\/em><\/span>, o c\u00f3digo pode ser formado de [tex] \\, \\boxed{1\\times 3 \\times 3 \\times 1=9}[\/tex] modos, nestas condi\u00e7\u00f5es.\n<\/li>\n<\/ul>\n Finalmente, utilizando o Princ\u00edpio Aditivo<\/strong><\/em><\/span>, s\u00e3o [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$81+81+9=171$}~[\/tex] possibilidades para desbloquear o aparelho celular em quest\u00e3o.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema. Problema (Indicado a partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.) Para que um usu\u00e1rio digite o c\u00f3digo de acesso do seu celular, ele utiliza um teclado num\u00e9rico, como o que aparece na figura abaixo. Uma pessoa observa de longe o propriet\u00e1rio do celular e percebe que: I) … <\/p>\n
\n (Indicado a partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nPara que um usu\u00e1rio digite o c\u00f3digo de acesso do seu celular, ele utiliza um teclado num\u00e9rico, como o que aparece na figura abaixo. <\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Celular-185x300.jpg\")
\nUma pessoa observa de longe o propriet\u00e1rio do celular e percebe que:
\nI) O c\u00f3digo utilizado possui [tex]4[\/tex] d\u00edgitos.
\nII) O primeiro e o \u00faltimo d\u00edgitos encontram-se numa mesma linha.
\nIII) O segundo e o terceiro d\u00edgitos encontram-se na linha imediatamente superior.<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1\\times m_2 \\times \\cdots \\times m_k} \\, .[\/tex] <\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1+ m_2 + \\cdots + m_k} \\, .[\/tex] <\/p>\n
\nPelas observa\u00e7\u00f5es feitas, podemos concluir que o segundo e o terceiro d\u00edgitos n\u00e3o podem assumir o valor zero (pois n\u00e3o h\u00e1 linha abaixo) e o primeiro e o \u00faltimo d\u00edgitos n\u00e3o podem assumir os valores [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex] e [tex]3[\/tex] (pois n\u00e3o h\u00e1 linha acima).
\nAssim, temos dois casos para analisar:<\/p>\n\n1\u00ba) O primeiro e o \u00faltimo d\u00edgitos est\u00e3o na \u00faltima linha <\/strong>
\nAssim, temos apenas uma op\u00e7\u00e3o para o primeiro e o \u00faltimo (zero), tr\u00eas possibilidades para o segundo ([tex]7[\/tex] ou [tex]8[\/tex] ou [tex]9[\/tex]) e tr\u00eas possibilidades para o terceiro ([tex]7[\/tex] ou [tex]8[\/tex] ou [tex]9[\/tex]).
\nPelo Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong><\/em><\/span>, [tex]1\\times 1 \\times 3 \\times 3 = 9[\/tex] possibilidades.<\/p>\n
\nAssim, temos seis op\u00e7\u00f5es para o primeiro ([tex]4[\/tex], [tex]5[\/tex], [tex]6[\/tex], [tex]7[\/tex], [tex]8[\/tex] ou [tex]9[\/tex]), tr\u00eas para o \u00faltimo (mesma linha do primeiro), tr\u00eas possibilidades para o segundo (linha imediatamente acima) e tr\u00eas possibilidades para o terceiro (mesma linha do segundo).
\nPelo Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong><\/em><\/span>, temos [tex]6 \\times 3\\times 3 \\times 3=162[\/tex] possibilidades.<\/ul>\n
\n
\nComo o primeiro e o \u00faltimo d\u00edgitos encontram-se em uma mesma linha e o segundo e o terceiro d\u00edgitos est\u00e3o na linha imediatamente superior \u00e0 linha do primeiro e do \u00faltimo d\u00edgitos, deve existir uma linha acima da ocupada pelo primeiro e \u00faltimo d\u00edgitos.
\nDessa forma, temos tr\u00eas possibilidades para a linha ocupada pelo primeiro e \u00faltimo d\u00edgitos: ambos est\u00e3o na segunda ou na terceira ou na \u00faltima linha. Vamos analisar separadamente esses casos.<\/p>\n\n
\nNeste caso, temos tr\u00eas possibilidades para cada um dos quatro d\u00edgitos:<\/p>\n
\n\\underline{\\text{ 3 possibilidades}}&\\underline{\\text{ 3 possibilidades }}&\\underline{\\text{ 3 possibilidades }}&\\underline{\\text{ 3 possibilidades }}\\\\
\n1^\\circ \\text{ d\u00edgito}&2^\\circ \\text{ d\u00edgito}&3^\\circ \\text{ d\u00edgito}& 4^\\circ \\text{ d\u00edgito}
\n\\end{array}[\/tex].<\/p>\n
\nNeste caso, temos tamb\u00e9m tr\u00eas possibilidades para cada um dos quatro d\u00edgitos:<\/p>\n
\n\\underline{\\text{ 3 possibilidades}}&\\underline{\\text{ 3 possibilidades }}&\\underline{\\text{ 3 possibilidades }}&\\underline{\\text{ 3 possibilidades }}\\\\
\n1^\\circ \\text{ d\u00edgito}&2^\\circ \\text{ d\u00edgito}&3^\\circ \\text{ d\u00edgito}& 4^\\circ \\text{ d\u00edgito}
\n\\end{array}[\/tex].<\/p>\n
\nNeste caso, h\u00e1 apenas uma op\u00e7\u00e3o para o primeiro e o \u00faltimo d\u00edgito (zero); para cada um dos outros dois d\u00edgitos, temos tr\u00eas possibilidades:<\/p>\n
\n\\underline{\\text{1 possibilidade}}&\\underline{\\text{ 3 possibilidades}}&\\underline{\\text{ 3 possibilidades}}&\\underline{\\text{ 1 possibilidade}}\\\\
\n1^\\circ \\text{ d\u00edgito}&2^\\circ \\text{ d\u00edgito}&3^\\circ \\text{ d\u00edgito}& 4^\\circ \\text{ d\u00edgito}
\n\\end{array}[\/tex].<\/p>\n
\n