{"id":209331,"date":"2024-01-03T05:36:27","date_gmt":"2024-01-03T08:36:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=209331"},"modified":"2024-01-03T05:36:27","modified_gmt":"2024-01-03T08:36:27","slug":"a-problema-conhecendo-uma-pa","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problema-conhecendo-uma-pa\/","title":{"rendered":"(A) Problema: Conhecendo uma PA"},"content":{"rendered":"

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\n <\/p>\n
\n
\n

Problema
\n (Indicado a partir da 1\u00aa s\u00e9rie do E. M.)<\/span><\/p>\n

\n(Fuvest<\/strong>, 2012 – Adaptado)<\/font> Considere uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica cujos tr\u00eas primeiros termos s\u00e3o dados por [tex]a_1 = x-1[\/tex], [tex]a_2 = 5x[\/tex], [tex]a_3 = 2x^2+1[\/tex], em que [tex]x[\/tex] \u00e9 um n\u00famero real.
\na)<\/strong> Determine os poss\u00edveis valores de [tex]x[\/tex].
\nb)<\/strong> Calcule a soma dos [tex]100[\/tex] primeiros termos da progress\u00e3o aritm\u00e9tica correspondente ao menor valor de [tex]x[\/tex] encontrado no item a).\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n\"explicador_p\"<\/p>\n

Lembrete<\/p>\n

O termo geral de uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica (PA) [tex](a_1, a_2, \\cdots)[\/tex] \u00e9 dado por [tex]a_n = a_1+(n-1)r[\/tex], onde [tex]r[\/tex] \u00e9 a raz\u00e3o da PA, e a soma [tex]S_n[\/tex] dos primeiros [tex]n[\/tex] termos pode ser encontrada pela f\u00f3rmula [tex]S_n = \\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}[\/tex].\n<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\na)<\/strong> Seja [tex]r[\/tex] a raz\u00e3o da progress\u00e3o aritm\u00e9tica. Assim,
\n[tex]\\qquad a_2-a_1 =r= a_3-a_2[\/tex]
\n[tex]\\qquad 5x-(x-1) = 2x^2+1-5x[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2x^2-9x=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad x(2x-9) = 0.[\/tex]
\nPortanto, [tex]\\boxed{x= 0}~[\/tex] ou [tex]~\\boxed{x = \\dfrac{9}{2}}.[\/tex]<\/p>\n

b)<\/strong> Pelo lembrete, substituindo a express\u00e3o de [tex]a_n[\/tex] na f\u00f3rmula da soma [tex]S_n[\/tex] dos [tex]n[\/tex] primeiros termos da PA, obtemos
\n[tex]\\qquad S_n = \\dfrac{(a_1+a_1+(n-1)r)n}{2} = \\dfrac{(2a_1+(n-1)r)n}{2}[\/tex].
\nVeja que para [tex]x=0[\/tex] a raz\u00e3o \u00e9 [tex]r = 5x-(x-1) = 1[\/tex] e [tex]a_1 = 0-1 = -1[\/tex].
\nPortanto,
\n[tex]\\qquad S_{100} = \\dfrac{(2\\cdot (-1)+99\\cdot 1)100}{2}\\\\
\n\\qquad S_{100} = 97\\cdot 50 = 4850.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: Phidias<\/strong> ; Geomestres Slay<\/strong> ; Obm\u00e9picos<\/strong> ; Pent\u00e1gono do Millennium<\/strong>.<\/div>\n

\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema. Problema (Indicado a partir da 1\u00aa s\u00e9rie do E. M.) (Fuvest, 2012 – Adaptado) Considere uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica cujos tr\u00eas primeiros termos s\u00e3o dados por [tex]a_1 = x-1[\/tex], [tex]a_2 = 5x[\/tex], [tex]a_3 = 2x^2+1[\/tex], em que [tex]x[\/tex] \u00e9 um n\u00famero real. a) Determine os poss\u00edveis valores de … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-209331","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/209331","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=209331"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/209331\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":209332,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/209331\/revisions\/209332"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=209331"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}