{"id":207953,"date":"2023-12-21T01:54:48","date_gmt":"2023-12-21T04:54:48","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=207953"},"modified":"2024-02-13T20:51:46","modified_gmt":"2024-02-13T23:51:46","slug":"problema-descobrindo-a-senha-do-celular-s","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-descobrindo-a-senha-do-celular-s\/","title":{"rendered":".Problema: Descobrindo a senha do celular"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=209352\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 25px; padding-bottom: 15px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 25px; margin: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size: 12px; color: #800000;\"> (Indicado a partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nPara que um usu\u00e1rio digite o c\u00f3digo de acesso do seu celular, ele utiliza um teclado num\u00e9rico, como o que aparece na figura abaixo. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Celular-185x300.jpg\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"185\" height=\"300\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-207556\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Celular-185x300.jpg 185w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Celular.jpg 188w\" sizes=\"auto, (max-width: 185px) 100vw, 185px\" \/><br \/>\nUma pessoa observa de longe o propriet\u00e1rio do celular e percebe que:<br \/>\nI) O c\u00f3digo utilizado possui [tex]4[\/tex] d\u00edgitos.<br \/>\nII) O primeiro e o \u00faltimo d\u00edgitos encontram-se numa mesma linha.<br \/>\nIII) O segundo e o terceiro d\u00edgitos encontram-se na linha imediatamente superior.<\/p>\n<p>Calcule o n\u00famero de c\u00f3digos que dever\u00e3o ser experimentados para que, com certeza, essa pessoa consiga desbloquear e acessar as informa\u00e7\u00f5es desse aparelho celular.<\/p>\n<p style=\"font-size: 12px; text-align: right; line-height: 1px;\">Adaptado de <strong> IME &#8211; 2005<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:24px; width:93%; margin-left:auto; margin-right:auto; font-size:14px;\">\n<p class=\"c3 ti3\"style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\"> AJUDAS<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"font-size: 20px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span><strong>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>: Se<\/p>\n<ul>\n<li>uma decis\u00e3o <strong>D1<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_1 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>D2<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_2 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li> [tex]\\cdots[\/tex]<\/li>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>Dk<\/strong> puder ser tomada de [tex]m_k [\/tex] maneiras distintas e<\/li>\n<li> todas essas decis\u00f5es forem independentes entre si (isto \u00e9, a escolha de uma n\u00e3o muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),<\/li>\n<\/ul>\n<p>ent\u00e3o o n\u00famero total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[\/tex] decis\u00f5es (<strong>D1<\/strong>  e <strong>D2<\/strong>  e [tex]\\cdots[\/tex] e <strong>Dk<\/strong>) \u00e9 igual ao produto<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1\\times m_2 \\times \\cdots \\times m_k} \\, .[\/tex] <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"font-size: 20px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span><strong>Princ\u00edpio Aditivo<\/strong>: Se<\/p>\n<ul>\n<li>uma decis\u00e3o <strong>D1<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_1 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>D2<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_2 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li> [tex]\\cdots[\/tex]<\/li>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>Dk<\/strong> puder ser tomada de [tex]m_k [\/tex] maneiras distintas e<\/li>\n<li> todas essas decis\u00f5es forem independentes entre si (isto \u00e9, a escolha de uma n\u00e3o muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),<\/li>\n<\/ul>\n<p>ent\u00e3o a quantidade de maneiras em que uma das [tex]k[\/tex] decis\u00f5es pode ser tomada (<strong>D1<\/strong>  ou <strong>D2<\/strong>  ou [tex]\\cdots[\/tex] ou <strong>Dk<\/strong>) \u00e9<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1+ m_2 + \\cdots + m_k} \\, .[\/tex] <\/p>\n<p style=\"margin:-10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 28px; margin: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nPelas observa\u00e7\u00f5es feitas, podemos concluir que o segundo e o terceiro d\u00edgitos n\u00e3o podem assumir o valor zero (pois n\u00e3o h\u00e1 linha abaixo) e o primeiro e o \u00faltimo d\u00edgitos n\u00e3o podem assumir os valores [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex] e [tex]3[\/tex] (pois n\u00e3o h\u00e1 linha acima).<br \/>\nAssim, temos dois casos para analisar:<\/p>\n<ul>\n<strong>1\u00ba) O primeiro e o \u00faltimo d\u00edgitos est\u00e3o na \u00faltima linha <\/strong><br \/>\nAssim, temos apenas uma op\u00e7\u00e3o para o primeiro e o \u00faltimo (zero), tr\u00eas possibilidades para o segundo ([tex]7[\/tex] ou [tex]8[\/tex] ou [tex]9[\/tex]) e tr\u00eas possibilidades para o terceiro ([tex]7[\/tex] ou [tex]8[\/tex] ou [tex]9[\/tex]).<br \/>\nPelo <span style=\"color:  #800000;\"><em> <strong>Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong><\/em><\/span>, [tex]1\\times 1 \\times 3 \\times 3 = 9[\/tex] possibilidades.<\/p>\n<p><strong>2\u00ba) O primeiro e o \u00faltimo d\u00edgitos est\u00e3o na segunda ou terceira linha <\/strong><br \/>\nAssim, temos seis op\u00e7\u00f5es para o primeiro ([tex]4[\/tex], [tex]5[\/tex], [tex]6[\/tex], [tex]7[\/tex], [tex]8[\/tex] ou [tex]9[\/tex]), tr\u00eas para o \u00faltimo (mesma linha do primeiro), tr\u00eas possibilidades para o segundo (linha imediatamente acima) e tr\u00eas possibilidades para o terceiro (mesma linha do segundo).<br \/>\nPelo <span style=\"color:  #800000;\"><em> <strong>Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong><\/em><\/span>, temos [tex]6 \\times 3\\times 3 \\times 3=162[\/tex] possibilidades.<\/ul>\n<p>Por fim, utilizando o <span style=\"color:  #800000;\"><em> <strong>Princ\u00edpio Aditivo<\/strong><\/em><\/span>, s\u00e3o [tex]\\boxed{162+9=171}[\/tex] possibilidades para desbloquear o aparelho celular.<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px; border: 0 none;\" \/>\n<p class=\"g2\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 28px; margin: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nComo o primeiro e o \u00faltimo d\u00edgitos encontram-se em uma mesma linha e o segundo e o terceiro d\u00edgitos est\u00e3o na linha imediatamente superior \u00e0 linha do primeiro e do \u00faltimo d\u00edgitos, deve existir uma linha acima da ocupada pelo primeiro e \u00faltimo d\u00edgitos.<br \/>\nDessa forma, temos tr\u00eas possibilidades para a linha ocupada pelo primeiro e \u00faltimo d\u00edgitos: ambos est\u00e3o na segunda ou na terceira ou na \u00faltima linha. Vamos analisar separadamente esses casos.<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Primeiro e \u00faltimo d\u00edgitos est\u00e3o na segunda linha e, consequentemente, o segundo e terceiro d\u00edgitos est\u00e3o na primeira linha<\/strong><br \/>\nNeste caso, temos tr\u00eas possibilidades para cada um dos quatro d\u00edgitos:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]\\begin{array}{c c c c}<br \/>\n\\underline{\\text{  3 possibilidades}}&#038;\\underline{\\text{  3 possibilidades  }}&#038;\\underline{\\text{  3 possibilidades  }}&#038;\\underline{\\text{  3 possibilidades  }}\\\\<br \/>\n1^\\circ \\text{ d\u00edgito}&#038;2^\\circ \\text{ d\u00edgito}&#038;3^\\circ \\text{ d\u00edgito}&#038; 4^\\circ \\text{ d\u00edgito}<br \/>\n\\end{array}[\/tex].<\/p>\n<p>Assim, pelo <span style=\"color:  #800000;\"><em> <strong>Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong><\/em><\/span>, o c\u00f3digo pode ser formado de  [tex] \\, \\boxed{3\\times 3 \\times  3 \\times 3=81}[\/tex] modos, nestas condi\u00e7\u00f5es.\n<\/li>\n<li><strong>Primeiro e \u00faltimo d\u00edgitos est\u00e3o na terceira linha e, consequentemente, o segundo e terceiro d\u00edgitos est\u00e3o na segunda linha<\/strong><br \/>\nNeste caso, temos tamb\u00e9m tr\u00eas possibilidades para cada um dos quatro d\u00edgitos:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]\\begin{array}{c c c c}<br \/>\n\\underline{\\text{  3 possibilidades}}&#038;\\underline{\\text{  3 possibilidades  }}&#038;\\underline{\\text{  3 possibilidades  }}&#038;\\underline{\\text{  3 possibilidades  }}\\\\<br \/>\n1^\\circ \\text{ d\u00edgito}&#038;2^\\circ \\text{ d\u00edgito}&#038;3^\\circ \\text{ d\u00edgito}&#038; 4^\\circ \\text{ d\u00edgito}<br \/>\n\\end{array}[\/tex].<\/p>\n<p>Assim, pelo <span style=\"color:  #800000;\"><em> <strong>Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong><\/em><\/span>, o c\u00f3digo pode ser formado de  [tex] \\, \\boxed{3\\times 3 \\times  3 \\times 3=81}[\/tex] modos, nestas condi\u00e7\u00f5es.\n<\/li>\n<li><strong>Primeiro e \u00faltimo d\u00edgitos est\u00e3o na quarta linha e, consequentemente, o segundo e terceiro d\u00edgitos est\u00e3o na terceira linha<\/strong><br \/>\nNeste caso, h\u00e1 apenas uma op\u00e7\u00e3o para o primeiro e o \u00faltimo d\u00edgito (zero); para cada um dos outros dois d\u00edgitos, temos tr\u00eas possibilidades:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]\\begin{array}{c c c c}<br \/>\n\\underline{\\text{1 possibilidade}}&#038;\\underline{\\text{  3 possibilidades}}&#038;\\underline{\\text{  3 possibilidades}}&#038;\\underline{\\text{  1 possibilidade}}\\\\<br \/>\n1^\\circ \\text{ d\u00edgito}&#038;2^\\circ \\text{ d\u00edgito}&#038;3^\\circ \\text{ d\u00edgito}&#038; 4^\\circ \\text{ d\u00edgito}<br \/>\n\\end{array}[\/tex].<\/p>\n<p>Assim, pelo <span style=\"color:  #800000;\"><em> <strong>Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong><\/em><\/span>, o c\u00f3digo pode ser formado de  [tex] \\, \\boxed{1\\times 3 \\times  3 \\times 1=9}[\/tex] modos, nestas condi\u00e7\u00f5es.\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>Finalmente, utilizando o <span style=\"color:  #800000;\"><em> <strong>Princ\u00edpio Aditivo<\/strong><\/em><\/span>, s\u00e3o [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$81+81+9=171$}~[\/tex] possibilidades para desbloquear o aparelho celular em quest\u00e3o.<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px; border: 0 none;\" \/>\n<p class=\"g2\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"g3\">\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: <strong>SUPER G\u00caNIOS 3\u00b0CPM <\/strong> ; <strong>Obm\u00e9picos<\/strong> ; <strong>Epifania Matem\u00e1tica<\/strong>; <strong>Pent\u00e1gono do Millennium<\/strong>; <strong>Phidias<\/strong> e <strong>Geomestres Slay<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.) Para que um usu\u00e1rio digite o c\u00f3digo de acesso do seu celular, ele utiliza um teclado num\u00e9rico, como o que aparece na figura abaixo. Uma pessoa observa de longe o propriet\u00e1rio do celular e percebe que: I) &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-descobrindo-a-senha-do-celular-s\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-207953","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/207953","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=207953"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/207953\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":208057,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/207953\/revisions\/208057"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=207953"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}