\n
Problema Determinar a \u00e1rea de um trap\u00e9zio [tex]ABCD[\/tex], com bases [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{CD}[\/tex], sabendo-se que [tex]AB = 52 \\text{ cm}[\/tex], [tex]BC = 12 \\text{ cm}[\/tex], [tex]CD = 39\\text{ cm}[\/tex], [tex]DA = 5 \\text{ cm}[\/tex]. <\/p>\n \n Nota\u00e7\u00e3o:<\/span> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X \\, [\/tex] e [tex] \\, Y[\/tex], por [tex]\\overline {XY} [\/tex] e o seu comprimento por [tex]XY[\/tex].\n<\/div>\n \n Ajuda<\/p>\n Um dos resultados mais conhecidos da Geometria \u00e9 o "Teorema de Pit\u00e1goras<\/strong>":<\/p>\n Se um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo tem catetos com comprimentos [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] e hipotenusa com comprimento [tex]c[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\boxed{a^2+b^2=c^2} \\, .[\/tex]<\/p>\n Mas o que muitas pessoas n\u00e3o sabem \u00e9 que a rec\u00edproca desse teorema tamb\u00e9m \u00e9 verdadeira<\/strong>:<\/p>\n Se os lados de um tri\u00e2ngulo medem [tex]a \\, [\/tex], [tex] \\, b \\, [\/tex] e [tex] \\, c \\, [\/tex] e [tex]\\boxed{a^2+b^2=c^2} \\, [\/tex], ent\u00e3o esse \u00e9 um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo cuja hipotenusa tem comprimento [tex]c \\, .[\/tex]<\/p>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Pelo v\u00e9rtice [tex]D[\/tex] do trap\u00e9zio, trace uma paralela ao lado [tex]\\overline{BC}[\/tex], obtendo o ponto [tex]P[\/tex] sobre [tex]\\overline{AB}[\/tex]. Assim, [tex]PBCD[\/tex] \u00e9 um paralelogramo. Observe, na figura de refer\u00eancia ao lado, que ficou definido um tri\u00e2ngulo [tex] APD[\/tex] cujos lados medem <\/p>\n Por outro lado, temos que [tex]5^2+12^2=169=13^2[\/tex]; assim, de acordo com a Ajuda<\/strong>, [tex] APD[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo e o \u00e2ngulo [tex]\\angle ADP[\/tex] \u00e9 reto, conforme mostra a nova figura de refer\u00eancia abaixo. Perceba que cada cateto de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo pode ser tomado como a altura relativa ao outro cateto; assim, a \u00e1rea [tex]S[\/tex] de [tex] APD[\/tex] pode ser assim calculada:<\/p>\n [tex]\\quad S=\\dfrac{\\text{base}\\times\\text{altura}}{2}=\\dfrac{5\\times 12}{2}=30 \\, .[\/tex]<\/p>\n Mas, [tex]\\textcolor{red}{h}[\/tex] \u00e9 a medida da altura de [tex] APD[\/tex] relativa \u00e0 hipotenusa [tex] \\overline{AP}[\/tex]; assim, a \u00e1rea [tex]S[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 dada por [tex]S=\\dfrac{13 \\times \\textcolor{red}{h}}{2}[\/tex] e, como [tex]S=30 \\, [\/tex], ent\u00e3o: \n [tex]\\qquad 30=\\dfrac{13 \\times h}{2}[\/tex] \nPronto, j\u00e1 podemos calcular a \u00e1rea do trap\u00e9zio [tex]ABCD[\/tex]:<\/p>\n [tex]\\qquad \\begin{align*}\u00c1rea_{trap\u00e9zio}&=\\dfrac{\\left(\\text{base maior+base menor}\\right)\\times\\text{altura}}{2}\\\\ Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/prob123_2.png\")
\n<\/div>\n
\n
\nComo os lados paralelos de um paralelogramo t\u00eam as mesmas medidas, ent\u00e3o:<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/prob123.png\")
\t<\/p>\n\n
\n
\nComo precisaremos da altura [tex]\\textcolor{red}{h}[\/tex] do trap\u00e9zio para calcularmos a sua \u00e1rea, vamos utilizar o tri\u00e2ngulo [tex] APD[\/tex] para obt\u00ea-la.<\/p>\n![](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/prob123_1.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad S=\\dfrac{13 \\times h}{2}[\/tex] <\/p>\n
\n[tex]\\qquad 60=13 \\times h[\/tex]
\n[tex]\\qquad h=\\dfrac{60}{13} \\, .[\/tex] <\/p>\n
\n&=\\dfrac{\\left(52+39\\right) \\times \\frac{60}{13}}{2}\\\\
\n&=\\dfrac{\\left(91\\right) \\times \\frac{60}{13}}{2}\\\\
\n&=\\dfrac{\\cancel{91}\\times 60}{2\\times \\cancel{13}}\\\\
\n&=\\dfrac{7\\times \\cancel{60}}{\\cancel{2}}\\\\
\n&=\\boxed{210} \\, .
\n\\end{align*}[\/tex]
\nPortanto, a \u00e1rea do trap\u00e9zio [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$210 \\text{ cm}^2$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n
\nN\u00edvel B – Quest\u00e3o Dif\u00edcil<\/div>\n\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n\n
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