\n
Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n[tex]\\begin{array}{c c c c } \n Como s\u00e3o [tex]120[\/tex] n\u00fameros, perceba que cada um dos d\u00edgitos [tex]1, \\, 2, \\, 3, \\, 4, \\, 5[\/tex] aparecer\u00e1 [tex]120 \\div 5=24[\/tex] vezes em cada coluna. Dessa forma, a soma dos d\u00edgitos de cada coluna ser\u00e1 \n[tex]\\begin{array}{c c c c } Portanto, a soma dos [tex]120[\/tex] n\u00fameros de quatro d\u00edgitos distintos formados apenas pelos algarismos [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex], [tex]3[\/tex], [tex]4[\/tex] e [tex]5[\/tex] \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S=399\\,960$} \\, .[\/tex] <\/p>\n [tex]\\qquad \\begin{array}{c c c c } Assim, pelo princ\u00edpio Fundamental da Contagem, o n\u00famero de modos distintos de obtermos [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 dado por [tex] \\, \\boxed{\\textcolor{#800000}{5}\\times \\textcolor{#800000}{4}\\times \\textcolor{#800000}{3}\\times \\textcolor{#800000}{2}=120} \\, .[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 8\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio <\/span>)<\/span><\/p>\n
\nO Princ\u00edpio Fundamental da Contagem nos ensina que existem [tex]120[\/tex] n\u00fameros de quatro d\u00edgitos distintos formados apenas pelos algarismos [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex], [tex]3[\/tex], [tex]4[\/tex] e [tex]5[\/tex]. Ao somar esses [tex]120[\/tex] n\u00fameros, obt\u00e9m-se a soma [tex]S[\/tex].
\nQual o valor de [tex]S[\/tex]?<\/p>\n
\nVamos colocar esses [tex]120[\/tex] n\u00fameros um debaixo do outro para som\u00e1-los.<\/p>\n
\n1&2&3&4\\\\
\n1&2&3&5\\\\
\n1&2&4&3\\\\
\n1&2&4&5\\\\
\n\\vdots&\\vdots&\\vdots&\\vdots\\\\
\n5&4&3&1\\\\
\n5&4&3&2\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}\\quad +[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad\\quad \\begin{align*}1\\times 24+2 \\times 24+3 \\times 24+4 \\times 24+5 \\times 24&=(1+2+3+4+5)\\times24\\\\
\n&=15\\times24=360.\\end{align*}[\/tex]
\nPronto, j\u00e1 podemos fazer a nossa soma:<\/p>\n\n
\nAssim, abaixo da coluna das dezenas, colocamos [tex]\\textcolor{blue}{6}[\/tex] e levamos [tex]\\textcolor{blue}{39}[\/tex] para a coluna das centenas.<\/li>\n
\n\\textcolor{#32CD32}{\\underline{39}}&\\textcolor{blue}{\\underline{39}}&\\textcolor{red}{\\underline{36}}&\\\\
\n1&2&3&4\\\\
\n1&2&3&5\\\\
\n1&2&4&3\\\\
\n1&2&4&5\\\\
\n\\vdots&\\vdots&\\vdots&\\vdots\\\\
\n5&4&3&1\\\\
\n5&4&3&2\\\\
\n\\hline
\n399&\\textcolor{#32CD32}{9} &\\textcolor{blue}{6} & \\textcolor{red}{0}&
\n\\end{array}+[\/tex]<\/p>\n
\n
\nObserva\u00e7\u00e3o:<\/strong> Se voc\u00ea n\u00e3o entendeu porque o enunciado garante que existem [tex]120[\/tex] n\u00fameros de quatro d\u00edgitos distintos formados pelos cinco algarismos em quest\u00e3o, perceba que, se [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 um n\u00famero dessa forma, ent\u00e3o [tex]A, \\, B, \\, C, \\, D \\, [\/tex] s\u00e3o algarismos distintos e <\/p>\n\n
\nA & B & C & D\\\\
\n\\overline{\\textcolor{#800000}{5}\\text{ escolhas}}&\\overline{\\textcolor{#800000}{4}\\text{ escolhas}}&\\overline{\\textcolor{#800000}{3}\\text{ escolhas}}&\\overline{\\textcolor{#800000}{2}\\text{ escolhas}}
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n
\nN\u00edvel B – Quest\u00e3o Mediana<\/div>\n\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n\n
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n