\n
Problema \n<\/div>\n \n Lembrete <\/p>\n \n ✐ <\/span> Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural tal que [tex]n \\gt 1[\/tex], chamamos de fatorial de [tex]n[\/tex] <\/span> e denotamos por [tex]\\textcolor{#800000}{n!}[\/tex] o produto [tex]n \\cdot (n-1) \\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot 2 \\cdot 1[\/tex], ou seja, o resultado de multiplicar [tex]n[\/tex] por todos os n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos anteriores a [tex]n[\/tex]: \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Assim, vamos escrever o n\u00famero [tex]10![\/tex] como produto de n\u00fameros primos: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n(A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n
\nQual o menor n\u00famero natural que multiplicado por [tex]10![\/tex] resulta em um cubo perfeito n\u00e3o nulo?<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{n!=n \\cdot (n-1) \\cdot (n-2) \\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot2 \\cdot 1}\\, .[\/tex]
\nParticularmente, os fatoriais de [tex]0[\/tex] e [tex] 1[\/tex] s\u00e3o, respectivamente, assim definidos:
\n[tex]\\quad \\textcolor{#800000}{0!=1}[\/tex]
\n[tex]\\quad \\textcolor{#800000}{1!=1}\\, .[\/tex]\n<\/div>\n
\n\n
\n[tex]\\qquad 10!=10 \\cdot 9 \\cdot 8\\cdot 7\\cdot 6\\cdot 5\\cdot 4\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 1[\/tex]
\n[tex]\\qquad 10!=(5\\cdot 2) \\cdot 3^2 \\cdot 2^3\\cdot 7\\cdot (2 \\cdot 3) \\cdot 5\\cdot 2^2 \\cdot 3\\cdot 2\\cdot 1[\/tex]
\n[tex]\\qquad 10!=2^8 \\cdot 3^4 \\cdot 5^2 \\cdot 7\\, . [\/tex]
\nPara que os expoentes dos n\u00fameros primos que aparecem na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]10![\/tex] sejam todos m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex], e os menores poss\u00edveis, teremos que multiplicar [tex]10![\/tex] por [tex]2 \\cdot 3^2 \\cdot 5 \\cdot 7^2[\/tex].
\nObserve:
\n[tex]\\qquad \\begin{align*}10! \\cdot (2 \\cdot 3^2 \\cdot 5 \\cdot 7^2) &=2^8 \\cdot 3^4 \\cdot 5^2 \\cdot 7 \\cdot (2 \\cdot 3^2 \\cdot 5 \\cdot 7^2)\\\\
\n&=(2^8 \\cdot 2) \\cdot (3^4 \\cdot 3^2) \\cdot (5^2 \\cdot 5)\\cdot (7 \\cdot 7^2)\\\\
\n&=2^9 \\cdot 3^6 \\cdot 5^3\\cdot 7^3
\n\\end{align*} [\/tex]
\ne [tex]\\boxed{2^9 \\cdot 3^6 \\cdot 5^3\\cdot 7^3}\\, [\/tex] \u00e9 um cubo perfeito!
\nAssim, o menor n\u00famero pelo qual devemos multiplicar [tex]10![\/tex] para obtermos um cubo perfeito \u00e9, de fato, [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2 \\cdot 3^2 \\cdot 5 \\cdot 7^2=4410$}\\, .[\/tex]<\/p>\n
\n\n
\n <\/td>\n\n
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