\n
Problema Na figura, [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]E[\/tex] s\u00e3o pontos da circunfer\u00eancia [tex]\\lambda[\/tex] cujo centro \u00e9 [tex]C[\/tex]. \n<\/div>\n \n Ajudas<\/p>\n ✐ <\/span> A um arco de circunfer\u00eancia podemos associar duas medidas distintas: \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Utilizando a segunda ajuda, observamos que [tex]B\\hat{D}E[\/tex] \u00e9 um dos \u00e2ngulos agudos internos do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo [tex]CED \\, [\/tex], assinalado na figura abaixo. Assim, para obtermos a medida [tex]\\alpha[\/tex] do \u00e2ngulo [tex]B\\hat{D}E[\/tex] em quest\u00e3o, basta conhecermos a medida [tex]\\beta[\/tex] do \u00e2ngulo central [tex]D\\hat{C}E \\, [\/tex], j\u00e1 que, conforme a terceira ajuda, a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^{\\circ} \\, .[\/tex]<\/p>\n \n \n[tex] \\begin{array}{c c c} obtemos que: \n[tex] \\begin{array}{c c c} e obter\u00edamos que: \n[tex] \\begin{array}{c c c} para obtermos: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n
\n
\nSe [tex]\\overline{AB}[\/tex] \u00e9 um di\u00e2metro, [tex]E[\/tex] \u00e9 um ponto de tang\u00eancia e as medidas dos arcos [tex]\\stackrel{\\frown}{AE}[\/tex] e [tex]\\stackrel{\\frown}{EB}[\/tex] s\u00e3o [tex]10 \\, [\/tex]cm e [tex]20 \\, [\/tex]cm, respectivamente, qual \u00e9 a medida em graus do \u00e2ngulo [tex]B\\hat{D}E[\/tex]?
\nE em radianos?<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/prob105_01.png\")
<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n– a sua medida angular;
\n– a sua medida linear.
\nAmbas podem ser obtidas a partir da medida angular e do comprimento da circunfer\u00eancia que define o arco; mas, se voc\u00ea n\u00e3o se lembra delas, clique AQUI<\/strong><\/span><\/a>. (N\u00e3o se esque\u00e7a de fechar a janelinha que se abriu com as informa\u00e7\u00f5es, depois de utiliz\u00e1-la.)<\/span>
\n ✐ <\/span> Toda tangente a uma circunfer\u00eancia \u00e9 perpendicular ao raio no ponto de tang\u00eancia.
\n ✐ <\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex].\n<\/div>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/prob105_04.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/prob105_02.png\")
Vamos l\u00e1!
\nPelos dados do problema, as medidas dos arcos [tex]\\stackrel{\\frown}{AE}[\/tex] e [tex]\\stackrel{\\frown}{EB}[\/tex] s\u00e3o [tex]10 \\, [\/tex]cm e [tex]20 \\, [\/tex]cm; portanto, a medida do arco [tex]\\stackrel{\\frown}{AB}[\/tex] \u00e9 [tex]30 \\, [\/tex]cm.
\nComo [tex]\\overline{AB}[\/tex] \u00e9 um di\u00e2metro, o comprimento do arco [tex]\\stackrel{\\frown}{AB}[\/tex] \u00e9 o semiper\u00edmetro da circunfer\u00eancia [tex]\\lambda[\/tex] e, consequentemente, o comprimento de [tex]\\lambda[\/tex] \u00e9 [tex]60 \\,[\/tex] cm.
\nUtilizando, agora, a primeira ajuda, observamos que uma regra de tr\u00eas simples resolve o problema de se determinar a medida [tex]\\beta[\/tex] do \u00e2ngulo central. Vamos obter inicialmente as medidas em graus; depois faremos a convers\u00e3o para radianos.
\nArmando a regra de tr\u00eas <\/p>\n
\n60 \\text{ cm} &\\text{————–}&360^\\circ\\\\
\n10 \\text{ cm} &\\text{————–}&\\beta
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\quad 60\\times \\beta=10\\times360^\\circ[\/tex]
\n[tex]\\quad \\beta=\\dfrac{3600^\\circ}{60}[\/tex]
\n[tex]\\quad \\boxed{\\beta=60^\\circ} \\, .[\/tex]
\nObservamos que poder\u00edamos armar a regra de tr\u00eas a partir da informa\u00e7\u00e3o de que o semiper\u00edmetro da circunfer\u00eancia [tex]\\lambda[\/tex] \u00e9 [tex]30 [\/tex]\\, cm. Nesse caso, s\u00f3 ter\u00edamos que lembrar que o semiper\u00edmetro est\u00e1 associado ao \u00e2ngulo raso de [tex]180^\\circ[\/tex] e, portanto, armar\u00edamos a regra de tr\u00eas assim:<\/p>\n
\n30 \\text{ cm} &\\text{————–}&180^\\circ\\\\
\n10 \\text{ cm} &\\text{————–}&\\beta
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\quad 30\\times \\beta=10\\times 180^\\circ[\/tex]
\n[tex]\\quad \\beta=\\dfrac{1800^\\circ}{30}[\/tex]
\n[tex]\\quad \\boxed{\\beta=60^\\circ} \\, .[\/tex]
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/prob105_06.png\")
\nCom a medida [tex]\\beta \\, [\/tex], podemos aplicar a terceira ajuda ao tri\u00e2ngulo [tex]CDE[\/tex] e obtermos:
\n[tex]\\quad 60^\\circ+\\alpha+90^\\circ=180^\\circ[\/tex]
\n[tex]\\quad \\alpha=180^\\circ- 60^\\circ-90^\\circ[\/tex]
\n[tex]\\quad \\boxed{\\alpha=30^\\circ} \\, .[\/tex]
\nPara obtermos a medida em radianos do \u00e2ngulo [tex]B\\hat{D}E[\/tex], lembramos que, por exemplo, [tex]180^\\circ[\/tex] correspondem a [tex]\\pi[\/tex] radianos e fazemos mais uma regra de tr\u00eas simples:<\/p>\n
\n180^\\circ &\\text{————–}&\\pi \\, radianos\\\\
\n30^\\circ &\\text{————–}&\\alpha
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\quad 30\\pi=180\\alpha[\/tex]
\n[tex]\\quad \\alpha=\\dfrac{30\\pi}{180}[\/tex]
\n[tex]\\quad \\boxed{\\alpha=\\dfrac{\\pi}{6} \\, radianos} \\, .[\/tex]
\nEnt\u00e3o, a medida do \u00e2ngulo [tex]B\\hat{D}E[\/tex] \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\alpha =30^\\circ$} \\, [\/tex] ou [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\alpha =\\dfrac{\\pi}{6} \\, radianos$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n\n
\n <\/td>\n\n
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