{"id":207307,"date":"2023-12-04T02:42:10","date_gmt":"2023-12-04T05:42:10","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=207307"},"modified":"2023-12-04T02:53:08","modified_gmt":"2023-12-04T05:53:08","slug":"a-sala-de-estudo-grandezas-proporcionais-regras-de-tres-e-aplicacoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-sala-de-estudo-grandezas-proporcionais-regras-de-tres-e-aplicacoes\/","title":{"rendered":"(A) Sala de Estudo: Grandezas proporcionais, Regras de tr\u00eas e Aplica\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar a Sala.<\/p>\n

\n <\/p>\n
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\n
Sala 1 – Grandezas proporcionais<\/div>\n
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Introdu\u00e7\u00e3o<\/em><\/div>\n

\n

Matematicamente, entendemos por grandeza tudo que pode ser medido ou contado; assim, s\u00e3o exemplos de grandezas o comprimento, a superf\u00edcie, o volume, a massa, a capacidade, a velocidade, a temperatura, o tempo, entre outras.
\n\u00c9 bastante comum no nosso dia a dia nos depararmos com situa\u00e7\u00f5es que envolvam duas ou mais grandezas. Em algumas situa\u00e7\u00f5es essas grandezas n\u00e3o se relacionam entre si; mas, em outras, as grandezas se relacionam. Observe os pr\u00f3ximos exemplos.<\/p>\n

\n

\nExemplo 1:<\/strong> Se em uma casa da rua mostrada na figura abaixo moram 3 pessoas, n\u00e3o podemos concluir que em duas casas moram 6 pessoas, em tr\u00eas casas moram 9 pessoas, etc.<\/p>\n

\"\"Imagem extra\u00edda de Pixabay<\/a>.<\/p>\n

N\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel relacionar a grandeza quantidade de casas da rua<\/strong> \u00e0 grandeza quantidade de moradores<\/strong>.<\/p>\n

\nExemplo 2:<\/strong> Uma partida de futebol dura 90 minutos. Com 30 minutos de jogo, o placar \u00e9 1×0. Ser\u00e1 que com 60 minutos o placar vai duplicar? Com 90 minutos o placar vai triplicar?<\/p>\n

\"\"Imagem adaptada de Freepik<\/a>.<\/p>\n

Provavelmente, n\u00e3o! N\u00e3o h\u00e1 rela\u00e7\u00e3o alguma entre as grandezas tempo de jogo<\/strong> e placar<\/strong>. Observe que o time que est\u00e1 perdendo pode, inclusive, “virar” o jogo e ganhar!<\/p>\n

\nExemplo 3:<\/strong> Se um beb\u00ea com um m\u00eas mede 53,5 cm, n\u00e3o podemos prever com exatid\u00e3o qual ser\u00e1 a sua altura com dois meses, ou aos cinco meses…
\nPortanto, tamb\u00e9m n\u00e3o h\u00e1 rela\u00e7\u00e3o, de fato, entre as grandezas idade<\/strong> e altura<\/strong>.\n<\/div>\n

\n

\nExemplo 4:<\/strong> Se o comprimento do lado de um quadrado mede 1 cm, o per\u00edmetro desse quadrado \u00e9 4 cm. Se o comprimento do lado de um quadrado mede 2 cm, o per\u00edmetro desse quadrado \u00e9 8 cm. Se o comprimento do lado de um quadrado mede 3 cm, o per\u00edmetro desse quadrado \u00e9 12 cm. Se o comprimento do lado de um quadrado mede 4 cm, o per\u00edmetro desse quadrado \u00e9 16 cm.<\/p>\n

<\/p>\n

Aqui, existe uma rela\u00e7\u00e3o entre a medida dos lados de um quadrado e a medida de seu per\u00edmetro, pois:
\n●<\/span> se dobramos a medida dos lados de um quadrado, seu per\u00edmetro tamb\u00e9m dobra;
\n●<\/span> se triplicamos a medida dos lados de um quadrado, seu per\u00edmetro tamb\u00e9m triplica;
\n●<\/span> se quadruplicamos a medida dos lados de um quadrado, seu per\u00edmetro tamb\u00e9m quadruplica;
\n<\/span> … e assim por diante.
\nAssim, as grandezas comprimento do lado do quadrado <\/strong> e per\u00edmetro do quadrado<\/strong> est\u00e3o relacionadas.<\/p>\n

\nExemplo 5:<\/strong> Na tabela baixo, vemos o volume de \u00e1gua despejada em um recipiente com a forma de um cilindro reto e a respectiva altura que a \u00e1gua atingiu.
\n\"\"
\nOs dados da tabela mostram que, neste caso, as grandezas volume<\/strong> e altura<\/strong> est\u00e3o relacionadas, j\u00e1 que:
\n●<\/span> se dobrarmos o volume d’\u00e1gua, a altura que ela ocupa no recipiente dobra;
\n●<\/span> se triplicarmos o volume d’\u00e1gua, a altura que ela ocupa no recipiente triplica;
\n●<\/span> se quintuplicarmos o volume d’\u00e1gua, a altura que ela ocupa no recipiente quintuplica;
\n<\/span> … e assim sucessivamente.\t \t <\/p>\n
\nExemplo 6:<\/strong> O valor do pr\u00eamio principal do pr\u00f3ximo sorteio da Mega-Sena est\u00e1 acumulado!
\nAssim, se apenas um apostador acertar os n\u00fameros sorteados ele receber\u00e1 R$ 33.000.000,00. Se dois apostadores acertarem os n\u00fameros, cada um receber\u00e1 um pr\u00eamio de R$ 16.500.000,00. Se tr\u00eas apostadores dividirem o pr\u00eamio, cada um levar\u00e1 R$ 11.000.000,00. Para quatro acertadores, o pr\u00eamio de cada um ser\u00e1 de R$ 8.250.000,00.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Neste exemplo, as grandezas quantidade de acertadores<\/strong> e valor do pr\u00eamio<\/strong> est\u00e3o relacionadas, j\u00e1 que para dois acertadores o pr\u00eamio \u00e9 a metade do valor acumulado. Para tr\u00eas acertadores, o pr\u00eamio \u00e9 um ter\u00e7o do valor acumulado. Para quatro acertadores, um quarto do valor acumulado, e assim por diante!<\/p>\n

\nExemplo 7:<\/strong> A f\u00e1brica do seu Jo\u00e3o tem 10 m\u00e1quinas do mesmo tipo e com igual produ\u00e7\u00e3o. Quando 2 m\u00e1quinas s\u00e3o ligadas, elas produzem juntas 15 732 parafusos por dia. Se 5 m\u00e1quinas forem ligadas, elas produzir\u00e3o juntas 39 330 parafusos por dia. Com 6 m\u00e1quinas ligadas, a produ\u00e7\u00e3o di\u00e1ria ser\u00e1 de 47 196 parafusos. Com 9 m\u00e1quinas ligadas, a produ\u00e7\u00e3o di\u00e1ria ser\u00e1 de 70 794 parafusos.
\nA quantidade de m\u00e1quinas ligadas e o n\u00famero de parafusos produzidos est\u00e3o relacionados?<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Se voc\u00ea est\u00e1 com dificuldade para perceber que, de fato, as duas grandezas quantidade de m\u00e1quinas ligadas<\/strong> e quantidade di\u00e1ria de parafusos produzidos<\/strong> est\u00e3o relacionadas, perceba que:
\n●<\/span> se aumentar a quantidade de m\u00e1quinas em 2,5 vezes (de 2 para 5) a quantidade de parafusos tamb\u00e9m aumenta 2,5 vezes (de 15 732 para 39 330);
\n●<\/span> se aumentar a quantidade de m\u00e1quinas em 3 vezes (de 2 para 6) a quantidade de parafusos tamb\u00e9m aumenta 3 vezes (de 15 732 para 47 196);
\n●<\/span> se aumentar a quantidade de m\u00e1quinas em 4,5 vezes (de 2 para 9) a quantidade de parafusos tamb\u00e9m aumenta 4,5 vezes (de 15 732 para 70 794).<\/div>\n

\n

Nesta Sala, vamos trabalhar apenas com grandezas como as dos Exemplos 4, 5, 6 e 7, isto \u00e9, com grandezas cujas medidas est\u00e3o relacionadas de uma forma especial<\/strong>. Vamos ver como!
\nNumericamente, duas dessas grandezas, dadas em uma certa ordem, s\u00e3o representadas por uma raz\u00e3o<\/strong><\/span> entre as suas medidas correspondentes. (Entenderemos como raz\u00e3o de [tex]a[\/tex] para [tex]b[\/tex] o quociente [tex]\\dfrac{a}{b}[\/tex], com [tex]a,b\\in \\mathbb{R}[\/tex] e [tex]b\\ne 0.[\/tex])
\n►<\/span> Se as grandezas que definem a raz\u00e3o s\u00e3o de uma mesma esp\u00e9cie, devemos apresent\u00e1-las em uma mesma unidade. Neste caso, a raz\u00e3o ser\u00e1 um n\u00famero sem unidade de medida, como no Exemplo 4<\/strong>: as raz\u00f5es entre o comprimento do lado do quadrado e o per\u00edmetro desse quadrado s\u00e3o representadas respectivamente por [tex]\\dfrac{1}{4}[\/tex]; [tex]\\dfrac{2}{8}[\/tex]; [tex]\\dfrac{3}{12}[\/tex]; [tex]\\dfrac{4}{16}[\/tex]; etc.
\n►<\/span> Se as grandezas que definem a raz\u00e3o n\u00e3o s\u00e3o de uma mesma esp\u00e9cie, essa raz\u00e3o ter\u00e1 uma unidade que vai depender das unidades das grandezas do numerador (antecedente) e do denominador (consequente) da raz\u00e3o. No caso do Exemplo 5<\/strong>; as raz\u00f5es entre o volume de \u00e1gua despejada e a altura que a \u00e1gua atingiu s\u00e3o representadas respectivamente por: [tex]\\dfrac{1}{2,5}\\text{ litro\/cm}[\/tex]; [tex]\\dfrac{2}{5}\\text{ litro\/cm}[\/tex] e [tex]\\dfrac{3}{7,5}\\text{ litro\/cm}.[\/tex]
\nObserve, mais um exemplo.<\/p>\n

\n

\nExemplo 8:<\/strong> Se o comprimento do lado de um quadrado mede 1 cm, a \u00e1rea desse quadrado \u00e9 1 cm\u00b2. Se o comprimento do lado de um quadrado mede 2 cm, a \u00e1rea desse quadrado \u00e9 4 cm\u00b2. Se o comprimento do lado de um quadrado mede 3 cm, a \u00e1rea desse quadrado \u00e9 9 cm\u00b2. Se o comprimento do lado de um quadrado mede 4 cm, a \u00e1rea desse quadrado \u00e9 16 cm\u00b2.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Aqui, existe uma rela\u00e7\u00e3o entre a medida dos lados de um quadrado e a medida da sua \u00e1rea, j\u00e1 que
\n●<\/span> se a medida dos lados de um quadrado for [tex]l[\/tex], sua \u00e1rea ser\u00e1 [tex]l^2.[\/tex]
\nAssim, as grandezas comprimento<\/strong> e \u00e1rea<\/strong> est\u00e3o relacionadas e podemos at\u00e9 definir uma raz\u00e3o entre essas medidas: [tex]\\dfrac{l}{l^2}.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

Observe que a diferen\u00e7a entre o Exemplo 8<\/strong> e, em particular, o Exemplo 4<\/strong> est\u00e1 em tr\u00eas palavrinhas:
\n►<\/span> quando o comprimento do lado do quadrado aumenta, a sua \u00e1rea aumenta;
\n►<\/span> quando o comprimento do lado do quadrado aumenta, o seu per\u00edmetro aumenta “na mesma propor\u00e7\u00e3o<\/strong>“.
\nNumericamente:
\n●<\/span> Exemplo 4<\/strong>: [tex]\\dfrac{1}{4}=\\dfrac{2}{8}=\\dfrac{3}{12}=\\dfrac{4}{16}.\\\\
\n[\/tex]
\n●<\/span> Exemplo 8<\/strong>: [tex]\\dfrac{1}{1}\\ne\\dfrac{2}{4}\\ne\\dfrac{3}{9}\\ne\\dfrac{4}{16}.\\\\
\n[\/tex]
\nNos Exemplos 5 e 7 as varia\u00e7\u00f5es aumentam tamb\u00e9m na mesma propor\u00e7\u00e3o:
\n●<\/span> Exemplo 5<\/strong>: [tex]\\dfrac{1}{2,5}=\\dfrac{2}{5}=\\dfrac{3}{7,5}.\\\\
\n[\/tex]
\n●<\/span> Exemplo 7<\/strong>: [tex]\\dfrac{2}{15732}=\\dfrac{5}{39330}=\\dfrac{6}{47196}=\\dfrac{9}{70794}.\\\\
\n[\/tex]
\nNo Exemplo 6<\/strong> as varia\u00e7\u00f5es tamb\u00e9m est\u00e3o relacionadas e na mesma propor\u00e7\u00e3o. Isso mesmo, s\u00f3 que n\u00e3o de maneira direta como nos Exemplos 4, 5 e 7, mas sim de uma maneira inversa:
\n●<\/span> se o n\u00famero de ganhadores dobra<\/strong>, o valor do pr\u00eamio fica reduzido \u00e0 metade<\/strong>;
\n●<\/span> se o n\u00famero de ganhadores triplica<\/strong>, o valor do pr\u00eamio fica reduzido \u00e0 ter\u00e7a parte<\/strong>;
\n●<\/span> se o n\u00famero de ganhadores quadruplica<\/strong>, o valor do pr\u00eamio fica reduzido \u00e0 quarta parte<\/strong>; etc.
\nObserve como indicamos a propor\u00e7\u00e3o:
\n●<\/span> Exemplo 6<\/strong>: [tex]\\dfrac{1}{\\frac{1}{33000000}}=\\dfrac{2}{\\frac{1}{16500000}}=\\dfrac{3}{\\frac{1}{11000000}}=\\dfrac{4}{\\frac{1}{8250000}}.\\\\
\n[\/tex]
\nAs grandezas envolvidas nos Exemplos 4, 5, 6 e 7 s\u00e3o chamadas de grandezas proporcionais<\/strong><\/span> e podem ser de dois tipos, conforme veremos nas duas situa\u00e7\u00f5es a seguir.<\/p>\n

\n

\nSitua\u00e7\u00e3o 1:<\/strong> Considere que um determinado oper\u00e1rio trabalha na fabrica\u00e7\u00e3o de determinadas pe\u00e7as por um per\u00edodo de [tex]6[\/tex] horas di\u00e1rias, podendo, se preferir, trabalhar por mais tempo, desde que mantenha o mesmo ritmo de produ\u00e7\u00e3o. Por quanto mais tempo o oper\u00e1rio trabalhar, maior ser\u00e1 sua produ\u00e7\u00e3o.
\nNeste caso, as grandezas envolvidas s\u00e3o tempo<\/strong> e produ\u00e7\u00e3o<\/strong>.<\/p>\n

\"\"Imagem extra\u00edda de Freepik<\/a>.<\/p>\n

Na situa\u00e7\u00e3o acima, suponha que a produ\u00e7\u00e3o do oper\u00e1rio seja constante ao longo do dia, produzindo [tex]n[\/tex] pe\u00e7as a cada hora. Ent\u00e3o, trabalhando [tex]6[\/tex] horas, no final do dia ter\u00e1 produzido [tex]6n[\/tex] pe\u00e7as. Trabalhando uma hora a mais, ou seja, [tex]7[\/tex] horas durante o dia, ao final ele ter\u00e1 produzido [tex]7n[\/tex] pe\u00e7as; trabalhando [tex]8[\/tex] horas, ele produzir\u00e1 [tex]8n[\/tex] pe\u00e7as; e assim por diante.
\nComo se pode perceber, \u00e0 medida que aumenta a quantidade de horas trabalhadas, o n\u00famero de pe\u00e7as produzidas tamb\u00e9m aumenta, e na mesma propor\u00e7\u00e3o, ou seja, se forem trabalhadas [tex]h[\/tex] horas, podemos concluir que ser\u00e3o produzidas [tex]h\\cdot n[\/tex] pe\u00e7as. Dizemos, neste caso, que as duas grandezas envolvidas s\u00e3o diretamente proporcionais<\/strong><\/span>. <\/div>\n

\n

\nSitua\u00e7\u00e3o 2:<\/strong> Quando atletas disputam uma corrida, sabemos que, quanto maior a velocidade, menor ser\u00e1 o tempo de chegada. Esse \u00e9 um outro caso comum que envolve duas grandezas: velocidade <\/strong> e tempo<\/strong>.<\/p>\n

\"\"Imagem extra\u00edda de LANCE!<\/a>.<\/p>\n

Nesta segunda situa\u00e7\u00e3o, vemos que quanto maior a velocidade, menor ser\u00e1 o tempo gasto.
\nSuponha que um atleta complete todo o percurso em [tex]h[\/tex] horas, com uma velocidade [tex]v[\/tex] km\/h. Ent\u00e3o o comprimento do trajeto \u00e9 de [tex]h\\cdot v[\/tex] km. Se um segundo atleta corre a uma velocidade [tex]2v[\/tex] km\/h, ele completar\u00e1 o percurso em [tex]\\dfrac{h\\cdot v}{2v} = \\dfrac{h}{2}[\/tex] horas. Se um terceiro atleta corre a uma velocidade [tex]3v[\/tex] km\/h, ele completar\u00e1 o percurso em [tex]\\dfrac{h\\cdot v}{3v} = \\dfrac{h}{3}[\/tex] horas. Como se pode observar, \u00e0 medida que a velocidade aumenta, o tempo diminui (na mesma propor\u00e7\u00e3o). Por isso, dizemos que, nesta situa\u00e7\u00e3o, as duas grandezas envolvidas s\u00e3o inversamente proporcionais<\/strong><\/span>.\n<\/div>\n

\n

Assim, as duas grandezas dos Exemplos 4, 5 e 7 s\u00e3o diretamente proporcionais e as do Exemplo 6 s\u00e3o inversamente proporcionais. S\u00e3o esses os dois tipos de grandezas que discutiremos daqui para frente.
\nUma observa\u00e7\u00e3o importante: nesta Sala, estudaremos grandezas associadas apenas a medidas positivas, embora existam grandezas que possam ser associadas a medidas negativas como, por exemplo, a temperatura.\n<\/p><\/div>\n

\n
\n
\n
\n
\n
\n

Grandezas Diretamente Proporcionais<\/em><\/p>\n

\n

Ainda sobre a primeira situa\u00e7\u00e3o da se\u00e7\u00e3o anterior, se o oper\u00e1rio produz 30 unidades de determinada pe\u00e7a em um per\u00edodo de 6 horas, ent\u00e3o ele produz 5 pe\u00e7as a cada hora. Assim, em 7 horas, por exemplo, ele produziria [tex]7\\times 5 = 35[\/tex] pe\u00e7as, e em 8 horas produziria [tex]8\\times 5 = 40[\/tex] pe\u00e7as, conforme ilustrado na tabela abaixo.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

A raz\u00e3o entre dois valores da grandeza Tempo <\/strong> \u00e9 igual \u00e0 raz\u00e3o entre os dois valores correspondentes da grandeza Produ\u00e7\u00e3o<\/strong>. \u00c9 isso que determina, matematicamente, que essas grandezas s\u00e3o diretamente proporcionais.<\/p>\n

Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Duas grandezas s\u00e3o ditas diretamente proporcionais<\/em><\/strong> quando a raz\u00e3o entre dois valores quaisquer da primeira \u00e9 igual \u00e0 raz\u00e3o entre os dois valores correspondentes da segunda.<\/p>\n

Vamos tentar olhar de outra forma essa defini\u00e7\u00e3o.
\nConsidere duas grandezas [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex] diretamente proporcionais.
\nSejam [tex]x_1,\\;x_2,\\, x_3, \\text{ etc.}[\/tex] valores quaisquer assumidos por [tex]X[\/tex] e [tex]y_1,\\;y_2,\\,y_3, \\text{ etc.}[\/tex] os valores correspondentes assumidos por [tex]Y[\/tex]; como [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex] s\u00e3o diretamente proporcionais, ent\u00e3o, particularmente:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{x_1}{x_2}=\\dfrac{y_1}{y_2}[\/tex], [tex]\\quad \\dfrac{x_1}{x_3}=\\dfrac{y_1}{y_3}[\/tex], [tex]\\quad \\dfrac{x_1}{x_4}=\\dfrac{y_1}{y_4}[\/tex], etc.
\nCom isso,
\n[tex]\\qquad \\dfrac{y_1}{x_1}=\\dfrac{y_2}{x_2}[\/tex], [tex]\\quad \\dfrac{y_1}{x_1}=\\dfrac{y_3}{x_3}[\/tex], [tex]\\quad \\dfrac{y_1}{x_1}=\\dfrac{y_4}{x_4}[\/tex], etc.
\ne, dessa forma, segue que
\n[tex]\\qquad \\dfrac{y_1}{x_1}=\\dfrac{y_2}{x_2}=\\dfrac{y_3}{x_3}=\\dfrac{y_4}{x_4}=\\cdots [\/tex]
\nSe o valor comum desses quocientes for igual \u00e0 constante (positiva) [tex]k[\/tex], ent\u00e3o, para qualquer valor [tex]x[\/tex] da grandeza [tex]X[\/tex] e o seu valor correspondente [tex]y[\/tex] da grandeza [tex]Y[\/tex], teremos [tex]\\dfrac{y}{x}=k[\/tex], ou ainda, [tex]y=kx.[\/tex]
\nAssim, <\/p>\n

Duas grandezas [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex] s\u00e3o ditas diretamente proporcionais<\/em><\/strong> quando existir uma constante [tex]k[\/tex] positiva, denominada constante de proporcionalidade, tal que [tex]\\,\\dfrac{y}{x} = k\\,[\/tex] (ou [tex]y=kx[\/tex]), para qualquer valor [tex]x[\/tex] da grandeza [tex]X[\/tex] e o seu valor correspondente [tex]y[\/tex] da grandeza [tex]Y.[\/tex]<\/p>\n

\n

Observe que a exist\u00eancia de uma constante positiva [tex]k[\/tex] tal que [tex]\\boxed{y=kx}[\/tex] para qualquer valor [tex]x[\/tex] da grandeza [tex]X[\/tex] e o valor correspondente [tex]y[\/tex] da grandeza [tex]Y[\/tex] nos garante, \u00e0 primeira vista, que os valores de duas grandezas diretamente proporcionais aumentam ou diminuem simultaneamente. No entanto, o Exemplo 8<\/strong> nos mostra que os valores de duas grandezas podem aumentar ou diminuir simultaneamente sem que sejam diretamente proporcionais ou mesmo proporcionais!
\nMas n\u00e3o se preocupe; o que a igualdade [tex]y=kx[\/tex] garante, de fato, \u00e9 que duas grandezas s\u00e3o diretamente proporcionais quando, aumentando os valores de uma delas, os valores correspondentes da outra tamb\u00e9m aumentam na mesma propor\u00e7\u00e3o, ou diminuindo os valores de uma delas, os valores correspondentes da outra tamb\u00e9m diminuem na mesma propor\u00e7\u00e3o. E isso confirma as observa\u00e7\u00f5es feitas quando discutimos os exemplos iniciais. Se voc\u00ea n\u00e3o conseguiu ver o aumento ou a diminui\u00e7\u00e3o na mesma proporcionalidade, clique no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n

\n <\/p>\n
\nSejam [tex]x_1[\/tex] e [tex]x_2[\/tex] valores da grandeza [tex]X[\/tex] e [tex]y_1[\/tex] e [tex]y_2[\/tex] os respectivos valores correspondentes da grandeza [tex]Y.[\/tex]
\nAssim [tex]y_1=kx_1[\/tex] e [tex]y_2=kx_2[\/tex]. Suponha que exista uma constante positiva [tex]t[\/tex] tal que [tex]\\boxed{x_2=\\textcolor{red}{t}\\,x_1}.[\/tex] Assim, segue que:
\n[tex]\\qquad y_2=kx_2\\\\
\n\\qquad y_2=k\\left(tx_1 \\right)\\\\
\n\\qquad y_2=t\\left(kx_1 \\right)\\\\
\n\\qquad \\boxed{y_2=\\textcolor{red}{t}\\,y_1}.[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

Como sabemos que os valores de duas grandezas [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex] diretamente proporcionais est\u00e3o relacionados por meio da express\u00e3o alg\u00e9brica [tex]y=kx[\/tex], na qual [tex]k[\/tex] \u00e9 uma constante positiva e tanto [tex]x[\/tex] quanto [tex]y[\/tex] podem assumir valores reais positivos, podemos representar graficamente a rela\u00e7\u00e3o entre duas grandezas diretamente proporcionais [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex] em um plano cartesiano [tex]xOy[\/tex] e obteremos pontos cujas coordenadas s\u00e3o [tex]\\left(x,kx \\right)[\/tex], para valores [tex]x[\/tex] da grandeza [tex]X[\/tex], e que estar\u00e3o alinhados. Particularmente, quando [tex]x,y \\in \\mathbb{R}^*_+[\/tex], o gr\u00e1fico ser\u00e1 uma semirreta que parte da origem do sistema cartesiano (mas o ponto [tex]\\left(0,0\\right)[\/tex] n\u00e3o faz parte dela).
\n\"\"\n<\/div>\n

\n
\n
\n
\n
\n
\n

Grandezas Inversamente Proporcionais<\/em><\/p>\n

\n

Agora, vamos analisar melhor a segunda situa\u00e7\u00e3o da Introdu\u00e7\u00e3o.
\nConsidere que um atleta leve 1 hora para percorrer um determinado trecho a uma velocidade constante de 5 km\/h. Se outro atleta correr esse mesmo trecho duas vezes mais r\u00e1pido, certamente ele levar\u00e1 metade do tempo do primeiro atleta, ou seja, levar\u00e1 1\/2 hora percorrendo a uma velocidade de 10 km\/h. E, da mesma forma, se um terceiro atleta percorresse o mesmo trecho tr\u00eas vezes mais r\u00e1pido que o primeiro, ele levaria 1\/3 do tempo deste, ou seja, ele faria o mesmo percurso em 1\/3 hora, percorrendo a uma velocidade de 15 km\/h. Observe a tabela abaixo.
\n\"\"
\nPerceba que a raz\u00e3o entre dois valores da grandeza Velocidade <\/strong> \u00e9 igual ao inverso da raz\u00e3o entre os dois valores correspondentes da grandeza Tempo<\/strong>; e \u00e9 isso que determina, matematicamente, que essas grandezas s\u00e3o inversamente proporcionais.<\/p>\n

Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Duas grandezas s\u00e3o ditas inversamente proporcionais<\/em><\/strong> quando a raz\u00e3o entre dois valores quaisquer da primeira \u00e9 igual ao inverso da raz\u00e3o entre os valores correspondentes da segunda.<\/p>\n

Podemos tamb\u00e9m olhar de outra forma essa defini\u00e7\u00e3o.
\nConsidere duas grandezas [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex] inversamente proporcionais.
\nSe [tex]x_1,\\;x_2,\\, x_3, \\text{ etc.}[\/tex] forem valores quaisquer assumidos pela grandeza [tex]X[\/tex] e [tex]y_1,\\;y_2,\\,y_3, \\text{ etc.}[\/tex] forem os valores correspondentes assumidos por [tex]Y[\/tex]; como [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex] s\u00e3o inversamente proporcionais, ent\u00e3o, particularmente, teremos:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{x_1}{x_2}= \\left(\\dfrac{y_1}{y_2}\\right)^{-1}[\/tex], [tex]\\quad \\dfrac{x_1}{x_3}= \\left(\\dfrac{y_1}{y_3}\\right)^{-1}[\/tex], [tex]\\quad \\dfrac{x_1}{x_4}= \\left(\\dfrac{y_1}{y_4}\\right)^{-1}[\/tex], etc.
\nou seja,
\n[tex]\\qquad \\dfrac{x_1}{x_2}=\\dfrac{y_2}{y_1}[\/tex], [tex]\\quad \\dfrac{x_1}{x_3}=\\dfrac{y_3}{y_1}[\/tex], [tex]\\quad \\dfrac{x_1}{x_4}=\\dfrac{y_4}{y_1}[\/tex], etc.
\nCom isso,
\n[tex]\\qquad x_1\\cdot y_1=x_2 \\cdot y_2[\/tex], [tex]\\quad x_1\\cdot y_1=x_3 \\cdot y_3[\/tex], [tex]\\quad x_1\\cdot y_1=x_4 \\cdot y_4[\/tex], etc.
\ne, dessa forma, segue que
\n[tex]\\qquad x_1\\cdot y_1=x_2 \\cdot y_2=x_3 \\cdot y_3=x_4 \\cdot y_4=\\cdots\\,[\/tex] .
\nSe o valor comum desses produtos for a constante (positiva) [tex]k[\/tex], ent\u00e3o, para qualquer valor [tex]x[\/tex] da grandeza [tex]X[\/tex] e o seu valor correspondente [tex]y[\/tex] da grandeza [tex]Y[\/tex], teremos [tex]x\\cdot y=k.[\/tex]
\nDessa forma, <\/p>\n

Duas grandezas [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex] s\u00e3o ditas inversamente proporcionais<\/em><\/strong> quando existir uma constante [tex]k[\/tex] positiva, denominada constante de proporcionalidade, tal que [tex]x\\cdot y=k[\/tex] (ou [tex]y=\\dfrac{k}{x}[\/tex]), para qualquer valor [tex]x[\/tex] da grandeza [tex]X[\/tex] e o seu valor correspondente [tex]y[\/tex] da grandeza [tex]Y.[\/tex]<\/p>\n

\n

Observe que a exist\u00eancia de uma constante positiva [tex]k[\/tex] tal que [tex]\\boxed{y=k\\,\\dfrac{1}{x}}[\/tex] para qualquer valor [tex]x[\/tex] da grandeza [tex]X[\/tex] e o valor correspondente [tex]y[\/tex] da grandeza [tex]Y[\/tex] nos garante que, para duas grandezas inversamente proporcionais, aumentando os valores de uma delas, os valores da outra diminuem na mesma propor\u00e7\u00e3o ou, diminuindo os valores de uma delas, os valores da outra aumentam na mesma propor\u00e7\u00e3o.
\nAssim como na grandezas diretamente proporcionais, \u00e9 importante lembrar que para as grandezas inversamente proporcionais os aumentos e as respectivas diminui\u00e7\u00f5es de valores s\u00e3o proporcionais.
\nTamb\u00e9m podemos representar graficamente a express\u00e3o alg\u00e9brica [tex] y=k\\, \\dfrac{1}{x}[\/tex] que caracteriza duas grandezas inversamente proporcionais [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex] em um plano cartesiano [tex]xOy[\/tex]. Aqui, obteremos pontos cujas coordenadas s\u00e3o [tex]\\left(x,\\dfrac{k}{x} \\right)[\/tex], para valores [tex]x[\/tex] da grandeza [tex]X[\/tex], que definem parte de uma curva conhecida como hip\u00e9rbole. Particularmente, quando [tex]x,y \\in \\mathbb{R}^*_+[\/tex], o gr\u00e1fico ser\u00e1 um ramo de hip\u00e9rbole.
\n\"\"\n<\/div>\n

\n
\n
\n
\nAgora que voc\u00ea j\u00e1 sabe o que s\u00e3o grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais, voc\u00ea pode estar se perguntando como resolver problemas que envolvam esses dois tipos de grandezas…
\nSe for o caso, acalme-se.
\nMuitos dos problemas de Matem\u00e1tica que envolvem proporcionalidade direta ou inversa entre duas grandezas podem ser resolvidos utilizando-se duas regras cujos nomes d\u00e3o t\u00edtulo \u00e0 Sala 2: Regras de Tr\u00eas<\/strong>.
\nPara conhec\u00ea-las, \u00e9 s\u00f3 clicar no bot\u00e3o Sala 2<\/strong>.<\/p>\n

Bons estudos!!! <\/p>\n

<\/div>\n<\/div>\n
\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n

\n

\n

\nRefer\u00eancias:<\/strong>
\n[1]<\/strong><\/span> BIANCHINI, Edwaldo; MIANI, Marcos. Construindo conhecimentos em Matem\u00e1tica<\/strong>, 7\u00aa s\u00e9rie. S\u00e3o Paulo: Moderna, 2000.
\n[2]<\/strong><\/span> BIGODE, Antonio Jos\u00e9 Lopes; MIANI, Marcos. Matem\u00e1tica hoje \u00e9 feita assim<\/strong>, 6\u00aa s\u00e9rie. 1\u00aa Edi\u00e7\u00e3o. S\u00e3o Paulo: FTD, 2000.
\n[3]<\/strong><\/span> BOYER, Carl Benjamin. Hist\u00f3ria da Matem\u00e1tica<\/strong>, 3\u00aa Edi\u00e7\u00e3o. S\u00e3o Paulo: Edgard Blucher, 2010.
\n[4]<\/strong><\/span> EVES, Howard. Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 Hist\u00f3ria da matem\u00e1tica<\/strong>. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004.
\n[5]<\/strong><\/span> PAIVA, M. R. Moderna Plus. Matem\u00e1tica Paiva 1<\/strong>. 1a edi\u00e7\u00e3o ed. [s.l.] Moderna, 2010.
\n[6]<\/strong><\/span> Portal da OBMEP<\/strong><\/span>.<\/a> (\u00daltimo acesso em 20\/06\/20).\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar a Sala. Sala 1 – Grandezas proporcionais Introdu\u00e7\u00e3o Matematicamente, entendemos por grandeza tudo que pode ser medido ou contado; assim, s\u00e3o exemplos de grandezas o comprimento, a superf\u00edcie, o volume, a massa, a capacidade, a velocidade, a temperatura, o tempo, entre outras. \u00c9 bastante comum no nosso dia a … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-207307","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/207307","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=207307"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/207307\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":207314,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/207307\/revisions\/207314"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=207307"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}