\n
\nNesta Sala vamos trabalhar um pouco mais com os conceitos de injetividade e sobrejetividade.<\/p>\n
\n
\n
\n[tex]\\begin{array}{c|c|c|c}
\nf:\\{-2,0,2\\}\\rightarrow\\{0,4\\}&g:\\{0,2\\}\\rightarrow\\{0,2,4\\}&h:\\{-2,0,2\\}\\rightarrow\\{0,2,4\\}&l:\\{0,2\\}\\rightarrow\\{0,4\\}\\\\
\n\\boxed{f(x)=x^2}&\\boxed{g(x)=x^2}&\\boxed{h(x)=x^2}&\\boxed{l(x)=x^2}
\n\\end{array}.[\/tex]<\/p>\n
Elas s\u00e3o injetoras? E sobrejetoras? \n \n \n \n \n IMPORTANTE:<\/strong> Notem que a regra [tex]x \\mapsto x^2[\/tex] provocou estruturalmente quatro situa\u00e7\u00f5es distintas, pois com a mesma regra obtivemos fun\u00e7\u00f5es com propriedades distintas:<\/p>\n Dessa forma, percebam a import\u00e2ncia de deixar claro qual \u00e9 o dom\u00ednio e qual \u00e9 o contradom\u00ednio de uma fun\u00e7\u00e3o.\n<\/p><\/div>\n \n \n ►<\/span> Observem que existem retas horizontais que cruzam os gr\u00e1ficos das fun\u00e7\u00f5es [tex]f,\\,h,\\,t\\,[\/tex] em mais de um ponto, conforme podemos observar na imagem a seguir. Mas qualquer reta horizontal cruza o gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o [tex]g[\/tex] em, no m\u00e1ximo, um ponto; abaixo podemos observar algumas dessas retas. \n \n ►<\/span> Observem que no gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] o intervalo [tex]]a,b][\/tex] est\u00e1 contido no contradom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o mas nenhum elemento desse intervalo \u00e9 imagem de elementos do dom\u00ednio, logo [tex]f[\/tex] n\u00e3o \u00e9 sobrejetora. \n \n \n
\n►<\/span> Vamos explorar [tex]f, \\, g, \\, h, \\, l \\, [\/tex] utilizando diagramas de Venn.<\/p>\n\n
\n (a) <\/strong>[tex]f:\\{-2,0,2\\}\\rightarrow\\{0,4\\}\\\\f(x)=x^2[\/tex]
\nObservem que a regra [tex]\\boxed{ x \\mapsto x^2}[\/tex] est\u00e1 associando a dois elementos distintos, [tex]-2[\/tex] e [tex]2[\/tex], um \u00fanico elemento, [tex]4[\/tex]. Logo [tex]f[\/tex] n\u00e3o \u00e9 injetora.
\nObservem tamb\u00e9m que os dois elementos do contradom\u00ednio s\u00e3o imagens, logo [tex]f[\/tex] \u00e9 sobrejetora. <\/td>\n\n ![\"fig028\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/06\/fig028.png\")
<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n
\n (b) <\/strong>[tex]g:\\{0,2\\}\\rightarrow\\{0,2,4\\}\\\\g(x)=x^2[\/tex]
\nObservem que a regra [tex]\\boxed{ x \\mapsto x^2}[\/tex] n\u00e3o est\u00e1 associando elementos ao n\u00famero [tex]2[\/tex] e, portanto, [tex]g[\/tex] n\u00e3o \u00e9 sobrejetora.
\nMas, por outro lado, elementos distintos do dom\u00ednio t\u00eam imagens distintas, ou seja, [tex]g[\/tex] \u00e9 injetora. <\/td>\n\n ![\"fig029\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/06\/fig029.png\")
<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n
\n (c) <\/strong>[tex]h:\\{-2,0,2\\}\\rightarrow\\{0,2,4\\}\\\\h(x)=x^2[\/tex]
\nAqui, a regra [tex]\\boxed{x \\mapsto x^2}[\/tex] est\u00e1 associando uma mesma imagem a elementos distintos e tamb\u00e9m n\u00e3o est\u00e1 associando elementos ao n\u00famero [tex]2.[\/tex]
\nCom isso, [tex]h[\/tex] n\u00e3o \u00e9 injetora e nem sobrejetora.\n<\/td>\n\n ![\"fig030\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/06\/fig030.png\")
<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n
\n (d) <\/strong>[tex]l:\\{0,2\\}\\rightarrow\\{0,4\\}\\\\l(x)=x^2[\/tex]
\nAqui, a regra [tex]\\boxed{x \\mapsto x^2}[\/tex] est\u00e1 apresentando simultaneamente as propriedades de injetividade e sobrejetividade.
\n Assim, [tex]l[\/tex] \u00e9 uma bije\u00e7\u00e3o.<\/td>\n![\"fig031\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/06\/fig031.png\")
<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/func040_2.png\")
<\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/func041.png\")
\nDessa forma, podemos afirmar que apenas a fun\u00e7\u00e3o [tex]g[\/tex] \u00e9 injetora.\n<\/div>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/func043.png\")
<\/p>\n
\n►<\/span> Todos os elementos do intervalo [tex][0,6][\/tex] s\u00e3o imagens de elementos do dom\u00ednio de [tex]g[\/tex]; logo, essa fun\u00e7\u00e3o \u00e9 sobrejetora.
\n►<\/span> Todos os elementos do intervalo [tex][0,6][\/tex] tamb\u00e9m s\u00e3o imagens de elementos do dom\u00ednio de [tex]h[\/tex]; logo, essa fun\u00e7\u00e3o \u00e9 sobrejetora.
\n►<\/span> Perceba que [tex]6\\in [0,6][\/tex] mas [tex]6[\/tex] n\u00e3o \u00e9 imagem de nenhum elemento do [tex]D(t)[\/tex]. Assim [tex]t[\/tex] n\u00e3o \u00e9 uma sobreje\u00e7\u00e3o.
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/func045.png\")
\n<\/div>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/func046.png\")
\n►<\/span> Note que o conjunto imagem da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] pode ser assim definido:
\n[tex]\\qquad \\qquad Im(f)=\\,\\left]-\\infty\\,,\\,-2\\right[\\, \\cup \\,\\left[0\\,,\\,+\\infty\\right[.[\/tex]
\nDessa forma, se [tex]CD(f)=\\,\\left]-\\infty\\,,\\,-2\\right[\\, \\cup \\,\\left[0\\,,\\,+\\infty\\right[[\/tex], [tex]f[\/tex] ser\u00e1 sobrejetora.\n<\/div>\n
\n(i) Se [tex]f:A\\rightarrow B[\/tex] \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o injetora ent\u00e3o [tex]m\\leqslant n.[\/tex]
\n(ii) Se [tex]f:A\\rightarrow B[\/tex] \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o sobrejetora ent\u00e3o [tex]m\\geqslant n.[\/tex]
\n(iii) Se [tex]f:A\\rightarrow B[\/tex] \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o bijetora ent\u00e3o [tex]m=n.[\/tex]
\n(iv) Se [tex]f:A\\rightarrow B[\/tex] \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o bijetora ent\u00e3o o gr\u00e1fico de [tex]f[\/tex] \u00e9 um subconjunto de [tex]A \\times B[\/tex] com [tex]m\\times n[\/tex] elementos.
\n(v) Se [tex]m=n[\/tex] o n\u00famero de fun\u00e7\u00f5es bijetoras [tex]f:A\\rightarrow B[\/tex] \u00e9 [tex]m!\\,.[\/tex]<\/p>\n