{"id":205345,"date":"2023-11-10T04:42:46","date_gmt":"2023-11-10T07:42:46","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=205345"},"modified":"2023-11-10T04:43:36","modified_gmt":"2023-11-10T07:43:36","slug":"a-observando-graficos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-observando-graficos\/","title":{"rendered":"(A) Observando gr\u00e1ficos"},"content":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar a Sala.<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\n
Observando gr\u00e1ficos<\/strong><\/div>\n
\n
\nNesta Sala vamos tentar visualizar propriedades caracter\u00edsticas de fun\u00e7\u00f5es olhando apenas para os seus respectivos gr\u00e1ficos!<\/p>\n

\n

\nAtividade 1:<\/span><\/strong> As curvas abaixo representam gr\u00e1ficos de fun\u00e7\u00f5es?
\n\"\"Vamos l\u00e1!
\n(a)<\/strong> Sim. E podemos at\u00e9 considerar que o Dom\u00ednio e o Contradom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o, digamos, [tex]f[\/tex] \u00e9 o conjunto dos n\u00fameros reais. Assim, ter\u00edamos o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o [tex]f:\\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex].
\n(b)<\/strong> N\u00e3o. Observe que temos n\u00fameros reais negativos com duas imagens. Na figura a seguir, vemos a representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica de tr\u00eas desses n\u00fameros (pontos).
\n\"\"
\n(c)<\/strong> Depende. Se considerarmos como dom\u00ednio o conjunto dos n\u00fameros reais, a curva que aparece neste item n\u00e3o \u00e9 gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o, visto que qualquer n\u00famero real pertencente ao intervalo [tex]]-2,2][\/tex] n\u00e3o teria imagem.
\nMas se considerarmos como dom\u00ednio a uni\u00e3o dos conjuntos [tex]\\{x \\in \\mathbb{R}~|~x \\leqslant 2\\}~[\/tex] e [tex]~\\{x \\in \\mathbb{R}~|~x \\gt2\\}~[\/tex], a\u00ed teremos um gr\u00e1fico de fun\u00e7\u00e3o:
\n[tex]\\qquad g:\\{x \\in \\mathbb{R}~|~x \\leqslant 2\\} \\cup \\{x \\in \\mathbb{R}~|~x \\gt2\\} \\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex].\n<\/div>\n

\n

\nAtividade 2:<\/span><\/strong> Estabele\u00e7a um dom\u00ednio para que cada gr\u00e1fico abaixo represente uma fun\u00e7\u00e3o. Considere os quadradinhos da malha quadriculada com lados unit\u00e1rios.
\n\"\"
\nSejam [tex]f[\/tex], [tex]g[\/tex] e [tex]h[\/tex] as fun\u00e7\u00f5es cujos gr\u00e1ficos aparecem nas imagens acima. Assim:
\n(a)<\/strong> [tex]D(f)=\\{-4,-3,-2,-1,0,2,3\\}.[\/tex]
\n(b)<\/strong> [tex]D(g)=[-2,4\\,[=\\{x \\in \\mathbb{R}~|-2 \\leqslant x \\lt 4\\}.[\/tex]
\n(c)<\/strong> [tex]D(h)=\\,]-3,3]-\\{-1,1 \\}\\\\
\nD(h)=\\{x \\in \\mathbb{R}~|-3 \\lt x \\leqslant 3\\text{, com } x \\ne -1\\text{ e } x\\ne 1\\}.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

\nAtividade 3:<\/span><\/strong> Estabele\u00e7a um dom\u00ednio para que cada gr\u00e1fico abaixo represente uma fun\u00e7\u00e3o. Em seguida, determine as imagens das fun\u00e7\u00f5es. Em cada malha quadriculada, considere os quadradinhos com lados unit\u00e1rios.
\n\"\"
\n [tex]\\quad \\begin{align*}
\n\\textcolor{blue}{D(f)=\\{x \\in \\mathbb{R}~|~-3\\leqslant x \\lt 5\\}} \\qquad & \\textcolor{red}{D(g)=\\{x \\in \\mathbb{R}~|~-2\\lt x \\leqslant 3\\}}\\\\
\n\\textcolor{blue}{Im(f)=\\{y \\in \\mathbb{R}~|~1\\leqslant y \\lt 3\\}} ~~~~\\qquad & \\textcolor{red}{Im(g)=\\{-2,-1,0,1,2\\}}\\\\
\n\\end{align*}
\n[\/tex]\n <\/div>\n

\n

\nAtividade 4:<\/span><\/strong> Abaixo vemos os gr\u00e1ficos de algumas fun\u00e7\u00f5es definidas de [tex]\\mathbb{R}[\/tex] em [tex]\\mathbb{R}[\/tex]. Determine o conjunto imagem de cada uma delas.
\n\"\"
\n [tex]\\qquad \\textcolor{#00B050}{Im(f)=\\{-3,0,3\\}.} \\\\
\n\\qquad \\textcolor{red}{Im(g)=\\{y \\in \\mathbb{R}~|~y\\leqslant 2\\}.} \\\\
\n\\qquad \\textcolor{blue}{Im(h)=\\{y \\in \\mathbb{R}~|y \\gt 2\\}\\cup \\{y \\in \\mathbb{R}~|-2 \\leqslant y \\leqslant 0\\}.}\\\\[\/tex]<\/p>\n

\"\"
\n [tex]\\qquad \\textcolor{#FF33CC}{Im(k)=\\{y \\in \\mathbb{R}~|~ -2 \\leqslant y\\leqslant 2\\}.} \\\\
\n\\qquad \\textcolor{#BF9000}{Im(t)=\\{y \\in \\mathbb{R}~|~y\\leqslant 2 \\text{ ou } y=3\\}.}[\/tex]\n <\/div>\n

\n

\nAtividade 5:<\/span><\/strong> Todos os gr\u00e1ficos a seguir representam fun\u00e7\u00f5es de [tex]\\mathbb{R}[\/tex] em [tex]\\mathbb{R}[\/tex]. Determine as regi\u00f5es de crescimento e de decrescimento de cada uma delas.
\na)<\/strong> \"\"
\n►<\/span> Decrescente nos intervalos [tex]\\{x \\in \\mathbb{R}~|~ x \\leqslant -2\\}~[\/tex] e [tex]~\\{x \\in \\mathbb{R}~|~ x \\geqslant 2\\}.[\/tex]<\/p>\n

\n

►<\/span> Constante no intervalo [tex]\\{x \\in \\mathbb{R}~|-2 \\leqslant x \\leqslant 2\\}.[\/tex]<\/p>\n

\n

b)<\/strong> \"\"
\n►<\/span> Decrescente nos intervalos [tex]\\{x \\in \\mathbb{R}~|~ x \\leqslant -2\\}~[\/tex] e [tex]\\{x \\in \\mathbb{R}~|~ 0 \\leqslant x \\leqslant 2\\}.[\/tex]
\n►<\/span> Crescente nos intervalos [tex]\\{x \\in \\mathbb{R}~|~-2 \\leqslant x \\leqslant 0\\}~[\/tex] e [tex]\\{x \\in \\mathbb{R}~| x \\geqslant 2\\}.[\/tex]<\/p>\n

\n

c)<\/strong> \"\"
\n►<\/span>Crescente nos intervalos [tex]\\{x \\in \\mathbb{R}~|~ x \\lt 0\\}~[\/tex] e [tex]~\\{x \\in \\mathbb{R}~|~ x \\geqslant 0\\}.[\/tex]
\nComo [tex]\\{x \\in \\mathbb{R}~|~ x \\lt 0\\}~\\cup ~\\{x \\in \\mathbb{R}~|~ x \\geqslant 0\\}=\\mathbb{R}[\/tex], podemos dizer que a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 crescente? <\/div>\n

\n

\nAtividade 6:<\/span><\/strong> (Vunesp – 94) Considere duas fun\u00e7\u00f5es, [tex]f~[\/tex] e [tex]~g[\/tex], definidas no intervalo [tex]I=\\{ x \\in \\mathbb{R}~|~ 1 \\leqslant x \\leqslant 5\\}[\/tex], tais que [tex]f(1) = g(1) = 0[\/tex], [tex]f(3) \\cdot g(3) = 0~[\/tex] e [tex]f(5) \\gt g(5).[\/tex]
\nRepresentando o gr\u00e1fico de [tex]f[\/tex] em linha cheia e o de [tex]g[\/tex] em linha tracejada, a figura que melhor se ajusta a esses dados \u00e9:
\n\"\"
\n►<\/span> Na figura a<\/strong>, observe que [tex]g(1) \\gt 0 [\/tex], logo [tex]g(1) \\ne 0.[\/tex] Assim a condi\u00e7\u00e3o de que [tex]g(1)=0[\/tex] n\u00e3o est\u00e1 cumprida e podemos eliminar esta figura.
\n►<\/span> Observando a figura b<\/strong>, percebemos que [tex]3[\/tex] n\u00e3o \u00e9 raiz de nenhuma das duas fun\u00e7\u00f5es e, portanto, ter\u00edamos [tex]f(3)\\ne 0~[\/tex] e [tex]~g(3)\\ne 0.[\/tex]
\nNo entanto, sabemos que [tex]f(3) \\cdot g(3)=0[\/tex], logo devemos ter [tex]f(3)=0[\/tex] ou [tex]g(3) =0[\/tex]. Portanto, tamb\u00e9m podemos eliminar esta figura.
\n►<\/span> Observe que tanto na figura d<\/strong> quanto na figura e<\/strong> temos que a imagem [tex]g(5)[\/tex] \u00e9 positiva e a imagem [tex]f(5)[\/tex] \u00e9 negativa e, com isso, temos [tex]g(5) \\gt f(5)[\/tex], o que contraria a informa\u00e7\u00e3o de que [tex]f(5) \\gt g(5).[\/tex]
\nDessa forma eliminamos simultaneamente essas duas figuras.
\n►<\/span> Observe que na figura c<\/strong> todas as condi\u00e7\u00f5es apresentadas no problema s\u00e3o cumpridas: [tex]f(1) = g(1) = 0[\/tex], [tex]g(3)=0~[\/tex] e [tex]f(5) \\gt g(5).[\/tex]
\nPortanto, a figura que melhor se ajusta aos dados do problema \u00e9 a figura c<\/strong>.\n <\/div>\n

\n

\nAtividade 7:<\/span><\/strong> Considere o gr\u00e1fico de uma dada fun\u00e7\u00e3o [tex]f:[-5,5]\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex].
\na)<\/strong> Responda se cada item abaixo \u00e9 verdadeiro ou falso.
\n<\/span> (i) <\/strong>[tex] f(-2)=f(2)[\/tex]
\n<\/span> (ii)<\/strong> A fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] possui exatamente uma raiz real.
\nb)<\/strong> Aproveite e analise o crescimento e decrescimento da fun\u00e7\u00e3o.
\n\"\"<\/p>\n

\n

a)<\/strong> <\/p>\n

(i)<\/strong> Como o gr\u00e1fico cont\u00e9m os pontos [tex](-2,0)[\/tex] e [tex](2,0)[\/tex], temos [tex]f(-2)= 0[\/tex] e [tex]f(2)= 0.[\/tex]
\nPortanto, [tex]f(-2)=f(2)= 0 [\/tex] e este item \u00e9 verdadeiro.<\/p>\n

\n

(ii)<\/strong> Veja que o gr\u00e1fico de [tex]f[\/tex] corta o eixo das abscissas nos pontos [tex](-2,0),(0,0),(2,0),(4,0)[\/tex] (pontos azuis sobre o eixo das abscissas, conforme indicado na figura a seguir).
\n\"\"
\nAssim, [tex]f(-2)=0 \\, [\/tex], [tex]f(0)=0 \\, [\/tex], [tex]f(2)=0 \\, [\/tex], [tex]f(4)=0 \\, [\/tex] e, portanto, a fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] possui quatro ra\u00edzes: [tex]-2[\/tex], [tex]2[\/tex], [tex]0[\/tex] e [tex]4[\/tex].
\nPelo exposto, este item \u00e9 falso! <\/div>\n

b)<\/strong> ►<\/span> [tex]f[\/tex] \u00e9 constante no intervalo [tex]\\{x \\in \\mathbb{R}~|-5 \\leqslant x \\lt -2\\}.[\/tex]
\n►<\/span> [tex]f[\/tex] \u00e9 crescente no intervalo [tex]\\{x \\in \\mathbb{R}~|~0 \\leqslant x \\lt 2\\}.[\/tex]
\n►<\/span> [tex]f[\/tex] \u00e9 decrescente nos intervalos [tex]\\{x \\in \\mathbb{R}~|~-2 \\lt x \\leqslant 0\\}~[\/tex] e [tex]~\\{x \\in \\mathbb{R}~|~2 \\lt x \\leqslant 5\\}.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

\nAtividade 8:<\/span><\/strong> Seja [tex]a[\/tex] um n\u00famero real positivo e observe o gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o [tex]f:[0,a]\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex].
\n\"\"
\nA partir desse gr\u00e1fico, \u00e9 poss\u00edvel construirmos o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o [tex]g:[-a,a]\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] de modo que [tex]g[\/tex] seja par?
\nE para que [tex]g[\/tex] seja \u00edmpar?
\na)<\/strong> Observe que o gr\u00e1fico abaixo define uma fun\u00e7\u00e3o par de [tex][-a,a][\/tex] em [tex]\\mathbb{R}.[\/tex]
\n\"\"<\/p>\n

\n

b)<\/strong> Observe, agora, que o gr\u00e1fico abaixo define uma fun\u00e7\u00e3o \u00edmpar de [tex][-a,a][\/tex] em [tex]\\mathbb{R}.[\/tex]
\n\"\"
\nc)<\/strong> Para as duas fun\u00e7\u00f5es definidas, determine graficamente as regi\u00f5es de crescimento e decrescimento.
\n\"\"
\n\"\"\n<\/div>\n

\n

\nExemplo 9:<\/span><\/strong> As curvas abaixo representam gr\u00e1ficos de fun\u00e7\u00f5es?<\/p>\n

\n\"\"
\na)<\/strong> A curva apresentada no item a<\/strong> n\u00e3o representa o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o, j\u00e1 que existem retas verticais que cortam a curva em mais de um ponto. Observe na pr\u00f3xima imagem as retas [tex]~r~[\/tex] e [tex]~s.[\/tex]
\n\"\"<\/p>\n

\n

b)<\/strong> A curva apresentada no item b<\/strong> tamb\u00e9m n\u00e3o representa o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o. Observe na figura abaixo que as retas verticais [tex]~t~[\/tex] e [tex]~v[\/tex] cortam a curva em dois pontos cada uma.
\n\"\"<\/p>\n

\n

c)<\/strong> A curva apresentada no item c<\/strong> n\u00e3o representa o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o. Observe que se a curva em quest\u00e3o fosse o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o, [tex]x=4[\/tex] teria v\u00e1rias imagens. Na figura abaixo sinalizamos quatro dessas imagens.
\n\"\"\n<\/div>\n

\n
\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

Voltar para Sala Inicial<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar a Sala. Observando gr\u00e1ficos Nesta Sala vamos tentar visualizar propriedades caracter\u00edsticas de fun\u00e7\u00f5es olhando apenas para os seus respectivos gr\u00e1ficos! Atividade 1: As curvas abaixo representam gr\u00e1ficos de fun\u00e7\u00f5es? Vamos l\u00e1! (a) Sim. E podemos at\u00e9 considerar que o Dom\u00ednio e o Contradom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o, digamos, [tex]f[\/tex] \u00e9 o … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-205345","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/205345","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=205345"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/205345\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":205347,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/205345\/revisions\/205347"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=205345"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}