\nUma vis\u00e3o geral<\/span><\/strong><\/div>\n
\n
\n
\nO estudo das fun\u00e7\u00f5es \u00e9 de grande import\u00e2ncia na Matem\u00e1tica e em v\u00e1rias outras \u00e1reas, pois as fun\u00e7\u00f5es s\u00e3o usadas para descrever e modelar muitos fen\u00f4menos e processos em diversas \u00e1reas, incluindo F\u00edsica, Engenharia, Economia, Biologia, Qu\u00edmica, Ci\u00eancia da Computa\u00e7\u00e3o e outras. As fun\u00e7\u00f5es s\u00e3o essenciais para a compreens\u00e3o da Matem\u00e1tica em geral, pois elas fornecem uma estrutura para analisar rela\u00e7\u00f5es entre vari\u00e1veis, tendo in\u00fameras aplica\u00e7\u00f5es pr\u00e1ticas em muitas \u00e1reas do conhecimento, como as que seguem.
\n●<\/span> Modelagem:<\/strong> As fun\u00e7\u00f5es s\u00e3o frequentemente usadas para modelar fen\u00f4menos do mundo real, como o movimento de objetos, a evolu\u00e7\u00e3o de popula\u00e7\u00f5es, o crescimento de culturas bacterianas e muitos outros. O estudo das fun\u00e7\u00f5es permite que os pesquisadores desenvolvam modelos matem\u00e1ticos precisos que podem ser usados para prever e entender melhor esses fen\u00f4menos.
\n●<\/span> An\u00e1lise de dados:<\/strong> O estudo das fun\u00e7\u00f5es \u00e9 essencial para a an\u00e1lise de dados em muitas \u00e1reas, como Estat\u00edstica e Ci\u00eancia de Dados. As fun\u00e7\u00f5es s\u00e3o usadas para descrever rela\u00e7\u00f5es entre vari\u00e1veis e para identificar padr\u00f5es em conjuntos de dados.
\n●<\/span> C\u00e1lculo:<\/strong> As fun\u00e7\u00f5es s\u00e3o fundamentais para o C\u00e1lculo, que \u00e9 uma das \u00e1reas mais importantes da Matem\u00e1tica. O C\u00e1lculo \u00e9 usado para estudar as propriedades das fun\u00e7\u00f5es e para resolver problemas relacionados a limites, derivadas e integrais.
\n●<\/span><\/strong> Engenharia:<\/strong> As fun\u00e7\u00f5es s\u00e3o usadas em muitas \u00e1reas da Engenharia, incluindo Engenharia Mec\u00e2nica, Engenharia El\u00e9trica e Engenharia Civil. As fun\u00e7\u00f5es s\u00e3o usadas para modelar sistemas f\u00edsicos e para analisar dados de experimentos e simula\u00e7\u00f5es.
\n●<\/span> Programa\u00e7\u00e3o de computadores:<\/strong> As fun\u00e7\u00f5es s\u00e3o usadas na programa\u00e7\u00e3o de computadores para criar algoritmos e para desenvolver programas que realizam tarefas espec\u00edficas. As fun\u00e7\u00f5es s\u00e3o fundamentais para a estrutura\u00e7\u00e3o do c\u00f3digo e para a cria\u00e7\u00e3o de programas.\n<\/div>\n
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Estabelecendo uma linguagem inicial<\/p>\n
Considere a situa\u00e7\u00e3o a seguir.<\/p>\n
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![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/f018.png\")
\nE se os lados do quadrado medissem [tex]6\\text{ cm}[\/tex] e os lados do ret\u00e2ngulo medissem [tex]4\\text{ cm}[\/tex] e [tex]6\\text{ cm}[\/tex]. Qual seria a \u00e1rea?
\nE se os lados do quadrado medissem [tex]7\\text{ cm}[\/tex] e os lados do ret\u00e2ngulo medissem [tex]4\\text{ cm}[\/tex] e [tex]7\\text{ cm}[\/tex]. Qual seria a \u00e1rea?
\nE se os lados do quadrado medissem [tex]9\\text{ cm}[\/tex] e os lados do ret\u00e2ngulo medissem [tex]4\\text{ cm}[\/tex] e [tex]9\\text{ cm}[\/tex]. Qual seria a \u00e1rea?
\nE se os lados do quadrado medissem [tex]11\\text{ cm}[\/tex] e os lados do ret\u00e2ngulo medissem [tex]4\\text{ cm}[\/tex] e [tex]11\\text{ cm}[\/tex]. Qual seria a \u00e1rea?
\nE se os lados do quadrado medissem [tex]12,2\\text{ cm}[\/tex] e os lados do ret\u00e2ngulo medissem [tex]4\\text{ cm}[\/tex] e [tex]12,2\\text{ cm}[\/tex]. Qual seria a \u00e1rea?
\nE se os lados do quadrado medissem [tex]14,6\\text{ cm}[\/tex] e os lados do ret\u00e2ngulo medissem [tex]4\\text{ cm}[\/tex] e [tex]14,6\\text{ cm}[\/tex]. Qual seria a \u00e1rea?
\nE se os lados do quadrado medissem [tex]23,786\\text{ cm}[\/tex] e os lados do ret\u00e2ngulo medissem [tex]4\\text{ cm}[\/tex] e [tex]23,786\\text{ cm}[\/tex]. Qual seria a \u00e1rea?
\nE se os lados do quadrado medissem [tex]25\\text{ cm}[\/tex] e os lados do ret\u00e2ngulo medissem [tex]4\\text{ cm}[\/tex] e [tex]25\\text{ cm}[\/tex]. Qual seria a \u00e1rea?
\nE se os lados do quadrado medissem [tex]26\\text{ cm}[\/tex] e os lados do ret\u00e2ngulo medissem [tex]4\\text{ cm}[\/tex] e [tex]26\\text{ cm}[\/tex]. Qual seria a \u00e1rea?
\nE se os lados do quadrado medissem [tex]2\\text{ cm}[\/tex] e os lados do ret\u00e2ngulo medissem [tex]4\\text{ cm}[\/tex] e [tex]2\\text{ cm}[\/tex]. Qual seria a \u00e1rea?
\nE se …
\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/04\/carinha7.jpg\")
<\/div>\n\n
Bem, j\u00e1 deu para perceber que poder\u00edamos ficar at\u00e9 amanh\u00e3 \u00e0 tarde propondo novas medidas para o quadrado e o ret\u00e2ngulo que poder\u00e3o ser retirados do quadrado inicial, n\u00e3o \u00e9? Mas, matematicamente, Vamos formalizar matematicamente essa ideia, lembrando que definir um objeto \u00e9 simplesmente lhe dar um nome, e definir o objeto central desta Sala: Fun\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span>.<\/p>\n \n Na Matem\u00e1tica \u00e9 comum darmos nomes especiais a objetos de um mesmo tipo aos quais fazemos refer\u00eancias v\u00e1rias vezes. Al\u00e9m de nomes, quando conveniente, s\u00e3o criadas representa\u00e7\u00f5es simb\u00f3licas (nota\u00e7\u00e3o) para resumir ainda mais a ideia por tr\u00e1s do nome e facilitar o trabalho que vir\u00e1 pela frente. \n Nesta Sala estamos interessados no estudo de fun\u00e7\u00f5es cujas vari\u00e1veis independente e dependente s\u00e3o n\u00fameros reais. Ent\u00e3o trabalharemos com fun\u00e7\u00f5es que estabelecer\u00e3o um tipo especial de rela\u00e7\u00e3o entre vari\u00e1veis que, na pr\u00e1tica, representam grandezas como tempo, velocidade, posi\u00e7\u00e3o, custo, n\u00famero de unidades, etc… \n Uma fun\u00e7\u00e3o pode ser representada por um diagrama de flechas<\/strong>, conforme a figura a seguir. \n O conjunto imagem da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] do exemplo anterior \u00e9 [tex]Im(f)=\\{0, 1, 2\\}.[\/tex] \n Nem sempre uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 apresentada na forma padr\u00e3o que definimos. Existem situa\u00e7\u00f5es em que podemos perceber uma rela\u00e7\u00e3o em diferentes formas de representa\u00e7\u00f5es entre elementos de duas grandezas que podem definir fun\u00e7\u00f5es, mas n\u00e3o aparecem expl\u00edcitos o dom\u00ednio, o contradom\u00ednio e a lei de forma\u00e7\u00e3o dessa fun\u00e7\u00e3o. Em situa\u00e7\u00f5es como essas, podemos destacar os conjuntos de elementos que se relacionam de modo a obter uma fun\u00e7\u00e3o ou at\u00e9 a lei de forma\u00e7\u00e3o! \n \n A rela\u00e7\u00e3o acima, da forma como est\u00e1 apresentada, ainda n\u00e3o define uma fun\u00e7\u00e3o, pois n\u00e3o foi exibido nenhum conjunto candidato a contradom\u00ednio. No entanto, como para um n\u00famero natural [tex]n[\/tex] qualquer, a quantidade de n\u00fameros primos de [tex]1[\/tex] a [tex]n[\/tex] \u00e9 sempre um n\u00famero natural, ent\u00e3o podemos representar essa rela\u00e7\u00e3o pela seguinte fun\u00e7\u00e3o: \n Se considerarmos [tex]A[\/tex] o conjunto dos anos de 1995 a 2001, [tex]B[\/tex] o conjunto dos valores que correspondem \u00e0s \u00e1reas (em hectares) representados na tabela e [tex]C[\/tex] o conjunto dos valores que correspondem \u00e0 produ\u00e7\u00e3o (em toneladas) tamb\u00e9m representados na tabela, teremos duas diferentes fun\u00e7\u00f5es: \n Se voc\u00ea precisa de mais alguns exemplos de rela\u00e7\u00f5es que definem fun\u00e7\u00f5es \u00e9 s\u00f3 clicar no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n \n Exemplos<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n Outra maneira de apresentarmos uma fun\u00e7\u00e3o cujas vari\u00e1veis s\u00e3o n\u00fameros reais \u00e9 utilizando o que denominaremos de Gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o<\/strong>. Gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o<\/p>\n Para construir o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o cujas vari\u00e1veis dependente e independente s\u00e3o n\u00fameros reais utilizamos um ambiente matem\u00e1tico apropriado, que \u00e9 chamado de plano cartesiano. \n \n \n Fixado um plano cartesiano, podemos representar geometricamente um par ordenado de n\u00fameros reais como um ponto desse plano; assim como associar a qualquer ponto desse plano um par ordenado de n\u00fameros reais. \n Com isso, estabelece-se uma correspond\u00eancia \u00fanica entre os pontos de um plano cartesiano e o conjunto dos pares ordenados de n\u00fameros reais. <\/strong><\/span>\n<\/div>\n \n Com a discuss\u00e3o feita acima, podemos observar que um par ordenado, na verdade, representa a localiza\u00e7\u00e3o de um determinado ponto no plano cartesiano e, portanto, a partir de agora, podemos olhar para um par ordenado como sendo as coordenadas de um ponto no plano cartesiano. \n Uma quest\u00e3o interessante sobre o plano cartesiano est\u00e1 relacionada \u00e0 simetria de pontos. Tal no\u00e7\u00e3o \u00e9 importante quando definimos alguns conceitos relacionados \u00e0s fun\u00e7\u00f5es como, por exemplo, fun\u00e7\u00e3o inversa, fun\u00e7\u00e3o par e fun\u00e7\u00e3o \u00edmpar. Conhecer um pouco de simetria tamb\u00e9m pode ser \u00fatil na an\u00e1lise de certos problemas. Temos quatro casos de simetria de pontos no plano cartesiano:<\/p>\n \n ➤<\/span> os pontos [tex](a,b)[\/tex] e [tex](a,-b)[\/tex] s\u00e3o sim\u00e9tricos em rela\u00e7\u00e3o ao eixo [tex]x[\/tex];<\/p>\n \n \n \n \n \nAgora, j\u00e1 temos condi\u00e7\u00f5es de definir gr\u00e1fico!<\/p>\n \n [tex]\\begin {array}{|c| c| c|} Geometricamente, podemos representar os pontos do gr\u00e1fico em um plano cartesiano.<\/p>\n Como podemos perceber, os nove pontos marcados no plano cartesiano est\u00e3o alinhados, o que nos leva a acreditar que o gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o \u00e9 uma reta. Ou seja, independente de qual valor colocamos para [tex]x[\/tex], vamos encontrar um par ordenado [tex](x,f(x))[\/tex] que est\u00e1 alinhado com os demais pontos j\u00e1 encontrados. \n \n Muitas vezes podemos pensar no gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o como sendo o rastro deixado por um ponto de coordenadas [tex](x,y)[\/tex], quando a vari\u00e1vel [tex]x[\/tex] varia da esquerda para a direita, e a vari\u00e1vel [tex]y[\/tex] se move para cima ou para baixo, podendo, at\u00e9 mesmo, se manter est\u00e1vel em um valor fixo.<\/p>\n – Humm… \n A resposta para essa pergunta \u00e9 \u201cN\u00e3o!\u201d<\/strong>. Veja a explica\u00e7\u00e3o a seguir.<\/p>\n \n \n Para obtermos uma resposta r\u00e1pida se uma curva \u00e9, ou n\u00e3o, gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o, podemos utilizar o teste da reta vertical<\/strong>.<\/p>\n Exemplo 2:<\/strong> A curva abaixo n\u00e3o representa o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o, uma vez que existem retas verticais que cortam a curva em mais de um ponto, como as mostradas na imagem.<\/p>\n \n Tendo o gr\u00e1fico [tex]G(f)[\/tex] de uma fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] qualquer, \u00e9 poss\u00edvel determinar qual o dom\u00ednio [tex]D(f)[\/tex] e qual a imagem [tex]Im(f)[\/tex] da mesma. Para isso, basta que fa\u00e7amos a proje\u00e7\u00e3o do gr\u00e1fico sobre cada um dos eixos coordenados [tex]Ox[\/tex] e [tex]Oy[\/tex]: \n \n\u00c9 importante ressaltarmos que nem todos os gr\u00e1ficos de fun\u00e7\u00f5es s\u00e3o vistos necessariamente como uma \u00fanica curva. Podem existir fun\u00e7\u00f5es cujos gr\u00e1ficos s\u00e3o compostos por duas ou mais curvas, bem como gr\u00e1ficos compostos apenas por pontos isolados, como veremos no pr\u00f3ximo exemplo. <\/p>\n [tex]\\begin {array}{|c| c| c|} Destacando no plano cartesiano os pontos encontrados, temos:<\/p>\n Voc\u00ea deve ter percebido que os pontos neste outro exemplo tamb\u00e9m est\u00e3o alinhados e talvez possa estar se perguntando se iremos tra\u00e7ar a reta para determinar o gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o, n\u00e3o \u00e9 mesmo? No entanto, neste exemplo n\u00e3o podemos tra\u00e7ar nenhuma curva. Veja que se tra\u00e7\u00e1ssemos a reta que passa por pontos afirmando ser ela o gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o [tex]g[\/tex], estar\u00edamos considerando, por exemplo, que o ponto [tex](1,5;~3,5)[\/tex] pertence ao gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o (uma vez que ele estaria sobre a reta), mas isso n\u00e3o \u00e9 verdade, pois [tex]1,5[\/tex] sequer pertence ao dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o ([tex]\\mathbb{N}[\/tex]). \n A seguir temos um exemplo de fun\u00e7\u00e3o em que o gr\u00e1fico \u00e9 composto por duas curvas. (Isso mesmo, duas curvas! Matematicamente falando, retas e semirretas s\u00e3o exemplos de curvas…) <\/p>\n \n \nVoc\u00ea deve estar se perguntando porque o gr\u00e1fico acima tem uma bolinha preenchida e uma em branco, n\u00e3o \u00e9 mesmo?<\/strong><\/p>\n Bom, como vimos um pouco acima, cada ponto do plano cartesiano tem suas coordenadas representadas como um par ordenado. Essas bolinhas trazem algumas informa\u00e7\u00f5es acerca do dom\u00ednio e imagem da fun\u00e7\u00e3o: o ponto representado pela bolinha colorida pertence ao gr\u00e1fico [tex]G(f)[\/tex], enquanto que o ponto representado pela bolinha em branco (n\u00e3o preenchida) n\u00e3o pertence ao gr\u00e1fico [tex]G(f)[\/tex] da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex]. \n Podemos obter algumas informa\u00e7\u00f5es importantes sobre o comportamento de uma fun\u00e7\u00e3o observando o seu gr\u00e1fico. Analisando gr\u00e1ficos de fun\u00e7\u00f5es<\/p>\n Observando o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o, podemos visualizar geometricamente algumas caracter\u00edsticas importantes dessa fun\u00e7\u00e3o. Vamos apresentar a seguir alguns elementos e algumas propriedades que o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o pode mostrar.<\/p>\n \n Ra\u00edzes de uma fun\u00e7\u00e3o<\/strong> <\/p>\n \n Exemplo 1:<\/strong> O n\u00famero [tex]-\\dfrac{1}{2}[\/tex] \u00e9 raiz da fun\u00e7\u00e3o [tex]f: \\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]f(x) = 2x+1[\/tex], pois [tex]f\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) = 2\\cdot \\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)+1 = 0[\/tex].<\/p>\n \n Exemplo 2:<\/strong> Os n\u00fameros [tex]-1[\/tex] e [tex]1[\/tex] s\u00e3o ra\u00edzes da fun\u00e7\u00e3o [tex]g: \\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]g(x) = x^2-1[\/tex], pois [tex]g(-1) = g(1) = 0[\/tex].<\/p>\n \n Graficamente, a raiz de uma fun\u00e7\u00e3o pode ser entendida como o n\u00famero obtido na interse\u00e7\u00e3o do gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o com o eixo das abcissas. Veremos, mais adiante, que nem todas as fun\u00e7\u00f5es possuem ra\u00edzes no conjunto dos n\u00fameros reais.<\/p>\n<\/div>\n \n Fun\u00e7\u00e3o Par e Fun\u00e7\u00e3o \u00cdmpar<\/strong> <\/p>\n \n Exemplo:<\/strong> A fun\u00e7\u00e3o [tex]f:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]f(x) = x^2[\/tex] \u00e9 par, pois [tex]f(-x)=(-x)^2 = x^2 = f(x)[\/tex], para todo [tex]x\\in\\mathbb{R}[\/tex].<\/p>\n Mas o que significa, geometricamente, uma fun\u00e7\u00e3o ser par? Se uma dada fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] \u00e9 par, ent\u00e3o, por defini\u00e7\u00e3o, para cada ponto [tex]x[\/tex] no dom\u00ednio de [tex]f[\/tex], tem-se [tex]f(-x) = f(x)[\/tex], o que implica que, sendo [tex]y = f(x)[\/tex], os pontos [tex](-x,y)[\/tex] e [tex](x,y)[\/tex] pertencem ao gr\u00e1fico de [tex]f[\/tex]. \n \n \n \n Exemplo:<\/strong> A fun\u00e7\u00e3o [tex]f:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]f(x) = x^3[\/tex] \u00e9 \u00edmpar, pois [tex]f(-x)=(-x)^3 = -x^3 =-f(x)[\/tex], para todo [tex]x\\in\\mathbb{R}[\/tex].<\/p>\n Vejamos o que significa, geometricamente, uma fun\u00e7\u00e3o ser \u00edmpar.<\/strong><\/p>\n Se uma fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] \u00e9 \u00edmpar, ent\u00e3o, para cada ponto [tex]x[\/tex] no dom\u00ednio de [tex]f[\/tex], tem-se [tex]f(-x)=-f(x)[\/tex], o que implica que, sendo [tex]y = f(x)[\/tex], os pontos [tex](-x,-y)[\/tex] e [tex](x,y)[\/tex] pertencem ao gr\u00e1fico de [tex]f[\/tex], al\u00e9m, tamb\u00e9m, de eles serem sim\u00e9tricos com rela\u00e7\u00e3o \u00e0 origem [tex]O[\/tex] do plano cartesiano, conforme visto anteriormente no terceiro caso de simetria de pontos no plano cartesiano. Como [tex]x[\/tex] \u00e9 um ponto gen\u00e9rico no dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o, conclui-se que o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o \u00edmpar no plano cartesiano \u00e9 uma curva sim\u00e9trica com rela\u00e7\u00e3o \u00e0 origem.<\/p>\n \n \n \n Observa\u00e7\u00f5es importantes:<\/strong> \n (2)<\/strong> Considere a fun\u00e7\u00e3o [tex]g:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]g(x)=0.[\/tex] \n Fun\u00e7\u00e3o Crescente e Fun\u00e7\u00e3o Decrescente<\/strong> <\/p>\n Crescimento e decrescimento s\u00e3o conceitos fundamentais no aprendizado de fun\u00e7\u00f5es matem\u00e1ticas. Quando vamos analisar o comportamento de uma fun\u00e7\u00e3o, \u00e9 importante entender, al\u00e9m de outros fatores, se a vari\u00e1vel dependente aumenta ou diminui conforme a vari\u00e1vel independente muda.<\/p>\n \n Graficamente, temos o seguinte esquema: <\/p>\n \n \n \n Graficamente, temos este esquema: \n \n Exemplo 2:<\/strong> A fun\u00e7\u00e3o [tex]g:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]g(x) = -x[\/tex] \u00e9 decrescente. \n Exemplo 3:<\/strong> Quanto \u00e0 fun\u00e7\u00e3o [tex]h:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]h(x) = sen \\;x[\/tex], veja que [tex]0, \\dfrac{\\pi}{2}, \\dfrac{3\\pi}{2}\\in D(h)[\/tex]. \n Conforme vimos no Exemplo 3<\/strong>, existem fun\u00e7\u00f5es que n\u00e3o s\u00e3o nem crescentes e nem decrescentes; no entanto, fun\u00e7\u00f5es desse tipo podem ter regi\u00f5es de crescimento e regi\u00f5es de decrescimento, conforme podemos observar na figura abaixo.<\/p>\n \n \n Perceba que: \n<\/div>\n \n Se voc\u00ea quiser trabalhar um pouquinho mais com gr\u00e1ficos de fun\u00e7\u00f5es, clique no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n \n Observando gr\u00e1ficos<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n Como j\u00e1 estabelecemos uma linguagem inicial e algumas propriedades b\u00e1sicas sobre fun\u00e7\u00f5es, vamos aprofundar um pouco a nossa discuss\u00e3o. \n Recomendamos fortemente que voc\u00eas continuem a leitura seguindo a ordem na qual essas Salas est\u00e3o anunciadas.<\/p>\n Vamos l\u00e1?<\/p>\n
\nEssa \u00e9 apenas uma situa\u00e7\u00e3o muito simples para ilustrar que, se n\u00e3o conseguirmos estabelecer uma rela\u00e7\u00e3o entre os dados de determinados problemas, podemos gastar inutilmente o nosso tempo fazendo contas desnecess\u00e1rias…
\nNo caso dessa situa\u00e7\u00e3o que colocamos, podemos observar que a medida da \u00e1rea definida pela letra A depende <\/strong> de maneira \u00fanica <\/strong> da medida do comprimento do lado do quadrado menor (e consequentemente do lado de comprimento diferente de [tex]4\\text{ cm}[\/tex] do ret\u00e2ngulo). Perceba que, se representarmos a medida do comprimento do lado do quadrado menor por [tex]x[\/tex] podemos modelar de maneira geral o problema e calcular a \u00e1rea definida pela letra A a partir desse [tex]x[\/tex]: [tex]\\boxed{28^2-x^2-4x}.[\/tex]
\nSimbolicamente:<\/strong> [tex]x \\mapsto 28^2-x^2-4x.[\/tex]
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/f017.png\")
\nMesmo em situa\u00e7\u00f5es muit\u00edssimo complexas de modelagem do mundo real essa ideia est\u00e1 presente em v\u00e1rias delas: ao analisarmos uma poss\u00edvel rela\u00e7\u00e3o entre elementos de dois conjuntos n\u00e3o vazios, [tex]C_1[\/tex] e [tex]C_2[\/tex], \u00e9 poss\u00edvel estabelecer uma rela\u00e7\u00e3o de depend\u00eancia <\/strong> entre esses elementos, de modo que para cada elemento de [tex]C_1[\/tex] corresponde um \u00fanico <\/strong>elemento de [tex]C_2.[\/tex]
\nComo um s\u00edmbolo [tex]x[\/tex] que serve para designar, por exemplo, elementos de um conjunto \u00e9 chamado de vari\u00e1vel<\/strong>, v\u00e3o nos interessar na nossa conversa as rela\u00e7\u00f5es nas quais duas vari\u00e1veis [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] s\u00e3o tais que a cada elemento [tex]x[\/tex] de [tex]C_1[\/tex] corresponde um e somente um elemento [tex]y[\/tex] de [tex]C_2[\/tex].
\n\\begin{eqnarray*}
\nC_1 &\\rightarrow & C_2\\\\
\nx&\\mapsto & y
\n\\end{eqnarray*} <\/p>\n
\nque objeto \u00e9 esse que vamos estudar?<\/p>\n
\nUsaremos a nota\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\qquad \\begin{eqnarray*}
\nf:A &\\rightarrow & B\\\\
\nx&\\mapsto & y
\n\\end{eqnarray*} [\/tex]
\npara indicar que [tex]f[\/tex] \u00e9 a fun\u00e7\u00e3o de [tex]A[\/tex] em [tex]B[\/tex] que faz corresponder a [tex]x[\/tex] o valor [tex]y[\/tex]. \u00c9 usual representar o \u00fanico elemento [tex]y[\/tex] associado a [tex]x[\/tex] por [tex]f(x)[\/tex].<\/div>\n
\nObserve que, ao definirmos fun\u00e7\u00e3o, utilizamos tr\u00eas outros “objetos” – dois conjuntos e uma regra – que ser\u00e3o mencionados com frequ\u00eancia. Assim, para n\u00e3o termos que ficar falando ou escrevendo a todo tempo que o elemento [tex]x[\/tex] est\u00e1 no “primeiro” dos conjuntos nos quais ser\u00e1 aplicada a regra, chamamos esse primeiro conjunto ([tex]A[\/tex] na defini\u00e7\u00e3o do par\u00e1grafo anterior) de dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o <\/strong> e, no caso de uma fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex], o denotamos de forma gen\u00e9rica por [tex]D(f)[\/tex]. Assim, bastar\u00e1 escrever [tex]x\\in D(f)[\/tex] para dizer que “o elemento [tex]x[\/tex] pertence ao dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex]”. O segundo conjunto com os valores aos quais os elementos do dom\u00ednio s\u00e3o associados ([tex]B[\/tex] na defini\u00e7\u00e3o acima) \u00e9 chamado contradom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o<\/strong> e no caso de uma fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex], \u00e0s vezes, \u00e9 representado por [tex]CD(f)[\/tex]. O valor [tex]y=f(x)[\/tex] \u00e9 chamado de imagem de [tex]x[\/tex] por [tex]f[\/tex]<\/strong>, mas tamb\u00e9m dizemos que [tex]y=f(x)[\/tex] \u00e9 o valor de [tex]f[\/tex] em [tex]x[\/tex].
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/f017.png\")
\nDizemos, ainda, que [tex]x[\/tex] \u00e9 a vari\u00e1vel independente<\/strong> (ou livre), porque ela \u00e9 livre para assumir qualquer valor em [tex]D(f)[\/tex], e [tex]y[\/tex] \u00e9 a vari\u00e1vel dependente<\/strong>, porque seu valor depende da escolha de [tex]x[\/tex]. Embora seja comum representar a vari\u00e1vel de dom\u00ednio pela letra [tex]x[\/tex] e a da imagem por [tex]y[\/tex], isso n\u00e3o \u00e9 uma regra r\u00edgida. Deve-se entender pelo contexto qual \u00e9 a vari\u00e1vel independente e qual \u00e9 a dependente.<\/p>\n
\nAssim, para as fun\u00e7\u00f5es que ser\u00e3o tratadas adiante, consideraremos [tex]D(f)\\subset\\mathbb{R}[\/tex], [tex] CD(f)\\subset\\mathbb{R}[\/tex] e vamos estabelecer algumas conven\u00e7\u00f5es:
\n►<\/span> Quando o dom\u00ednio n\u00e3o for especificado, consideraremos como dom\u00ednio o conjunto de todos os valores cuja regra (que pode ser uma f\u00f3rmula) faz sentido, ou seja, cujo resultado de sua aplica\u00e7\u00e3o \u00e9 um n\u00famero real.
\n►<\/span> Caso n\u00e3o seja mencionado, consideraremos [tex]CD(f)=\\mathbb{R}[\/tex].<\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/fun\u00e7\u00e3o-em-diagrama.png\")
\nNa figura acima temos a representa\u00e7\u00e3o de uma fun\u00e7\u00e3o [tex]f:A\\rightarrow B[\/tex] cuja regra que permite associar a cada elemento [tex]x \\in A[\/tex] um \u00fanico elemento [tex]y\\in B[\/tex] pode ser definida por [tex]f(x)=x+1[\/tex]. Observe, que neste caso:
\n●<\/span> o dom\u00ednio de [tex]f[\/tex] \u00e9 [tex]A=\\{-1, 0, 1\\};[\/tex]
\n●<\/span> o contradom\u00ednio de [tex]f[\/tex] \u00e9 [tex]B=\\{-1, 0, 1, 2\\}.[\/tex]
\nPerceba que nem todos os elementos de [tex]B[\/tex] s\u00e3o imagens de elementos de [tex]A[\/tex]: n\u00e3o existe um elemento [tex]a[\/tex] em [tex]A[\/tex] tal que [tex]f(a)=-1.[\/tex]
\nEssa observa\u00e7\u00e3o ilustra outro objeto matem\u00e1tico ligado ao conceito de fun\u00e7\u00e3o: o conjunto imagem de uma fun\u00e7\u00e3o, ou seja, o conjunto de todos os elementos do contradom\u00ednio que s\u00e3o imagens de elementos do dom\u00ednio.<\/p>\n
\n[tex]\\qquad Im(f)=\\{y\\in B ~|~ y=f(x) \\text{ para algum } x\\in A\\}.[\/tex]<\/div>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/f022.png\")
<\/p>\n
\n Vejamos dois exemplos.<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\begin{eqnarray*}
\np:~\\mathbb{N} &\\rightarrow & \\mathbb{N}\\\\
\nn&\\mapsto & p(n)
\n\\end{eqnarray*}[\/tex],
\nsendo [tex]p(n)[\/tex] a quantidade de primos de [tex]1[\/tex] a [tex]n[\/tex].\n<\/p><\/div>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/\u00c1rea-e-produ\u00e7\u00e3o-cultura-de-soja.png\")
<\/p>\n
\n●<\/span> uma fun\u00e7\u00e3o [tex]a[\/tex] de [tex]A[\/tex] em [tex]B[\/tex], que a cada [tex]t\\in A[\/tex], associa um \u00fanico [tex]a(t)\\in B[\/tex];
\n●<\/span> uma fun\u00e7\u00e3o [tex]p[\/tex] de [tex]A[\/tex] em [tex]C[\/tex], que a cada [tex]t\\in A[\/tex], associa um \u00fanico [tex]p(t)\\in C[\/tex].\n<\/div>\n
\nO gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 o retrato dessa fun\u00e7\u00e3o, \u00e9 uma forma de representar geometricamente o seu comportamento. <\/p>\n
\n
\n
\n
\nAssim, antes de falarmos de gr\u00e1ficos de fun\u00e7\u00f5es, vejamos o que \u00e9 um plano cartesiano e outros conceitos.<\/p>\n
\n●<\/span> no par ordenado [tex](1,2~; ~3),[\/tex] o primeiro elemento \u00e9 [tex]1,2[\/tex] e o segundo elemento \u00e9 [tex]3[\/tex];
\n●<\/span> no par ordenado [tex](7~; ~2,3),[\/tex] o primeiro elemento \u00e9 [tex]7[\/tex] e o segundo elemento \u00e9 [tex]2,3[\/tex];
\n●<\/span> no par ordenado [tex](2,5~;~ 6,7),[\/tex] o primeiro elemento \u00e9 [tex]2,5[\/tex] e o segundo elemento \u00e9 [tex]6,7[\/tex].<\/div>\n
\nChamamos de Plano Cartesiano<\/span><\/strong>, e representamos por [tex]xOy[\/tex], o plano determinado por esses dois eixos. O eixo horizontal [tex]Ox[\/tex] \u00e9 chamado de eixo das abscissas<\/strong>; o eixo vertical [tex]Oy[\/tex] \u00e9 chamado de eixo das ordenadas<\/strong> e o ponto [tex]O[\/tex] \u00e9 chamado de origem do plano cartesiano<\/b>.<\/div>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/plano-cartesiano.png\")
<\/p>\n
\n Vejamos como!<\/strong><\/span><\/p>\n
\n➤<\/span> Dado um ponto [tex]P[\/tex] no plano cartesiano [tex]xOy[\/tex], a ele podemos atribuir um \u00fanico par ordenado [tex](x_{_P},y_{_P})[\/tex], cujo primeiro n\u00famero [tex]x_{_P}[\/tex] \u00e9 a localiza\u00e7\u00e3o com respeito ao eixo das abscissas e o segundo n\u00famero [tex]y_{_P}[\/tex] \u00e9 a localiza\u00e7\u00e3o com respeito ao eixo das ordenadas.
\n➤<\/span> Reciprocamente, para cada par ordenado [tex](a,b)[\/tex] podemos associar um \u00fanico ponto [tex]Q[\/tex] no plano.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/correspondencia-pontos-ordenados.png\")
<\/p>\n
\nAssim como a reta real \u00e9 o modelo geom\u00e9trico para o conjunto dos n\u00fameros reais, o plano cartesiano \u00e9 o modelo geom\u00e9trico para o conjunto [tex]\\mathbb{R}^2[\/tex] de todos os pares ordenados de n\u00fameros reais.
\nO plano cartesiano pode ser dividido em quatro regi\u00f5es, chamadas de quadrantes<\/strong>, conforme ilustra a figura a seguir.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Quadrantes.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/simetricos2.png\")
\n➤<\/span> os pontos [tex](a,b)[\/tex] e [tex](-a,b)[\/tex] s\u00e3o sim\u00e9tricos em rela\u00e7\u00e3o ao eixo [tex]y[\/tex];<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/simetricos1.png\")
\n➤<\/span> os pontos [tex](a,b)[\/tex] e [tex](-a,-b)[\/tex] s\u00e3o sim\u00e9tricos em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 origem;<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/simetricos3.png\")
\n➤<\/span> os pontos [tex](a,b)[\/tex] e [tex](b,a)[\/tex] s\u00e3o sim\u00e9tricos em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 bissetriz dos quadrantes 1 e 3.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/simetricos4.png\")
\n<\/div>\n
\nDefinimos o gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex]<\/span> <\/strong> como sendo o conjunto [tex]G(f)=\\{(x,f(x))~|~ x\\in A\\}[\/tex], ou seja, o conjunto de todos os pares ordenados [tex](x,y)[\/tex] tais que [tex]x\\in A[\/tex] e [tex]y = f(x)[\/tex].
\nParticularmente o que, de fato, interessa no estudo de uma fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] n\u00e3o \u00e9 propriamente o conjunto [tex]G(f)[\/tex], mas sim a representa\u00e7\u00e3o dos pares ordenados [tex](x,f(x))[\/tex] em um plano cartesiano<\/strong>.<\/div>\n
\nPela defini\u00e7\u00e3o apresentada acima, [tex]G(f) = \\{(x,f(x))~|~ x\\in \\mathbb{R}\\} = \\{(x,x+1)~|~ x\\in \\mathbb{R}\\}[\/tex].
\nVamos construir uma tabela a fim de determinarmos alguns dos pontos desse gr\u00e1fico.<\/p>\n
\n\\hline
\nx & f(x)=x+1 & (x,f(x)) \\\\
\n\\hline
\n-2,5 & -2,5+1 = -1,5 & (-2,5; -1,5) \\\\
\n\\hline
\n-2 & -2+1 = -1 & (-2;~ -1) \\\\
\n\\hline
\n-1,5 & -1,5+1 = -0,5 & (-1,5; -0,5) \\\\
\n\\hline
\n-1 & -1+1 = 0 & (-1;~ 0) \\\\
\n\\hline
\n-0,5 & -0,5+1 = 0,5 & (-0,5; 0,5) \\\\
\n\\hline
\n0 & 0+1 = 1 & (0;~ 1) \\\\
\n\\hline
\n0,5 & 0,5+1 = 1,5 & (0,5; 1,5) \\\\
\n\\hline
\n1 & 1+1 = 2 & (1;~ 2) \\\\
\n\\hline
\n1,5 & 1,5+1 = 2,5 & (1,5; 2,5) \\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/exemplo-1-de-gr\u00e1fico.png\")
<\/p>\n
\nMais \u00e0 frente vamos estudar alguns tipos de fun\u00e7\u00f5es que t\u00eam como gr\u00e1fico uma reta.
\nAssim, tra\u00e7ando a reta que passa pelos pontos encontrados, temos o gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex]:<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/exemplo-1-de-gr\u00e1fico1.png\")
<\/p>\n
\nExemplo 2:<\/strong> Consideremos a \u00e1rea [tex]A(l)[\/tex] de um quadrado em fun\u00e7\u00e3o da medida [tex]l[\/tex] de seu lado, ou seja, [tex]A(l) = l^2[\/tex]. Restringindo a medida do lado desse quadrado no intervalo [tex]\\left[\\dfrac{1}{2}\\, ,\\, 2\\right][\/tex], como a \u00e1rea \u00e9 um n\u00famero real, ent\u00e3o podemos representar a \u00e1rea pela fun\u00e7\u00e3o [tex]A:\\left[\\dfrac{1}{2}\\, ,\\, 2\\right]\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] tal que [tex]A(l) = l^2[\/tex]. Assim, o gr\u00e1fico de [tex]A[\/tex] \u00e9 o conjunto
\n[tex]\\qquad G(A) = \\left\\{(l,l^2)~|~ l\\in \\left[\\dfrac{1}{2}\\, ,\\, 2\\right]\\right\\}[\/tex].
\nTamb\u00e9m mais adiante, veremos como representar o conjunto de pontos [tex]\\left(l,l^2\\right)[\/tex] em um plano cartesiano. Por enquanto apenas apresentaremos a curva!<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/\u00e1rea-do-quadrado.png\")
<\/p>\n<\/div>\n
\nEnt\u00e3o qualquer trajet\u00f3ria de um ponto m\u00f3vel no plano cartesiano \u00e9 gr\u00e1fico de alguma fun\u00e7\u00e3o?<\/em><\/strong><\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/04\/carinha19.jpg\")
<\/p>\n
\nSuponha que os pontos de coordenadas [tex](a,b)[\/tex] e [tex](a,c),[\/tex] com [tex]b\\neq c,[\/tex] perten\u00e7am ao gr\u00e1fico de uma determinada fun\u00e7\u00e3o [tex]g[\/tex]. Isso implicaria, pela defini\u00e7\u00e3o de gr\u00e1fico vista acima, que:
\n●<\/span> [tex]a\\in D(g)[\/tex] e [tex]b = g(a),[\/tex]
\n●<\/span> [tex]a\\in D(g)[\/tex] e [tex]c = g(a);[\/tex]
\nmas isso feriria gravemente o conceito de fun\u00e7\u00e3o, uma vez que a suposta fun\u00e7\u00e3o [tex]g[\/tex] estaria fazendo corresponder dois valores diferentes ([tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex]) para uma mesma vari\u00e1vel dependente [tex]a[\/tex].<\/div>\n
\nExemplo 1:<\/strong> A curva abaixo representa o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o, pois qualquer reta perpendicular ao eixo [tex]x[\/tex] intersecta a curva num \u00fanico ponto, como podemos observar particularmente nas retas que aparecem na figura.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/teste-da-reta-vertical.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/teste-da-reta-vertical-2.png\")
<\/p>\n<\/div>\n
\n►<\/span> o dom\u00ednio [tex]D(f)[\/tex] \u00e9 a proje\u00e7\u00e3o de [tex]G(f)[\/tex] sobre o eixo das abscissas;
\n►<\/span> a imagem [tex]Im(f)[\/tex] \u00e9 a proje\u00e7\u00e3o de [tex]G(f)[\/tex] sobre o eixo das ordenadas;
\nconforme ilustra a figura a seguir.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/dominio-e-imagem.png\")
<\/p>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o:<\/strong> Como fizemos no \u00faltimo exemplo, vamos atribuir valores para [tex]x[\/tex] a fim de obtermos alguns pontos do gr\u00e1fico. \u00c9 importante observarmos que, como o dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o [tex]g[\/tex] \u00e9 o conjunto [tex]\\mathbb{N}[\/tex], ent\u00e3o s\u00f3 podemos atribuir a [tex]x[\/tex] n\u00fameros naturais. Veja a tabela: <\/p>\n
\n\\hline
\nx & g(x)=-x+5 & (x,g(x)) \\\\
\n\\hline
\n0 & -0+5 = 5 & (0,~ 5) \\\\
\n\\hline
\n1 & -1+5 = 4 & (1,~ 4) \\\\
\n\\hline
\n2 & -2+5 = 3 & (2,~ 3) \\\\
\n\\hline
\n3 & -3+5 = 2 & (3,~ 2) \\\\
\n\\hline
\n4 & -4+5 = 1 & (4,~ 1) \\\\
\n\\hline
\n5 & -5+5 = 0 & (5,~ 0) \\\\
\n\\hline
\n6 & -6+5 = -1 & (6,~ -1) \\\\
\n\\hline
\n7 & -7+5 = -2 & (7,~ -2) \\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/exemplo-2-de-gr\u00e1fico.png\")
<\/p>\n
\nAssim, o gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o [tex]g[\/tex] \u00e9, realmente, apenas o conjunto dos pontos isolados [tex](x, -x+5)[\/tex], tal que [tex]x\\in \\mathbb{N}[\/tex], conforme o gr\u00e1fico acima.
\nObviamente, tal gr\u00e1fico \u00e9 um conjunto infinito de pontos, mas como \u00e9 imposs\u00edvel representar todos na imagem, consideramos apenas a representa\u00e7\u00e3o de alguns. Note que, embora o ponto de coordenadas [tex](8,-3)[\/tex] n\u00e3o esteja destacado, ele pertence ao gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o, mas [tex](-1,6)[\/tex] n\u00e3o pertence ao gr\u00e1fico, pois [tex]-1\\notin \\mathbb{N}[\/tex]. <\/p><\/div>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/lei-de-forma\u00e7ao-com-mais-de-uma-express\u00e3o.png\")
<\/p>\n
\nAssim, a fun\u00e7\u00e3o cujo gr\u00e1fico est\u00e1 representado acima \u00e9 [tex]f:\\mathbb{R}\\rightarrow \\{-1,1\\}[\/tex] dada por
\n[tex]\\qquad f(x) = \\begin{cases}1, \\text{ se } x\\lt 1\\\\
\n-1, \\text{ se } x\\geq 1\\end{cases}.[\/tex]
\nObserva\u00e7\u00e3o:<\/strong> A fun\u00e7\u00e3o acima definida \u00e9 um exemplo de fun\u00e7\u00e3o em que a lei de forma\u00e7\u00e3o \u00e9 definida por duas ou mais regras. <\/p>\n
\nNo pr\u00f3ximo t\u00f3pico veremos como!<\/p>\n
\n
\n
\n
\nChamamos de raiz da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] (ou zero da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex])<\/span> <\/strong> a todo elemento [tex]a\\in A, [\/tex] tal que [tex]f(a) = 0.[\/tex]\n<\/div>\n
\nAssim, por exemplo, considerando a fun\u00e7\u00e3o do primeiro exemplo visto na se\u00e7\u00e3o de gr\u00e1ficos ([tex]f:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] definida por [tex]f(x) = x+1[\/tex]), como o ponto de interse\u00e7\u00e3o do gr\u00e1fico com o eixo das abcissas \u00e9 o ponto de coordenadas [tex](-1,0)[\/tex], podemos afirmar que [tex]-1[\/tex] \u00e9 a raiz da fun\u00e7\u00e3o. De fato,
\n[tex]\\qquad f(x) = 0\\iff x+1=0 \\iff \\boxed{x = -1}.[\/tex]<\/p>\n
\nVejamos.<\/strong><\/p>\n
\nMas, conforme visto anteriormente no segundo caso de simetria de pontos no plano cartesiano, os pontos [tex](-x,y)[\/tex] e [tex](x,y)[\/tex] s\u00e3o sim\u00e9tricos com rela\u00e7\u00e3o ao eixo [tex]y[\/tex]. Dessa forma, como [tex]x[\/tex] \u00e9 um ponto gen\u00e9rico do dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o, conclui-se que o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o par no plano cartesiano \u00e9 uma curva sim\u00e9trica com rela\u00e7\u00e3o ao eixo [tex]y[\/tex]. <\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/f025.png\")
<\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/f042.png\")
\n<\/div>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/f026.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/f043.png\")
<\/div>\n
\n(1)<\/strong> Considere a fun\u00e7\u00e3o [tex]h:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]h(x) = x^2+x.[\/tex]
\nObserve que [tex]h(1) = 1[\/tex] e [tex]h(-1)=0[\/tex]. Dessa forma temos que:
\n [tex]\\qquad h(-1)\\ne h(1)[\/tex], logo [tex]h[\/tex] n\u00e3o \u00e9 par.
\n [tex]\\qquad h(-1)\\ne- h(1)[\/tex], logo [tex]h[\/tex] n\u00e3o \u00e9 \u00edmpar.
\nPortanto, existem fun\u00e7\u00f5es que n\u00e3o s\u00e3o pares e nem \u00edmpares.<\/strong><\/span><\/p>\n
\nAgora, observe que para qualquer n\u00famero real [tex]x[\/tex], temos que [tex]g(x)=0[\/tex] e [tex]g(-x)=0[\/tex]. Assim:
\n [tex]\\qquad g(x)=g(-x)[\/tex] e, portanto, [tex]g[\/tex] \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o par.
\n [tex]\\qquad g(x)=0=-0=-g(-x)[\/tex] e, portanto, [tex]g[\/tex] \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o \u00edmpar.
\nPortanto, existem fun\u00e7\u00f5es que s\u00e3o pares e \u00edmpares ao mesmo tempo.<\/strong><\/span>
\nNa verdade, a lei de forma\u00e7\u00e3o [tex]g(x)=0[\/tex] \u00e9 a \u00fanica que permite definir fun\u00e7\u00f5es simultaneamente pares e \u00edmpares.\n<\/p>\n<\/div>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/f028.png\")
<\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/f028-1.png\")
<\/p>\n
\nDe fato, dados [tex]x_1, x_2\\in \\mathbb{R}[\/tex], com [tex]\\boxed{x_1\\lt x_2}[\/tex], temos que:
\n[tex]\\qquad f(x_1) = x_1^3 \\lt x_2^3 = f(x_2).[\/tex]
\nAssim, [tex]\\boxed{f(x_1) \\lt f(x_2)}[\/tex] e [tex]f[\/tex] \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o crescente. <\/p>\n
\nObserve que se [tex]x_1, x_2\\in \\mathbb{R}[\/tex] com [tex]\\boxed{x_1\\lt x_2}[\/tex], ent\u00e3o
\n[tex]\\qquad g(x_1) = -x_1 \\gt -x_2 = g(x_2).[\/tex]
\nCom isso, [tex] \\boxed{g(x_1) \\gt g(x_2)}[\/tex] e, portanto, [tex]g[\/tex] \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o decrescente .<\/p>\n
\nTemos que:
\n[tex]\\qquad \\boxed{0\\lt \\dfrac{\\pi}{2}}[\/tex] e [tex]h(0) = sen \\;0 = 0\\lt 1 = sen \\;\\dfrac{\\pi}{2} = h\\left(\\dfrac{\\pi}{2}\\right)[\/tex],
\nlogo [tex] \\boxed{h(0)\\lt h\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)}[\/tex].
\nPor outro lado, temos
\n[tex]\\qquad \\boxed{0\\lt \\dfrac{3\\pi}{2}}[\/tex] e [tex]h(0) = sen \\;0 = 0\\gt -1 = sen \\;\\dfrac{3\\pi}{2} = h\\left(\\dfrac{3\\pi}{2}\\right)[\/tex],
\nlogo [tex]\\boxed{h(0)\\gt h\\left(\\frac{3\\pi}{2}\\right)}[\/tex].
\nDessa forma, em alguns pontos, [tex]h[\/tex] satisfaz a condi\u00e7\u00e3o de ser crescente; mas, em outros, satisfaz a condi\u00e7\u00e3o de ser decrescente. Logo [tex]h[\/tex] n\u00e3o \u00e9 crescente, nem decrescente.\n<\/div>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/func010.png\")
<\/p>\n
\n►<\/span> [tex]f[\/tex] \u00e9 crescente para valores de [tex]x[\/tex] de [tex]x_2[\/tex] a [tex]x_3[\/tex] e de [tex]x_4[\/tex] a [tex]x_5;[\/tex]
\n►<\/span> [tex]f[\/tex] \u00e9 decrescente para valores de [tex]x[\/tex] de [tex]x_1[\/tex] a [tex]x_2[\/tex] e de [tex]x_3[\/tex] a [tex]x_4.[\/tex]<\/p>\n
\n
\n
\n
\nPara isso, vamos apresentar tr\u00eas novas Salas: duas com assuntos espec\u00edficos e uma terceira com problemas e v\u00eddeos.<\/p>\n
\n➤<\/span> Sala 2: <\/strong>Alguns tipos de fun\u00e7\u00f5es.
\n➤<\/span> Sala 3: <\/strong> Problemas.<\/p>\n