{"id":205121,"date":"2023-12-08T00:28:27","date_gmt":"2023-12-08T03:28:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=205121"},"modified":"2023-12-08T03:58:53","modified_gmt":"2023-12-08T06:58:53","slug":"problema-pitagoras-o-musico","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-pitagoras-o-musico\/","title":{"rendered":".Problema: Pit\u00e1goras, o m\u00fasico"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

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Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nConta uma lenda que Pit\u00e1goras (569 a.C. \u2013 480 a.C., aproximadamente) despertou sua curiosidade em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 m\u00fasica quando, ao passar em frente \u00e0 oficina de um ferreiro, ouviu o som de cinco martelos batendo em uma bigorna e percebeu que os martelos soavam harmonicamente, exceto um. Curioso, ele tentou estabelecer uma rela\u00e7\u00e3o entre os martelos que eram harm\u00f4nicos e, para pesquisar os sons correspondentes \u00e0s rela\u00e7\u00f5es que observou, Pit\u00e1goras construiu um monoc\u00f3rdio: uma caixa de resson\u00e2ncia sobre a qual era estendida uma \u00fanica corda presa a dois cavaletes.<\/p>\n

\n\"\"Imagem adaptada de Laborat\u00f3rio de Luthieria<\/a>. (Acesso em 07\/12\/23)<\/p>\n

A partir de divis\u00f5es feitas na corda, ele observou que o som produzido pressionando metade da corda era o mesmo, por\u00e9m mais agudo, que o som produzido pela corda inteira: ou seja, pressionando a corda na metade, se produzia o som no que chamamos de “uma oitava acima”.<\/p>\n

Hoje, sabemos que o som \u00e9 uma onda, e cada nota \u00e9 dada por uma onda que oscila com certa frequ\u00eancia. O hertz (s\u00edmbolo Hz) \u00e9 a unidade do Sistema Internacional (SI) para medida de frequ\u00eancias e expressa, em termos de ciclos por segundo, a frequ\u00eancia de um evento peri\u00f3dico. Assim, se uma onda sonora completar 100 oscila\u00e7\u00f5es em 1 segundo, por exemplo, sua frequ\u00eancia ser\u00e1 de 100 Hz.
\nEnt\u00e3o, a experi\u00eancia de Pit\u00e1goras significa que, quando uma frequ\u00eancia \u00e9 multiplicada por 2, a nota permanece a mesma. Por exemplo, a frequ\u00eancia da nota L\u00e1 (440 Hz) multiplicada por 2 \u00e9 tamb\u00e9m uma nota L\u00e1 (880 Hz), s\u00f3 que uma oitava acima (um L\u00e1 mais agudo).<\/p>\n

\n

Na m\u00fasica ocidental, em uma oitava (por exemplo, entre duas notas D\u00f3 consecutivas), h\u00e1 12 intervalos chamados de semitons. <\/p>\n

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\"\"<\/p>\n

\n

As frequ\u00eancias de duas notas consecutivas (isto \u00e9, cuja dist\u00e2ncia \u00e9 de 1 semitom) se relacionam da seguinte forma: a frequ\u00eancia da segunda \u00e9 a frequ\u00eancia da primeira multiplicada por uma constante [tex]c[\/tex].
\nQual o valor de [tex]c[\/tex]?<\/strong>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nSuponha que uma nota, por exemplo, um D\u00f3, tenha frequ\u00eancia [tex]x[\/tex]; a frequ\u00eancia da pr\u00f3xima nota (da esquerda para a direita) ser\u00e1 ent\u00e3o [tex]xc[\/tex], a pr\u00f3xima nota ter\u00e1 frequ\u00eancia [tex]xc^2[\/tex], a pr\u00f3xima, [tex]xc^3[\/tex] e assim por diante, at\u00e9 a frequ\u00eancia [tex]xc^{12}[\/tex], que ocupa a 13\u00aa tecla.
\nComo h\u00e1 12 intervalos de semitons entre essas notas, a 13\u00aa nota tamb\u00e9m ser\u00e1 D\u00f3: uma oitava acima da nota D\u00f3 anterior (mais grave). Dessa forma, como a frequ\u00eancia \u00e9 dobrada em uma oitava, a 13\u00aa nota ter\u00e1 frequ\u00eancia igual a [tex]2x[\/tex]. Temos ent\u00e3o que:
\n[tex]\\qquad xc^{12} = 2x\\\\
\n\\qquad c^{12} = \\dfrac{2x}{x}\\\\
\n\\qquad c^{12} =2\\\\
\n\\qquad c = \\sqrt[12]{2}\\\\
\n\\qquad \\boxed{c\\approx 1,059}.[\/tex]<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Uni\u00e3o Fibonacci<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n🎶Para aprender mais, visite a Sala As fra\u00e7\u00f5es da m\u00fasica<\/strong><\/a>.🎶\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: FIBONACCI <\/strong> ; Geomestres Slay <\/strong> ; Obm\u00e9picos<\/strong>; Os \u00daltimos Alunos de Fermat <\/strong> ; SUPER G\u00caNIOS 3\u00baCPM<\/strong> ; Uni\u00e3o Fibonacci <\/strong>.<\/div>\n

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✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Conta uma lenda que Pit\u00e1goras (569 a.C. \u2013 480 a.C., aproximadamente) despertou sua curiosidade em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 m\u00fasica quando, ao passar em frente \u00e0 oficina de um ferreiro, ouviu o som de cinco martelos batendo em uma … <\/p>\n

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