{"id":20406,"date":"2014-06-28T12:54:27","date_gmt":"2014-06-28T15:54:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=20406"},"modified":"2025-06-23T23:11:05","modified_gmt":"2025-06-24T02:11:05","slug":"problemao-a-lei-dos-cossenos-vale-para-os-senos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-a-lei-dos-cossenos-vale-para-os-senos\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: A lei dos cossenos vale para os senos"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nSeja [tex]ABC[\/tex] um tri\u00e2ngulo qualquer. Indicaremos por [tex]\\hat{A}[\/tex], [tex]\\hat{B}[\/tex] e [tex]\\hat{C}[\/tex] os seus \u00e2ngulos internos e por [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] as medidas dos lados [tex]\\overline{BC}[\/tex], [tex]\\overline{AC}[\/tex] e [tex]\\overline{AB}[\/tex], respectivamente. \"\"
\nA lei dos cossenos nos diz que \u00e9 v\u00e1lida a rela\u00e7\u00e3o [tex]a^2 = b^2 + c^2-2bc \\cdot cos \\hat{A}[\/tex]. Prove que tamb\u00e9m \u00e9 v\u00e1lida a seguinte rela\u00e7\u00e3o:
\n[tex]\\qquad\\qquad\\boxed{sen^2 \\hat{A} = sen^2 \\hat{B} + sen^2 \\hat{C}-2 \\cdot sen\\hat{B} \\cdot sen\\hat{C} \\cdot cos\\hat{A}}[\/tex].<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nDa lei dos senos, temos [tex]\\dfrac{a}{sen\\hat{A}} = \\dfrac{b}{sen\\hat{B}} = \\dfrac{c}{sen\\hat{C}} = 2R[\/tex], onde [tex]R[\/tex] \u00e9 o raio da circunfer\u00eancia circunscrita ao tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex].
\n\"\"
\nAssim, [tex]\\boxed{a = 2R \\cdot sen\\hat{A}}[\/tex], [tex]\\boxed{b = 2R \\cdot sen\\hat{B}}[\/tex] e [tex]\\boxed{c = 2R \\cdot sen\\hat{C}}\\,.[\/tex]
\nSubstituindo esses resultados em [tex]a^2 = b^2 + c^2-2bc \\cdot cos \\hat{A}[\/tex], segue que:
\n[tex]~~ (2R \\cdot sen\\hat{A})^2 = (2R \\cdot sen\\hat{B})^2 + (2R \\cdot sen\\hat{C})^2-2 \\cdot 2R \\cdot sen\\hat{B} \\cdot 2R \\cdot sen\\hat{C} \\cdot cos \\hat{A}\\\\
\n~~ 4R^2 \\cdot sen^2\\hat{A} = 4R^2 \\cdot sen^2\\hat{B} + 4R^2 \\cdot sen^2\\hat{C}-2 \\cdot 4R^2 \\cdot sen\\hat{B} \\cdot sen\\hat{C} \\cdot cos \\hat{A}\\\\
\n~~4R^2\\cdot sen^2\\hat{A} = 4R^2 \\cdot (sen^2\\hat{B} + sen^2\\hat{C}-2 \\cdot sen\\hat{B} \\cdot sen\\hat{C} \\cdot cos \\hat{A}).[\/tex]
\nObserve que [tex]R[\/tex] \u00e9 o raio de uma circunfer\u00eancia e, portanto, [tex]R\\ne 0[\/tex]. Ent\u00e3o, segue da \u00faltima igualdade que:
\n[tex] ~~\\cancel{4R^2} \\cdot sen^2\\hat{A} = \\cancel{4R^2} \\cdot (sen^2\\hat{B} + sen^2\\hat{C}-2 \\cdot sen\\hat{B} \\cdot sen\\hat{C} \\cdot cos \\hat{A})\\\\
\n\\qquad\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$sen^2\\hat{A} = sen^2\\hat{B} + sen^2\\hat{C}-2 \\cdot sen\\hat{B} \\cdot sen\\hat{C} \\cdot cos \\hat{A}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong> .<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Seja [tex]ABC[\/tex] um tri\u00e2ngulo qualquer. Indicaremos por [tex]\\hat{A}[\/tex], [tex]\\hat{B}[\/tex] e [tex]\\hat{C}[\/tex] os seus \u00e2ngulos internos e por [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] as medidas dos lados [tex]\\overline{BC}[\/tex], [tex]\\overline{AC}[\/tex] e [tex]\\overline{AB}[\/tex], respectivamente. A lei dos cossenos nos diz que \u00e9 v\u00e1lida a rela\u00e7\u00e3o [tex]a^2 = b^2 + … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":179,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-20406","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/20406","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/179"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=20406"}],"version-history":[{"count":24,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/20406\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":226017,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/20406\/revisions\/226017"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=20406"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}