{"id":203496,"date":"2023-10-28T04:38:05","date_gmt":"2023-10-28T07:38:05","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=203496"},"modified":"2023-10-28T06:19:04","modified_gmt":"2023-10-28T09:19:04","slug":"problema-de-gincana-uma-soma-complicada","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-gincana-uma-soma-complicada\/","title":{"rendered":".Problema de Gincana: Uma soma complicada"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=204331\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#778899;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Problema<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nNa figura abaixo vemos um  tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero [tex]ABC[\/tex] cuja  circunfer\u00eancia a ele inscrita \u00e9 tangenciada pela reta que passa pelos pontos [tex]M[\/tex] e [tex]N[\/tex], pontos estes pertencentes a lados do tri\u00e2ngulo.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/n025.jpg\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"350\" height=\"348\" class=\"aligncenter size-full wp-image-199366\" \/><br \/>\nDetermine o valor de [tex]\\boxed{\\dfrac{CM}{MA}+\\dfrac{CN}{NB}}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:25px; width:77%; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Nota\u00e7\u00f5es e Lembretes<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<span style=\"font-size: 20px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span>Denotaremos o segmento de reta definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e seu respectivo comprimento por [tex]XY[\/tex].<br \/>\n<span style=\"color:#800000\"><strong> (I) <\/strong> <\/span>(<strong>Rela\u00e7\u00e3o dos segmentos tangentes)<\/strong> Se de um ponto [tex]T[\/tex] conduzirmos os segmentos [tex]\\overline{TT_1}[\/tex] e  [tex]\\overline{TT_2}[\/tex] tangentes a uma circunfer\u00eancia, sendo [tex]T_1[\/tex] e [tex]T_2[\/tex] pontos da circunfer\u00eancia, ent\u00e3o [tex]\\overline{TT_1}[\/tex] e  [tex]\\overline{TT_2}[\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/f103.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"400\" height=\"289\" class=\"aligncenter size-full wp-image-179613\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/f103.png 592w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/f103-300x216.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><br \/>\n<span class=\"c3\"> <strong>(II)<\/strong> <\/span> <strong>(Lei dos Cossenos)<\/strong> Em um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] qualquer, para lados opostos aos \u00e2ngulos internos [tex]{\\displaystyle {\\widehat {A}},{\\widehat {B}}}[\/tex] e [tex]{\\displaystyle {\\widehat {C}},} [\/tex] com medidas respectivamente [tex]{\\displaystyle a,b}[\/tex] e [tex]{\\displaystyle c,}[\/tex] valem as rela\u00e7\u00f5es:<br \/>\n[tex]\\qquad {\\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\\cdot b\\cdot c\\cdot cos{\\widehat {A}}\\,\\!}[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad  {\\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\\cdot a\\cdot c\\cdot cos{\\widehat {B}}\\,\\!}[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad  {\\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\\cdot a\\cdot b\\cdot cos{\\widehat {C}}\\,\\!}[\/tex].\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nVamos observar, inicialmente, apenas o tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero [tex]ABC[\/tex] e a circunfer\u00eancia a ele inscrita.<br \/>\nAplicando o <span style=\"color:#800000\"><strong>Lembrete I<\/strong> <\/span> sucessivamente <\/p>\n<ul>\n<li> ao v\u00e9rtice [tex]A[\/tex] e aos pontos de tang\u00eancia [tex]T_1[\/tex] e [tex]T_2[\/tex]; <\/li>\n<li> ao v\u00e9rtice [tex]B[\/tex] e aos pontos de tang\u00eancia [tex]T_2[\/tex] e [tex]T_3[\/tex]; <\/li>\n<li> ao v\u00e9rtice [tex]C[\/tex] e aos pontos de tang\u00eancia [tex]T_1[\/tex] e [tex]T_3[\/tex]; <\/li>\n<\/ul>\n<p>conclu\u00edmos que [tex]AT_1=AT_2[\/tex], [tex]BT_2=BT_3[\/tex] e  [tex]CT_1=CT_3[\/tex]. Indicaremos esses comprimentos por [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex], respectivamente, de acordo com a figura a seguir.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/gincana16.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"350\" height=\"388\" class=\"aligncenter size-full wp-image-203434\" \/><br \/>\nComo o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero, segue que [tex]a+b=b+c=a+c[\/tex] e, portanto, [tex]a=b=c.[\/tex] Podemos ent\u00e3o simplificar a imagem do  tri\u00e2ngulo [tex]ABC.[\/tex]<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/gincana17.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"350\" height=\"374\" class=\"aligncenter size-full wp-image-203437\" \/><br \/>\nVamos observar agora o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], a circunfer\u00eancia a ele inscrita, a reta tangente que passa pelos pontos [tex]M[\/tex] e [tex]N[\/tex] e o ponto de tang\u00eancia [tex]T_4.[\/tex]<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/gincana18.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"350\" height=\"355\" class=\"aligncenter size-full wp-image-203439\" \/><br \/>\nPodemos aplicar o <span style=\"color:#800000\"><strong>Lembrete I<\/strong><\/span>, tamb\u00e9m,<\/p>\n<ul>\n<li> ao ponto [tex]M[\/tex] e aos pontos de tang\u00eancia [tex]T_1[\/tex] e [tex]T_4[\/tex]; <\/li>\n<li> ao ponto [tex]N[\/tex] e aos pontos de tang\u00eancia [tex]T_3[\/tex] e [tex]T_4[\/tex]; <\/li>\n<\/ul>\n<p>e concluir que [tex]MT_1=MT_4[\/tex] e  [tex]NT_3=NT_4[\/tex]. Indicaremos esses comprimentos por [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex], respectivamente, de acordo com a figura a seguir. Perceba que destacamos os comprimentos dos segmentos [tex]\\overline{CM}[\/tex] e [tex]\\overline{CN}[\/tex], para ajudar nos c\u00e1lculos que faremos a seguir.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/gincana20.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"410\" height=\"348\" class=\"aligncenter size-full wp-image-203443\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/gincana20.png 410w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/gincana20-300x255.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 410px) 100vw, 410px\" \/><br \/>\nVamos focar nossa aten\u00e7\u00e3o nos tri\u00e2ngulos [tex]ABC[\/tex] e [tex]MNC[\/tex] com as medidas que j\u00e1 conhecemos, acrescidas da medida do \u00e2ngulo de v\u00e9rtice [tex]C[\/tex] que sabemos ser [tex]60^\\circ[\/tex], j\u00e1 que o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/gincana22.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"400\" height=\"329\" class=\"aligncenter size-full wp-image-203451\" \/><br \/>\nVamos calcular, ent\u00e3o o valor de [tex]\\boxed{\\dfrac{CM}{MA}+\\dfrac{CN}{NB}}:[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad \\dfrac{CM}{MA}+\\dfrac{CN}{NB}=\\dfrac{a-x}{a+x}+\\dfrac{a-y}{a+y}\\\\<br \/>\n\\qquad \\dfrac{CM}{MA}+\\dfrac{CN}{NB}=\\dfrac{(a-x)\\cdot (a+y)+(a-y)\\cdot (a+x)}{(a+x)\\cdot (a+y)}\\\\<br \/>\n\\qquad \\dfrac{CM}{MA}+\\dfrac{CN}{NB}=\\dfrac{a^2+ay-ax-xy+a^2+ax-ay-xy}{(a+x)\\cdot (a+y)}\\\\<br \/>\n\\qquad \\dfrac{CM}{MA}+\\dfrac{CN}{NB}=\\dfrac{a^2-xy+a^2-xy}{(a+x)\\cdot (a+y)}\\\\<br \/>\n\\qquad \\dfrac{CM}{MA}+\\dfrac{CN}{NB}=\\dfrac{2a^2-2xy}{(a+x)\\cdot (a+y)}.\\qquad  \\textcolor{#800000}{(i)}\\\\<br \/>\n[\/tex]<br \/>\nAgora, vamos aplicar a Lei dos cossenos (<span style=\"color:#800000\"><strong>Lembrete II<\/strong><\/span>), ao v\u00e9rtice [tex]C[\/tex] do tri\u00e2ngulo [tex]MNC[\/tex]<br \/>\n[tex] \\qquad \\left(x+y\\right)^2=\\left(a-x\\right)^2+\\left(a-y\\right)^2-2\\cdot \\left(a-x\\right)\\cdot \\left(a-y\\right) \\cdot  cos60^\\circ\\\\<br \/>\n \\qquad \\left(x+y\\right)^2=\\left(a-x\\right)^2+\\left(a-y\\right)^2-2\\cdot \\left(a-x\\right)\\cdot \\left(a-y\\right) \\cdot \\dfrac{1}{2}\\\\<br \/>\n\\qquad \\left(x+y\\right)^2=\\left(a-x\\right)^2+\\left(a-y\\right)^2-\\left(a-x\\right)\\cdot \\left(a-y\\right) \\\\<br \/>\n\\qquad x^2+2xy+y^2=a^2-2ax+x^2+a^2-2ay+y^2-\\left(a^2-ay-ax+xy\\right)\\\\<br \/>\n\\qquad x^2+2xy+y^2=a^2-2ax+x^2+a^2-2ay+y^2-a^2+ay+ax-xy\\\\<br \/>\n\\qquad x^2+2xy+y^2=2a^2-ax+x^2-ay+y^2-a^2-xy\\\\<br \/>\n\\qquad\\cancel{x^2}+2xy+\\bcancel{y^2}=2a^2-ax+\\cancel{x^2}-ay+\\bcancel{y^2}-a^2-xy\\\\<br \/>\n\\qquad 0=2a^2-ax-ay-a^2-xy-2xy\\\\<br \/>\n\\qquad 2a^2-2xy=ax+ay+a^2+xy\\\\<br \/>\n\\qquad 2a^2-2xy=(a^2+ax)+(ay+xy)\\\\<br \/>\n\\qquad 2a^2-2xy=a\\cdot \\left(a+x\\right)+y\\cdot \\left(a+x\\right)\\\\<br \/>\n\\qquad2a^2-2xy=\\left(a+x\\right)\\cdot \\left(a+y\\right)\\\\<br \/>\n\\qquad \\dfrac{2a^2-2xy}{\\left(a+x\\right)\\cdot \\left(a+y\\right)}=1.\\qquad  \\textcolor{#800000}{(ii)}\\\\<br \/>\n[\/tex]<br \/>\nPortanto, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], segue que [tex]\\fcolorbox{black}{#FFEEEF}{$\\dfrac{CM}{MA}+\\dfrac{CN}{NB}=1$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"gg\">\nPrimeira Gincana de 2023 &#8211; Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP<br \/>\nN\u00edvel B &#8211; Quest\u00e3o Dif\u00edcil<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema Na figura abaixo vemos um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero [tex]ABC[\/tex] cuja circunfer\u00eancia a ele inscrita \u00e9 tangenciada pela reta que passa pelos pontos [tex]M[\/tex] e [tex]N[\/tex], pontos estes pertencentes a lados do tri\u00e2ngulo. 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