{"id":203313,"date":"2023-10-28T03:48:00","date_gmt":"2023-10-28T06:48:00","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=203313"},"modified":"2023-10-28T06:24:24","modified_gmt":"2023-10-28T09:24:24","slug":"problema-de-gincana-a-lista-do-franci","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-gincana-a-lista-do-franci\/","title":{"rendered":".Problema de Gincana: A lista do Franci"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=204340\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#778899;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Problema<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nFranci elaborou uma lista contendo todos os n\u00fameros de quatro d\u00edgitos formados pelos algarismos 0, 1, 2 e 3.<br \/>\n(Por exemplo, 1023 e 2122 est\u00e3o nessa lista, mas 0123 n\u00e3o, pois \u00e9 considerado um n\u00famero de tr\u00eas d\u00edgitos.)<br \/>\n<strong>Qual \u00e9 a soma de todos os n\u00fameros dessa lista?<\/strong>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nInicialmente, observe que:<\/p>\n<ul>\n<li>Em um  n\u00famero qualquer dessa lista, o primeiro d\u00edgito pode ser qualquer um dos tr\u00eas algarismos: [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex] ou [tex]3.[\/tex] <\/li>\n<li>J\u00e1 os demais d\u00edgitos podem ser qualquer um dos quatro algarismos: [tex]0[\/tex], [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex] ou [tex]3.[\/tex] <\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, o total de elementos da lista \u00e9 [tex]3\\times 4\\times 4\\times 4 = 192[\/tex] elementos. <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Observe, agora, que o total de n\u00fameros em que o [tex]0[\/tex] aparece na unidade \u00e9 igual ao total de n\u00fameros em que o [tex]1[\/tex] aparece, bem como o [tex]2[\/tex] e o [tex]3. [\/tex] O mesmo acontecendo com a quantidade de vezes que cada um desses quatro algarismos aparece na casa das dezenas e na casa das centenas.<br \/>\nPortanto, [tex]192\\div 4 = 48[\/tex] n\u00fameros t\u00eam o [tex]0[\/tex] na casa das unidades, [tex]48[\/tex] t\u00eam o [tex]1[\/tex] na casa das unidades, [tex]48[\/tex] t\u00eam o [tex]2[\/tex] na casa das unidades e [tex]48[\/tex] t\u00eam o [tex]3[\/tex] na cada das unidades. <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Analogamente, cada um dos d\u00edgitos [tex]0[\/tex], [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex] e [tex]3[\/tex] aparece em [tex]48[\/tex] n\u00fameros na casa das dezenas e em [tex]48[\/tex] n\u00fameros na casa das centenas.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Agora, o total de n\u00fameros em que o [tex]1[\/tex], o [tex]2[\/tex] ou o [tex]3[\/tex] aparece na unidade de milhar s\u00e3o [tex]192\\div 3 = 64[\/tex] n\u00fameros, pois nenhum dos n\u00fameros pode come\u00e7ar com [tex]0.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Finalmente, se dispormos todos os [tex]192[\/tex] n\u00fameros numa lista para som\u00e1-los, percebam que:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\"><strong>(i)<\/strong> a soma dos algarismos nas casas das unidades de todos eles ser\u00e1 [tex](0+1+2+3)\\times 48=288.[\/tex] No esqueminha da soma, ficam [tex]\\textcolor{red}{8}[\/tex] unidades na casa das unidades e v\u00e3o [tex]\\textcolor{red}{28}[\/tex]  para a coluna das dezenas;<br \/>\n<strong>(ii)<\/strong> a soma dos algarismos nas casas das dezenas tamb\u00e9m ser\u00e1 [tex](0+1+2+3)\\times 48=288[\/tex]; mas, com os [tex]28[\/tex], teremos  [tex]288+28=316.[\/tex]  No esqueminha da soma, ficam [tex]\\textcolor{blue}{6}[\/tex] unidades na casa das dezenas e v\u00e3o [tex]\\textcolor{blue}{31}[\/tex]  para a coluna das centenas;<br \/>\n<strong>(iii)<\/strong> a soma dos algarismos nas casas das centenas tamb\u00e9m ser\u00e1 [tex] 288[\/tex]; com os [tex]31[\/tex], teremos  [tex]288+31=319.[\/tex]  No esqueminha da soma, ficam [tex]\\textcolor{#FF00FF}{9}[\/tex] unidades na casa das dezenas e v\u00e3o [tex]\\textcolor{#FF00FF}{31}[\/tex]  para a coluna dos milhares;<br \/>\n<strong>(iv)<\/strong> a soma dos algarismos nas casas dos milhares ser\u00e1 [tex](1+2+3)\\times 64=384[\/tex]; com os [tex]31[\/tex], teremos  [tex]384+31=415[\/tex] e terminamos a soma!<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/gincana09.png\" alt=\"\" width=\"200\" height=\"286\" class=\"aligncenter size-full wp-image-203323\" \/><br \/>\nLogo, a soma de todos os elementos da lista \u00e9 [tex] \\fcolorbox{black}{#FFE3AA}{$415\\; 968$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"gg\">\nPrimeira Gincana de 2023 &#8211; Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP<br \/>\nN\u00edvel A &#8211; Quest\u00e3o Dif\u00edcil<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema Franci elaborou uma lista contendo todos os n\u00fameros de quatro d\u00edgitos formados pelos algarismos 0, 1, 2 e 3. (Por exemplo, 1023 e 2122 est\u00e3o nessa lista, mas 0123 n\u00e3o, pois \u00e9 considerado um n\u00famero de tr\u00eas d\u00edgitos.) 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