{"id":203240,"date":"2023-11-02T03:22:03","date_gmt":"2023-11-02T06:22:03","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=203240"},"modified":"2023-11-26T05:08:57","modified_gmt":"2023-11-26T08:08:57","slug":"problema-empates-s","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-empates-s\/","title":{"rendered":".Problema: Empates"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=204596\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;padding-bottom:15px\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nUm campeonato de futebol foi disputado por 10 equipes em um \u00fanico turno, de modo que cada time enfrentou cada um dos outros apenas uma vez. O vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor n\u00e3o ganha ponto algum; em caso de empate, cada equipe ganha 1 ponto.<br \/>\nAo final do campeonato, tivemos a seguinte pontua\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Equipe 1:<\/strong> 20 pontos<\/li>\n<li> <strong>Equipe 2:<\/strong> 10 pontos<\/li>\n<li> <strong>Equipe 3:<\/strong> 14 pontos<\/li>\n<li> <strong>Equipe 4:<\/strong> 9 pontos<\/li>\n<li> <strong>Equipe 5:<\/strong> 12 pontos<\/li>\n<li> <strong>Equipe 6:<\/strong> 17 pontos<\/li>\n<li> <strong>Equipe 7:<\/strong> 9 pontos<\/li>\n<li> <strong>Equipe 8:<\/strong> 13 pontos<\/li>\n<li> <strong>Equipe 9:<\/strong> 4 pontos<\/li>\n<li> <strong>Equipe 10:<\/strong> 10 pontos.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Determine quantos jogos desse campeonato terminaram empatados.<\/strong><\/p>\n<p style=\"font-size: 12px;text-align:right;line-height:1px;\">Extra\u00eddo de <strong> IME<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nComo cada partida \u00e9 disputada por duas equipes teremos um total de [tex]\\dfrac{10 \\cdot 9}{2}=45[\/tex] partidas.<br \/>\nQuando h\u00e1 um vencedor em uma determinada partida, s\u00e3o computados na tabela [tex]3[\/tex] pontos para a equipe vencedora e [tex]0[\/tex] para a equipe derrotada. Logo, se em todas as partidas houvesse uma vit\u00f3ria, o total de pontos na tabela deveria ser [tex]3 \\times 45 = 135.[\/tex]<br \/>\nQuando h\u00e1 um empate em uma partida, s\u00e3o computados na tabela [tex]2[\/tex] pontos ([tex]1[\/tex] para cada equipe).<br \/>\nOu seja, quando ocorre um empate, \u00e9 computado [tex]1[\/tex] ponto a menos no total do que quando h\u00e1 uma equipe vencedora.<br \/>\nNa tabela, temos um total de [tex]20+10+14+9+12+17+9+13+4+10=118[\/tex] pontos. Assim, h\u00e1 uma diferen\u00e7a de [tex]135-118=17[\/tex] pontos.<br \/>\nLogo, houve [tex]17[\/tex] empates no campeonato.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" >Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 28px; margin: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nDenotaremos por y a quantidade de empates ocorridos e por x, a quantidade de partidas com um vencedor\/perdedor.<br \/>\nEm cada empate \u00e9 somado 1 ponto para cada equipe que disputou a partida; para as partidas com um vencedor\/perdedor s\u00e3o somados 3 pontos para o vencedor e 0 pontos para o perdedor. Com essas informa\u00e7\u00f5es, podemos montar a seguinte equa\u00e7\u00e3o:<br \/>\n<span style=\"padding-left:30px;\"><\/span>3x + 2y = 118, onde 118 \u00e9 a soma total de pontos de todas as equipes.<br \/>\nAgora, para descobrir o n\u00famero de partidas que ocorreram no total, sabemos que cada time disputou uma partida com outro time uma \u00fanica vez, come\u00e7ando com 9 partidas para a primeira equipe e diminuindo 1 para cada equipe subsequente, temos:<br \/>\nEquipe 1 = 9<br \/>\nEquipe 2 = 8<br \/>\n&#8230;<br \/>\nEquipe 9 = 1<br \/>\nEquipe 10 = 0.<br \/>\nSomando o n\u00famero de partidas, temos 45 jogos disputados no total, o que nos fornece outra equa\u00e7\u00e3o:<br \/>\n<span style=\"padding-left:30px;\"><\/span>x + y = 45.<br \/>\nConsiderando as duas equa\u00e7\u00f5es, podemos resolver em forma de sistema para descobrir o valor de y, o n\u00famero de jogos empatados que ocorreram:<br \/>\n<span style=\"padding-left:30px;\"><\/span>3x+2y= 118<br \/>\n<span style=\"padding-left:30px;\"><\/span>x+y=45.<br \/>\nDa segunda equa\u00e7\u00e3o, temos:<br \/>\n<span style=\"padding-left:30px;\"><\/span>x = 45-y.<br \/>\nSubstituindo x na primeira equa\u00e7\u00e3o, segue que:<br \/>\n<span style=\"padding-left:30px;\"><\/span>3(45-y)+2y=118<br \/>\n<span style=\"padding-left:30px;\"><\/span>-3y+135 + 2y = 118<br \/>\n<span style=\"padding-left:30px;\"><\/span>-y=118-135<br \/>\n<span style=\"padding-left:30px;\"><\/span>y = 17.<br \/>\nPortanto, dentre o total de 45 jogos nesse campeonato, tivemos 17 empates.<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px; border: 0 none;\" \/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo <strong>COM Epifania Matem\u00e1tica<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"g3\">\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: <strong>Epifania Matem\u00e1tica<\/strong> ; <strong>Quadrado perfeito<\/strong> ; <strong>Puzzlers \u03c0rados<\/strong> ; <strong>Obm\u00e9picos<\/strong> ; <strong>FIBONACCI<\/strong> ; <strong> SUPER G\u00caNIOS 3\u00b0CPM <\/strong> ; <strong>Numeradores<\/strong> e <strong>Estudantes Gabrielenses Matem\u00e1ticos<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.) Um campeonato de futebol foi disputado por 10 equipes em um \u00fanico turno, de modo que cada time enfrentou cada um dos outros apenas uma vez. O vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-empates-s\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-203240","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/203240","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=203240"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/203240\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":206356,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/203240\/revisions\/206356"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=203240"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}