{"id":203220,"date":"2023-11-02T02:59:22","date_gmt":"2023-11-02T05:59:22","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=203220"},"modified":"2023-11-02T04:59:38","modified_gmt":"2023-11-02T07:59:38","slug":"problema-buscando-a-maior-receita","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-buscando-a-maior-receita\/","title":{"rendered":".Problema: Buscando a maior receita"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nO dono de uma sorveteria verificou que a quantidade di\u00e1ria de sorvetes vendidos [tex](Q)[\/tex] varia de acordo com o pre\u00e7o unit\u00e1rio de venda [tex](p)[\/tex], conforme a lei [tex]Q(p)=90-20p[\/tex].
\nQual deve ser o pre\u00e7o pelo qual o sorvete deve ser vendido para que a receita seja m\u00e1xima?<\/strong><\/p>\n

(Extra\u00eddo de PUC- RJ<\/strong>.)<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\nSendo [tex]Q[\/tex] a quantidade de sorvetes vendidos e [tex]p[\/tex] o pre\u00e7o de cada sorvete, a receita [tex]R[\/tex] adquirida na venda desses sorvetes \u00e9 dada por [tex]\\boxed{R(p)=Q \\cdot p}.[\/tex]
\nAssim, de acordo com o enunciado, temos que:
\n[tex]\\qquad R(p)=(90-20p)\\cdot p\\\\
\n\\qquad R(p)=-20p^{2}+90p .[\/tex]<\/p>\n

Podemos escrever essa \u00faltima equa\u00e7\u00e3o da seguinte forma:
\n[tex]\\qquad R(p)=-20 \\cdot \\left(p^{2}-\\dfrac{9}{2}p\\right)\\\\
\n\\qquad R(p)=-20 \\cdot \\left[p^{2}-\\dfrac{9}{2}p + \\left(\\dfrac {9}{4}\\right)^{2} – \\left(\\dfrac {9}{4}\\right)^{2}\\right]\\\\
\n\\qquad R(p)=-20 \\cdot \\left[ \\left(p-\\dfrac{9}{4}\\right)^{2} – \\dfrac {81}{16}\\right]\\\\
\n\\qquad R(p)=-20 \\cdot \\left(p-\\dfrac{9}{4}\\right)^{2} +\\dfrac {405}{4}.[\/tex]
\nAgora, repare que a express\u00e3o [tex]-20 \\cdot \\left(p-\\dfrac{9}{4}\\right)^{2}[\/tex] ter\u00e1 valor m\u00e1ximo quando [tex]p-\\dfrac{9}{4}=0[\/tex], ou seja, para:
\n[tex]\\qquad p=\\dfrac{9}{4}=2,25[\/tex]. <\/p>\n

\n

Portanto, para que a receita seja m\u00e1xima, cada sorvete deve ser vendido a [tex]R$\\,2,25.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nInicialmente, note que a receita \u00e9 dada por [tex]Q(p) \\cdot p[\/tex], ou seja, [tex]p (90-20p)[\/tex].
\nEssa receita pode ser transformada em uma fun\u00e7\u00e3o [tex]R[\/tex] em fun\u00e7\u00e3o do pre\u00e7o unit\u00e1rio do sorvete [tex]p[\/tex]:
\n[tex]\\qquad R(p)=p(90-20p).[\/tex]
\nO valor m\u00e1ximo da receita \u00e9 dado a partir do valor de [tex]p[\/tex] que maximiza a fun\u00e7\u00e3o.
\nPara descobrirmos esse valor, basta fazermos uma m\u00e9dia entre suas ra\u00edzes. Uma dessa ra\u00edzes \u00e9 [tex]\\boxed{x_1=0}[\/tex] e a outra \u00e9 a solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o [tex]90-20x_2=0 [\/tex], que vamos obter a seguir:
\n[tex]\\qquad 90-20x_2=0 \\\\
\n\\qquad 20x_2=90 \\\\
\n\\qquad \\boxed{x_2=4,5}.[\/tex]
\nDe posse das ra\u00edzes, j\u00e1 podemos obter a m\u00e9dia entre elas:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{0+4,5}{2}=2,25.[\/tex]
\nPortanto, o pre\u00e7o a que o sorvete deve ser vendido \u00e9 de [tex]R$\\,2,25.[\/tex]<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Geomestres Slay<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 3<\/p>\n

\nPrimeiramente, segundo o enunciado, a fun\u00e7\u00e3o [tex]Q(p)= 90-20p~[\/tex] nos d\u00e1 a quantidade de sorvetes vendidos em um dia, onde [tex]p[\/tex] \u00e9 o pre\u00e7o de cada um. Sendo assim, a receita total arrecadado em um dia pode ser dado por:
\n[tex]\\qquad Q(p)\\cdot p\\\\
\n\\qquad (90-20p) \\cdot p\\\\
\n\\qquad 90p-20p^2.\\\\
\n[\/tex]
\nAssim, podemos criar uma fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica definida por [tex]f(p)=90p-20p^2[\/tex], que representa a receita em fun\u00e7\u00e3o do pre\u00e7o do sorvete. Como essa fun\u00e7\u00e3o gera uma par\u00e1bola, sabemos que ela possui um valor m\u00e1ximo. Para encontr\u00e1-lo, basta utilizar a f\u00f3rmula da coordenada [tex]x[\/tex] (nesse caso, [tex]p[\/tex]) do v\u00e9rtice:
\n[tex]\\qquad P_v=\\dfrac {-b}{2a}\\\\
\n\\qquad P_v=\\dfrac{-90}{-40}\\\\
\n\\qquad P_v=2,25.\\\\
\n[\/tex]
\nAssim, o valor de [tex]p[\/tex] para que a fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] alcance seu valor m\u00e1ximo \u00e9 [tex]2,25[\/tex] e, portanto, para a maior renda poss\u00edvel, os sorvetes devem ser vendidos a [tex]R$\\,2,25[\/tex] a unidade.<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos COM\u00b4s: Phidias, Obm\u00e9picos, SUPER G\u00caNIOS 3\u00b0CPM e Os Exatos da EAPC<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) O dono de uma sorveteria verificou que a quantidade di\u00e1ria de sorvetes vendidos [tex](Q)[\/tex] varia de acordo com o pre\u00e7o unit\u00e1rio de venda [tex](p)[\/tex], conforme a lei [tex]Q(p)=90-20p[\/tex]. Qual deve ser o pre\u00e7o pelo qual o sorvete … <\/p>\n

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