{"id":203172,"date":"2023-11-02T03:51:19","date_gmt":"2023-11-02T06:51:19","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=203172"},"modified":"2023-11-02T05:09:57","modified_gmt":"2023-11-02T08:09:57","slug":"problemao-a-procura-do-termo-independente","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-a-procura-do-termo-independente\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: \u00c0 procura do termo independente"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\n(Adaptado – UECE<\/strong>, 2020)<\/font> Encontre o termo independente de [tex]x[\/tex] no desenvolvimento binomial de [tex]\\left(x\\sqrt[3]{x}+\\dfrac{1}{x^3}\\right)^{13}[\/tex].\n<\/div>\n

\n

\n\"explicador_p\"<\/p>\n

Lembrete<\/p>\n

O termo geral no desenvolvimento do bin\u00f4mio de Newton [tex](a+b)^m[\/tex], com [tex]m[\/tex] inteiro positivo, \u00e9 dado por [tex]T_{n+1} = \\binom{m}{n}\\cdot a^{m-n}\\cdot b^n,[\/tex] onde [tex]n=0,\\cdots, m.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nPelo Lembrete<\/strong>, o termo geral no desenvolvimento do bin\u00f4mio \u00e9 dado por
\n[tex]\\qquad \\begin{align}T_{n+1} &= \\binom{13}{n}\\cdot (x\\sqrt[3]{x})^{13-n}\\cdot \\left(\\dfrac{1}{x^3}\\right)^n\\\\
\n&=\\binom{13}{n}(x\\cdot x^{1\/3})^{13-n}\\cdot (x^{-3})^n\\\\
\n&=\\binom{13}{n}(x^{4\/3})^{13-n}\\cdot x^{-3n}\\\\
\n&=\\binom{13}{n}x^{4(13-n)\/3}\\cdot x^{-3n}\\\\
\n&=\\binom{13}{n}x^{4(13-n)\/3-3n}.
\n\\end{align}\\\\
\n[\/tex]
\nAssim, para que [tex]T_{n+1}[\/tex] seja o termo independente, devemos ter [tex]x^{4(13-n)\/3-3n} [\/tex]constante.
\nA \u00fanica maneira de isso ocorrer \u00e9 se
\n[tex]\\qquad \\dfrac{4(13-n)}{3}-3n=0[\/tex]
\ne, com isso,
\n[tex]\\qquad 4(13-n)-9n=0[\/tex],
\n[tex]\\qquad 13n=52[\/tex],
\n[tex]\\qquad n=4.[\/tex]
\nNesse caso, segue que:
\n[tex]\\qquad x^{4(13-n)\/3-3n}=x^0=1[\/tex]
\ne, portanto, o termo independente \u00e9
\n[tex]\\qquad \\begin{align}T_5 = \\binom{13}{4}=\\dfrac{13!}{4!9!}=\\boxed{715}\\end{align}.[\/tex]<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: Geomestres Slay<\/strong> ; Puzzlers \u03c0rados<\/strong> e Obm\u00e9picos<\/strong>.<\/div>\n

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✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) (Adaptado – UECE, 2020) Encontre o termo independente de [tex]x[\/tex] no desenvolvimento binomial de [tex]\\left(x\\sqrt[3]{x}+\\dfrac{1}{x^3}\\right)^{13}[\/tex]. Lembrete O termo geral no desenvolvimento do bin\u00f4mio de Newton [tex](a+b)^m[\/tex], com [tex]m[\/tex] inteiro positivo, \u00e9 dado por [tex]T_{n+1} = \\binom{m}{n}\\cdot a^{m-n}\\cdot … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":254,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-203172","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/203172","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/254"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=203172"}],"version-history":[{"count":15,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/203172\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":204607,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/203172\/revisions\/204607"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=203172"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}