{"id":203139,"date":"2023-11-02T04:02:42","date_gmt":"2023-11-02T07:02:42","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=203139"},"modified":"2023-11-02T05:12:04","modified_gmt":"2023-11-02T08:12:04","slug":"desafio-ali-babao-e-a-trigesima-quarta-de-suas-40-equacoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-ali-babao-e-a-trigesima-quarta-de-suas-40-equacoes\/","title":{"rendered":".Desafio: Ali Bab\u00e3o e a Trig\u00e9sima Quarta de suas 40 Equa\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nEncontre uma raiz da equa\u00e7\u00e3o [tex]x^{x^{20}}=\\sqrt[\\sqrt{2}]{2}.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\nObserve que, se fizermos [tex]\\boxed{x^{20}=a}[\/tex]<\/span>, ent\u00e3o [tex]\\boxed{x=\\sqrt[20]{a}}.[\/tex]<\/span>
\nCom isso, a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^{x^{20}}=\\sqrt[\\sqrt{2}]{2}[\/tex]<\/span> poder\u00e1 ser assim reescrita:
\n[tex]\\qquad x^{x^{20}}=\\sqrt[\\sqrt{2}]{2}\\\\
\n\\qquad x^a=\\sqrt[\\sqrt{2}]{2}\\\\
\n\\qquad \\left(\\sqrt[20]{a}\\right)^a=\\sqrt[\\sqrt{2}]{2}\\\\
\n\\qquad \\left(a^\\frac{1}{20}\\right)^a=2^\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\\\
\n\\qquad a^\\frac{a}{20}=2^\\frac{1}{\\sqrt{2}}.\\\\
\n[\/tex]<\/span>
\nElevando ambos os lados da \u00faltima igualdade a [tex]20[\/tex],obtemos:
\n[tex]\\qquad \\left(a^\\frac{a}{20}\\right)^{20}=\\left(2^\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^{20}\\\\
\n\\qquad a^\\frac{20a}{20}=2^\\frac{20}{\\sqrt{2}}\\\\
\n\\qquad a^a=2^\\frac{20\\sqrt{2}}{2}\\\\
\n\\qquad a^a=2^{10\\sqrt{2}}.\\\\
\n[\/tex]<\/span>
\nPrecisamos deixar o lado direito da igualdade [tex]a^a=2^{10\\sqrt{2}}[\/tex] na forma [tex]b^b[\/tex] para algum n\u00famero real positivo [tex]b[\/tex]. Para isso, o primeiro passo \u00e9 perceber que [tex]2=(\\sqrt{2})^2[\/tex] e, ent\u00e3o, segue que:
\n[tex]\\qquad a^a=\\left[(\\sqrt{2})^2\\right]^{10\\sqrt2}\\\\
\n\\qquad a^a=\\left(\\sqrt2\\,\\right)^{20\\sqrt2}.\\\\
\n[\/tex]<\/span>
\nAgora, fazemos [tex]20\\sqrt2=5\\cdot 4\\sqrt2[\/tex]<\/span> e obtemos
\n[tex]\\qquad a^a=\\left(\\sqrt2\\,\\right)^{5\\cdot 4\\sqrt2}.\\\\
\n[\/tex]<\/span>
\nComo [tex]4\\sqrt2=(\\sqrt2)^4\\sqrt2=(\\sqrt2)^5,[\/tex]<\/span> ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad a^a=\\left(\\sqrt2\\right)^{5 (\\sqrt2)^5}\\\\
\n\\qquad a^a=\\left(\\left(\\sqrt2\\right)^5\\right)^{(\\sqrt2)^5}.\\\\
\n[\/tex]<\/span>
\nAssim, uma solu\u00e7\u00e3o \u00e9 obtida ao fazermos [tex]\\boxed{a=\\left(\\sqrt{2}\\,\\right)^5}.[\/tex] <\/span>
\nComo [tex]\\boxed{x^{20}=a}[\/tex]<\/span>, segue que:
\n[tex]\\qquad x^{20}=\\left(\\sqrt2\\,\\right)^5\\\\
\n\\qquad x=\\left[(\\sqrt2\\,)^5\\right]^{\\frac{1}{20}}\\\\
\n\\qquad x=\\left(\\sqrt2\\,\\right)^\\frac{5}{20}\\\\
\n\\qquad x=\\left(\\sqrt2\\,\\right)^\\frac{1}{4}\\\\
\n\\qquad x=\\left(2^{1\/2\\,}\\right)^\\frac{1}{4}=2^\\frac{1}{8},[\/tex]<\/span>
\nou seja, [tex]\\boxed{x=\\sqrt[8]{2}}[\/tex]<\/span>.<\/p>\n

Com efeito, observe que
\n [tex]\\qquad \\left(2^\\frac{1}{8}\\right)^{\\left(2^\\frac{1}{8}\\right)^{20}}=\\left(2^\\frac{1}{8}\\right)^{\\left(2^\\frac{20}{8}\\right)}=\\left(2^{\\left(2^{-3}\\right)}\\right)^{\\left(2^{\\frac{5}{2}}\\right)}
\n=\\left(2\\right)^{(2^{-3}~\\cdot~ 2^{\\frac{5}{2}})}=
\n2^{2^{^{\\left(\\frac{-1}{2}\\right)}}}=2^{^{\\frac{1}{\\sqrt{2}}}}=\\sqrt[\\sqrt{2}]{2}.[\/tex]<\/span><\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nPara [tex]x^{20}=a[\/tex]<\/span>, podemos escrever a equa\u00e7\u00e3o da seguinte forma: [tex]x^a=2^{\\frac{1}{\\sqrt2}}.[\/tex]<\/span>
\nPor outro lado, se [tex]x^{20}=a[\/tex]<\/span>, ent\u00e3o [tex]\\left(x^{20}\\right)^\\frac{1}{20}=\\left(a\\right)^\\frac{1}{20}[\/tex]<\/span>, ou seja, [tex]\\boxed{x=\\left(a\\right)^\\frac{1}{20}}.[\/tex]<\/span>
\nDessa forma, segue que:
\n [tex]\\qquad x^a=2^{\\frac{1}{\\sqrt2}}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\left( \\left(a\\right)^\\frac{1}{20}\\right)^{a}=2^{\\frac{1}{\\sqrt2}}[\/tex]
\n[tex]\\qquad a^\\frac{a}{20}=2^{\\frac{1}{\\sqrt2}}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\left(a^\\frac{a}{20}\\right)^{20}=\\left(2^{\\frac{1}{\\sqrt2}}\\right)^{20}[\/tex]
\n[tex]\\qquad a^a=2^{\\frac{20}{\\sqrt2}}[\/tex]
\n[tex]\\qquad a^a=2^{10\\sqrt2}.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/span><\/p>\n

\n

Para deixarmos [tex]2^{10\\sqrt2}[\/tex] em uma forma [tex]a^a[\/tex], basta fazermos uma manipula\u00e7\u00e3o de forma que, ao dividirmos [tex]10\\sqrt2[\/tex] por [tex]b[\/tex], tenhamos um valor igual a [tex]2^b[\/tex]. Para isso, vamos montar a seguinte equa\u00e7\u00e3o:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{10\\sqrt2}{b}=2^b \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\n[tex]\\qquad 10\\sqrt2=2^b \\cdot b.[\/tex]<\/span><\/p>\n

\n

Dividindo ambos os lados da \u00faltima igualdade por [tex]\\sqrt2[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad 10=2^{b-0,5} \\cdot b.[\/tex]<\/span><\/p>\n

\n

A partir da\u00ed, n\u00e3o podemos ter um valor para [tex]b[\/tex] tal que [tex]b-0,5[\/tex] resulte em um valor que n\u00e3o perten\u00e7a ao conjunto dos naturais, pois desse modo ter\u00edamos um resultado irracional para o produto. Dessa forma, [tex]b[\/tex] deve ser um valor pertencente ao conjunto dos n\u00fameros racionais e escrito da forma [tex]n+0,5[\/tex] tal que [tex]n[\/tex] perten\u00e7a ao conjunto dos n\u00fameros naturais (ou seja, [tex]b[\/tex] termina em [tex],5[\/tex]). Al\u00e9m disso, sendo [tex]10[\/tex] um valor entre [tex]2^{1,5} \\cdot 2~[\/tex] e [tex]~2^{2,5} \\cdot 3[\/tex], o \u00fanico valor que nos resta para [tex]b[\/tex] \u00e9 [tex]b=2,5[\/tex]:
\n [tex]\\qquad 10=2^{2,5-0,5} \\cdot 2,5[\/tex]
\n[tex]\\qquad 10=4 \\cdot 2,5[\/tex]
\n[tex]\\qquad 10=10.[\/tex]<\/span>
\nPortanto, de fato, [tex]b=2,5.[\/tex]
\nVoltando \u00e0 equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], temos:
\n [tex]\\qquad \\dfrac{10\\sqrt2}{2,5}=2^{2,5}\\\\
\n\\qquad10\\sqrt2=2,5 \\cdot2^{2,5}[\/tex]<\/span>
\ne, portanto, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], temos que:
\n[tex]\\qquad (2^{2,5})^{4\\sqrt2}=a^a[\/tex]
\n[tex]\\qquad a=4\\sqrt2.[\/tex]<\/span><\/p>\n

\n

Sendo [tex]x=a^{\\frac{1}{20}}[\/tex]<\/span>:
\n[tex]\\qquad x=4\\sqrt2^{\\frac{1}{20}}[\/tex]
\n[tex]\\qquad x=(32^{0,5})^{0,05}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{x=32^{0,025}}.[\/tex]<\/span><\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Geomestres Slay<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: Pent\u00e1gono do Millennium<\/strong> ; Obm\u00e9picos<\/strong> ; Geomestres Slay<\/strong>.<\/div>\n

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✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Encontre uma raiz da equa\u00e7\u00e3o [tex]x^{x^{20}}=\\sqrt[\\sqrt{2}]{2}.[\/tex] Solu\u00e7\u00e3o 1 Observe que, se fizermos [tex]\\boxed{x^{20}=a}[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\boxed{x=\\sqrt[20]{a}}.[\/tex] Com isso, a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^{x^{20}}=\\sqrt[\\sqrt{2}]{2}[\/tex] poder\u00e1 ser assim reescrita: [tex]\\qquad x^{x^{20}}=\\sqrt[\\sqrt{2}]{2}\\\\ \\qquad x^a=\\sqrt[\\sqrt{2}]{2}\\\\ \\qquad \\left(\\sqrt[20]{a}\\right)^a=\\sqrt[\\sqrt{2}]{2}\\\\ \\qquad \\left(a^\\frac{1}{20}\\right)^a=2^\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\\\ \\qquad a^\\frac{a}{20}=2^\\frac{1}{\\sqrt{2}}.\\\\ [\/tex] Elevando ambos … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":255,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-203139","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/203139","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/255"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=203139"}],"version-history":[{"count":21,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/203139\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":204610,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/203139\/revisions\/204610"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=203139"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}