{"id":202921,"date":"2023-11-10T04:21:38","date_gmt":"2023-11-10T07:21:38","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=202921"},"modified":"2024-03-28T20:31:40","modified_gmt":"2024-03-28T23:31:40","slug":"sala-2-alguns-tipos-de-funcoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-2-alguns-tipos-de-funcoes\/","title":{"rendered":"Sala 2 – Alguns tipos de fun\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"

✏ Link da Sala para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

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Alguns tipos de fun\u00e7\u00f5es<\/strong><\/div>\n
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\nAlgumas fun\u00e7\u00f5es podem ser classificadas quanto \u00e0s suas leis de forma\u00e7\u00e3o.
\nNesta Sala vamos apresentar algumas dessas fun\u00e7\u00f5es e tentar aplicar o que foi discutido nas duas primeiras Salas.
\nVamos come\u00e7ar com a mais simples delas!<\/p>\n

I – Fun\u00e7\u00e3o Constante<\/p>\n

Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Dizemos que [tex]f: \\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R} [\/tex] \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o constante<\/span><\/strong> se [tex]f(x) = c[\/tex] para todo [tex]x[\/tex] em [tex]\\mathbb{R}[\/tex], onde [tex]c[\/tex] \u00e9 uma constante real.
\nGr\u00e1fico:<\/strong> O gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o constante tra\u00e7ado em um plano cartesiano [tex]xOy[\/tex] \u00e9 uma reta perpendicular ao eixo [tex]Oy[\/tex] e, portanto, paralela ao eixo [tex]Ox[\/tex], que intersecta [tex]Oy[\/tex] no ponto [tex](0,c)[\/tex].\n<\/div>\n

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\nExemplo:<\/strong> As fun\u00e7\u00f5es [tex]f[\/tex], [tex]g[\/tex], [tex]h[\/tex] e [tex]t[\/tex] de [tex]\\mathbb{R}[\/tex] em [tex]\\mathbb{R}[\/tex] dadas por [tex]f(x)=4[\/tex], [tex]g(x)=2[\/tex], [tex]h(x)=1[\/tex], e [tex]t(x)=-2[\/tex] s\u00e3o exemplos de fun\u00e7\u00f5es constante. Veja abaixo os gr\u00e1ficos dessas fun\u00e7\u00f5es, tra\u00e7ados em um mesmo plano cartesiano [tex]xOy[\/tex].
\n\"\"\n<\/div>\n

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Como j\u00e1 hav\u00edamos comentado, uma fun\u00e7\u00e3o constante \u00e9 vista como o tipo mais simples de fun\u00e7\u00e3o. Observando esses gr\u00e1ficos d\u00e1 para entender o porqu\u00ea, n\u00e3o \u00e9?
\nParticularmente, uma fun\u00e7\u00e3o constante
\n● n\u00e3o \u00e9 injetora;<\/span>
\n● n\u00e3o \u00e9 sobrejetora;<\/span>
\n● n\u00e3o \u00e9 crescente;<\/span>
\n● n\u00e3o \u00e9 decrescente.<\/span><\/strong><\/p>\n

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II – Fun\u00e7\u00e3o Afim<\/p>\n

Antes de apresentarmos a defini\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00e3o afim, vamos ver um exemplo pr\u00e1tico que est\u00e1 relacionado a esse tipo de fun\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

\n

\nExemplo:<\/strong> Joel \u00e9 um vendedor em uma loja de eletr\u00f4nicos. Ele recebe um sal\u00e1rio fixo mensal de [tex]R$\\,1\\;500,00[\/tex] por m\u00eas da empresa, mas tamb\u00e9m tem a oportunidade de ganhar uma comiss\u00e3o adicional com base nas suas vendas mensais.
\nA comiss\u00e3o de Joel \u00e9 calculada com base em uma taxa fixa de [tex]3\\%[\/tex] sobre o valor total das vendas que ele realizar no m\u00eas.
\nVamos escrever uma express\u00e3o que relacione o sal\u00e1rio mensal [tex]s[\/tex] de Joel com o valor [tex]v[\/tex] de suas vendas mensais.
\nA comiss\u00e3o de Joel \u00e9 dada por [tex]3\\%[\/tex] de [tex]v[\/tex], ou seja, [tex]\\dfrac{3}{100}v.[\/tex] Como ele ganha um valor fixo de [tex]R$\\,1\\;500,00[\/tex] por m\u00eas al\u00e9m da comiss\u00e3o, ent\u00e3o representando por [tex]s(v)[\/tex] o sal\u00e1rio de Joel em termos do valor [tex]v[\/tex] de suas vendas, temos:
\n[tex]\\qquad \\boxed{s(v) = \\dfrac{3}{100}v+1\\;500}.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Chamamos de fun\u00e7\u00e3o afim<\/span><\/strong> (ou fun\u00e7\u00e3o polinomial do 1\u00ba grau<\/span><\/strong>) qualquer fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] de [tex]\\mathbb{R}[\/tex] em [tex]\\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]f(x)=ax+b[\/tex], com [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros reais dados e [tex]a\\neq 0[\/tex].
\nGr\u00e1fico:<\/strong> O gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o afim tra\u00e7ado em um plano cartesiano [tex]xOy[\/tex] \u00e9 uma reta obl\u00edqua aos eixos [tex]Ox\\,[\/tex] e [tex]\\,Oy[\/tex]. <\/div>\n

\n

Sendo [tex]f:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]f(x) = ax+b[\/tex], com [tex]a\\ne 0[\/tex], podemos perceber que:
\n●<\/span> [tex]f(0) = a\\cdot 0+b = b[\/tex].
\n●<\/span> Os zeros de [tex]f[\/tex] s\u00e3o tais que [tex]f(x)=0[\/tex]. Assim, temos [tex]ax+b = 0[\/tex], ou seja, [tex]x = -\\dfrac{b}{a}[\/tex].
\nAssim, o gr\u00e1fico de [tex]f[\/tex] \u00e9 a reta que passa pelos pontos [tex](0, b)[\/tex] e [tex]\\left(-\\dfrac{b}{a}, 0\\right)[\/tex].
\nA partir dessas informa\u00e7\u00f5es e dependendo dos sinais dos coeficientes [tex]a~[\/tex] e [tex]~b[\/tex], temos os seguintes gr\u00e1ficos para a fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex], se [tex]b\\ne 0[\/tex]:<\/p>\n

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\"\"<\/p>\n

\n

e se, particularmente, [tex]b=0[\/tex] s\u00e3o estes os gr\u00e1ficos:<\/p>\n

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\"\"<\/p>\n

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Vamos agora procurar saber em quais casos a fun\u00e7\u00e3o afim \u00e9 crescente e quando \u00e9 decrescente. A visualiza\u00e7\u00e3o dos gr\u00e1ficos acima vai ajudar na visualiza\u00e7\u00e3o das an\u00e1lises!
\nSeja [tex]f[\/tex] uma fun\u00e7\u00e3o afim dada por [tex]f(x) = ax+b[\/tex] e [tex]x_1,x_2\\in D(f)[\/tex], com [tex]x_1\\lt x_2 [\/tex]. Perceba que:
\n►<\/span> [tex]f(x_1)\\lt f(x_2) \\iff ax_1+b\\lt ax_2+b\\iff ax_1\\lt ax_2\\iff a\\gt 0[\/tex],
\nsendo que a \u00faltima equival\u00eancia acima decorre do fato de termos [tex]x_1\\lt x_2[\/tex];
\n►<\/span> [tex]f(x_1)\\gt f(x_2) \\iff ax_1+b\\gt ax_2+b\\iff ax_1\\gt ax_2\\iff a\\lt 0[\/tex],
\nsendo que a \u00faltima equival\u00eancia acima decorre do fato de termos [tex]x_1\\lt x_2.[\/tex]
\nPortanto, podemos concluir que, se [tex]f:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] \u00e9 dada por [tex]f(x) = ax+b[\/tex], ent\u00e3o
\n● [tex]\\boldsymbol{f}[\/tex] \u00e9 crescente se, e somente se, [tex]\\boldsymbol{ a\\gt 0} [\/tex]<\/span><\/strong>, e
\n● [tex]\\boldsymbol{f}[\/tex] \u00e9 decrescente se, e somente se, [tex]\\boldsymbol{ a\\lt 0 }[\/tex].<\/p>\n

<\/strong><\/span> <\/p>\n

\nExemplo 1:<\/strong> A fun\u00e7\u00e3o afim [tex]f:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]f(x) = 2x-1[\/tex] \u00e9 crescente, pois [tex]a=2\\gt 0[\/tex].<\/p>\n

\n

Exemplo 2:<\/strong> A fun\u00e7\u00e3o afim [tex]g:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]g(x)=-\\dfrac{x}{2}+3[\/tex] \u00e9 decrescente, pois [tex]a=-\\dfrac{1}{2}\\lt 0[\/tex].
\nVejam os gr\u00e1ficos!
\n\"\"\n<\/div>\n

\n

Quanto \u00e0 injetividade e \u00e0 sobrejetividade de uma fun\u00e7\u00e3o afim [tex]f:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]f(x)=ax+b,~a\\ne 0[\/tex], observe que:<\/p>\n

    (i)<\/strong> Sejam [tex]x_1,x_2\\in \\mathbb{R}[\/tex] tais que [tex]\\boxed{f(x_1)=f(x_2)}.[\/tex]
    \nAssim, segue que:
    \n[tex]\\qquad ax_1+b=ax_2+b\\\\
    \n\\qquad ax_1=ax_2\\\\
    \n\\qquad \\boxed{x_1=x_2}.[\/tex]
    \n(ii)<\/strong> Seja [tex]\\boxed{y \\in \\mathbb{R}}[\/tex]. Perceba que, se [tex]\\boxed{x=\\dfrac{y-b}{a}}[\/tex], ent\u00e3o:
    \n[tex]\\qquad f(x)=f\\left(\\dfrac{y-b}{a}\\right)\\\\
    \n\\qquad f(x)=a\\left(\\dfrac{y-b}{a}\\right)+b\\\\
    \n\\qquad f(x)=y-b+b\\\\
    \n\\qquad \\boxed{f(x)=y}.
    \n[\/tex]<\/ul>\n

    Portanto, por (i)<\/strong> e (ii)<\/strong> podemos concluir que:
    \n● uma fun\u00e7\u00e3o afim \u00e9 injetora e <\/span>
    \n● uma fun\u00e7\u00e3o afim \u00e9 sobrejetora
    \nSEMPRE<\/strong>!<\/span><\/p>\n

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    \n
    \n

    III – Fun\u00e7\u00e3o Quadr\u00e1tica<\/p>\n

    \n

    Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Dizemos que [tex]f: \\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica<\/span><\/strong> (ou fun\u00e7\u00e3o polinomial do 2\u00ba grau<\/span><\/strong>), se [tex]f(x) = ax^2+bx+c[\/tex], sendo [tex]a, b[\/tex] e [tex]c[\/tex] n\u00fameros reais dados, com [tex]a\\neq 0[\/tex].
    \nGr\u00e1fico:<\/strong> O gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica \u00e9 uma par\u00e1bola, podendo ela ter a concavidade voltada para cima (caso [tex]a\\gt 0[\/tex]) ou para baixo (caso [tex]a\\lt 0[\/tex]).<\/div>\n

    \n

    Voc\u00ea pode utilizar este applet para observar as concavidades de algumas par\u00e1bolas e verificar que, de fato, a concavidade voltada para cima ou para baixo est\u00e1 ligada ao sinal do coeficiente [tex]a[\/tex] de [tex]x^2.[\/tex]<\/p>\n

    \nInstru\u00e7\u00f5es<\/strong>:
    \n(1)<\/strong> Espere o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)<\/span>
    \n(2)<\/strong> Para mudar manualmente os valores de [tex]a[\/tex] e obter as par\u00e1bolas correspondentes, clique com o bot\u00e3o esquerdo do mouse sobre o ponto que indica o valor de a<\/strong> (lado direito da janelinha), mantenha o bot\u00e3o apertado e, em seguida, movimente o mouse horizontalmente. (Se voc\u00ea estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto e movimente-o.)
    \n(3)<\/strong> Para fazer uma anima\u00e7\u00e3o do movimento do ponto a<\/strong> e obter novas par\u00e1bolas, clique no \u00edcone \u25ba que aparece no canto inferior esquerdo da janela.
    \n(4)<\/strong> Para parar a anima\u00e7\u00e3o, clique no \u00edcone ||<\/strong> que apareceu no canto inferior esquerdo da janela.
    \n(5)<\/strong> Se quiser voltar para a visualiza\u00e7\u00e3o inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito da janela.<\/p>\n

    \n