{"id":202730,"date":"2023-11-10T04:20:08","date_gmt":"2023-11-10T07:20:08","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=202730"},"modified":"2023-12-22T18:57:54","modified_gmt":"2023-12-22T21:57:54","slug":"sala-1-funcao-composta-e-funcao-inversa","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-1-funcao-composta-e-funcao-inversa\/","title":{"rendered":"Sala 1 – Fun\u00e7\u00e3o Composta e Fun\u00e7\u00e3o Inversa"},"content":{"rendered":"

✏ Link da Sala para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n
Fun\u00e7\u00e3o Composta e Fun\u00e7\u00e3o Inversa<\/strong><\/div>\n
\n
\nNesta Sala vamos discutir e responder, essencialmente, duas perguntas. Vamos l\u00e1!<\/p>\n

\n

Pergunta 1:<\/strong> Dadas duas fun\u00e7\u00f5es [tex]f[\/tex] e [tex]g[\/tex] <\/p>\n

\n\n\n
\n\n[tex]\\qquad \\begin{eqnarray*}
\nf:~A &\\rightarrow & B\\\\
\nx&\\mapsto & y
\n\\end{eqnarray*}[\/tex] <\/td>\n		\n[tex]\\qquad \\begin{eqnarray*}
\ng:~B &\\rightarrow & C\\\\
\ny&\\mapsto & z
\n\\end{eqnarray*}[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

podemos combin\u00e1-las para obter uma fun\u00e7\u00e3o que leve [tex]x[\/tex] diretamente para [tex]z[\/tex]<\/span> ?
\n\"\"
\nA resposta \u00e9 sim. <\/strong>
\nPodemos definir para isso uma fun\u00e7\u00e3o conhecida como “fun\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00e3o”; mas, formalmente, denominada fun\u00e7\u00e3o composta<\/strong>.<\/p>\n

\nPergunta 2:<\/strong> Dada uma fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad \\begin{eqnarray*}
\nf:~A &\\rightarrow & B\\\\
\nx&\\mapsto & y
\n\\end{eqnarray*}[\/tex]
\n\u00e9 poss\u00edvel obter uma fun\u00e7\u00e3o que traga o elemento [tex]y[\/tex] de volta para [tex]x[\/tex]<\/span> ?
\n\"\"
\nA resposta aqui n\u00e3o \u00e9 certeira!<\/strong>
\nPara algumas fun\u00e7\u00f5es \u00e9 poss\u00edvel fazermos essa volta. Esse tipo de fun\u00e7\u00e3o \u00e9 o que definiremos como fun\u00e7\u00e3o invert\u00edvel<\/strong>.<\/p>\n
\n
\n
\n

Fun\u00e7\u00e3o Composta<\/p>\n

Considere os conjuntos [tex]A = \\{-1,0,1,2\\}[\/tex], [tex]B = \\{0,1,2,3,4, 5\\}[\/tex], [tex]C = \\{0,1,2,3,4\\}[\/tex] e [tex]D = \\{-1,0,1,2,3\\}[\/tex] e as fun\u00e7\u00f5es <\/p>\n

\n\n\n
\n\n[tex]f: A\\rightarrow B\\\\
\nf(x)=x^2 [\/tex] <\/td>\n		\n[tex]~~g: C\\rightarrow D \\\\
\ng(x)=x-1[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

Observem o diagrama abaixo e notem que o conjunto imagem da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] \u00e9 subconjunto do dom\u00ednio de [tex]g[\/tex].
\n\"\"
\nAgora, acompanhem este esqueminha
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{align}
\n-1&\\stackrel{f}{\\longmapsto} 1\\stackrel{g}{\\longmapsto} 0\\\\
\n0&\\stackrel{f}{\\longmapsto} 0\\stackrel{g}{\\longmapsto} -1\\\\
\n1&\\stackrel{f}{\\longmapsto} 1\\stackrel{g}{\\longmapsto} 0\\\\
\n2&\\stackrel{f}{\\longmapsto} 4\\stackrel{g}{\\longmapsto} 3
\n\\end{align}[\/tex]
\ne percebam que para cada elemento de [tex]A[\/tex] existe um \u00fanico correspondente em [tex]D[\/tex].
\nDessa forma, podemos definir uma fun\u00e7\u00e3o [tex]h[\/tex] de [tex]A[\/tex] em [tex]D[\/tex], tal que [tex]h(-1) = 0,\\,h(0) = -1,\\, h(1) = 0\\,[\/tex] e [tex]\\,h(2) = 3[\/tex], conforme ilustra a imagem a seguir.
\n\"\"
\nEssa fun\u00e7\u00e3o [tex]h[\/tex] \u00e9 chamada de fun\u00e7\u00e3o composta de [tex]g[\/tex] com [tex]f[\/tex]<\/strong> e \u00e9 denotada por [tex]g\\circ f[\/tex] (leia-se “[tex]g[\/tex] composta com [tex]f[\/tex]” ou “[tex]g[\/tex] bola [tex]f[\/tex]”).
\nPortanto, sendo [tex]h = g\\circ f[\/tex], temos [tex]h(x) = (g\\circ f)(x) = g(f(x))[\/tex]. De fato,
\n●<\/span> [tex]h(-1) = g(f(-1)) = g(1) = 0[\/tex];
\n●<\/span> [tex]h(0) = g(f(0)) = g(0) = -1[\/tex];
\n●<\/span> [tex]h(1) = g(f(1)) = g(1) = 0[\/tex];
\n●<\/span> [tex]h(2) = g(f(2)) = g(4) = 3[\/tex].
\nVejam que a lei que determina a fun\u00e7\u00e3o [tex]h[\/tex] fica assim definida:
\n[tex]\\qquad h(x) = g(f(x))[\/tex]
\n[tex]\\qquad h(x) = g(x^2)[\/tex]
\n[tex]\\qquad h(x) = x^2-1.[\/tex]
\nBem, agora j\u00e1 podemos apresentar uma defini\u00e7\u00e3o formal do que \u00e9 uma composi\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es<\/strong>. <\/p>\n

Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Sejam duas fun\u00e7\u00f5es [tex]f:A\\rightarrow B[\/tex] e [tex]g:C\\rightarrow D[\/tex] tais que o conjunto imagem de [tex]f[\/tex] est\u00e1 contido em [tex]C[\/tex] (dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o [tex]g[\/tex]). Chama-se fun\u00e7\u00e3o composta de [tex]g[\/tex] com [tex]f[\/tex]<\/span> <\/strong> a fun\u00e7\u00e3o de [tex]A[\/tex] em [tex]D[\/tex] indicada por [tex]g\\circ f[\/tex] e definida por [tex](g\\circ f)(x) = g(f(x))[\/tex], para todo [tex]x\\in A[\/tex].<\/div>\n

\n

Assim, para obter a imagem de um elemento [tex]x[\/tex] pela fun\u00e7\u00e3o composta [tex]g\\circ f[\/tex], deve-se aplicar os seguintes passos:
\n►<\/span> aplica-se a [tex]x[\/tex] a fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex], obtendo-se [tex]f(x)[\/tex];
\n►<\/span> aplica-se a [tex]f(x)[\/tex] a fun\u00e7\u00e3o [tex]g[\/tex], obtendo-se [tex]g(f(x))[\/tex].<\/p>\n

\nExemplo:<\/strong> Considere as fun\u00e7\u00f5es [tex]f: \\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] e [tex]g: \\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex], dadas por [tex]f(x) = x^2+2[\/tex] e [tex]g(x) = x+1[\/tex].
\nVeja que o menor valor que a fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] pode assumir \u00e9 quando [tex]x=0[\/tex], ou seja, o menor valor que [tex]f[\/tex] assume \u00e9 [tex]f(0) = 2[\/tex]. Al\u00e9m disso, para qualquer valor [tex]y\\gt 2[\/tex], existe [tex]x[\/tex] real tal que [tex]f(x) = y[\/tex].
\nAssim, o conjunto imagem de [tex]f[\/tex] \u00e9 o intervalo [tex][2,+\\infty[[\/tex], ou seja, [tex]Im(f)=\\{x \\in \\mathbb{R} \\text{ tais que } x \\geq 2\\}[\/tex]; e este conjunto est\u00e1 contido no dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o [tex]g[\/tex], isto \u00e9, [tex][2,+\\infty[\\subset\\mathbb{R}[\/tex].
\nPortanto, podemos definir a fun\u00e7\u00e3o composta [tex]h[\/tex] de [tex]\\mathbb{R}[\/tex] em [tex]\\mathbb{R}[\/tex], tal que
\n[tex]\\qquad h(x) = g(f(x)) = (x^2+2)+1 = x^2+3[\/tex].
\nDo mesmo modo, note que o conjunto imagem da fun\u00e7\u00e3o [tex]g[\/tex] est\u00e1 contido no dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex]. Ent\u00e3o, podemos definir a fun\u00e7\u00e3o composta [tex]k[\/tex] de [tex]\\mathbb{R}[\/tex] em [tex]\\mathbb{R}[\/tex] tal que
\n[tex]\\qquad k(x) = f(g(x)) = (x+1)^2+2 = x^2+2x+3[\/tex].<\/div>\n

\n

\u00c9 importante perceber que a exist\u00eancia da fun\u00e7\u00e3o composta [tex]g\\circ f[\/tex] n\u00e3o garante a exist\u00eancia da composta [tex]f\\circ g[\/tex] e vice-versa, como \u00e9 o caso das fun\u00e7\u00f5es apresentadas na introdu\u00e7\u00e3o desta se\u00e7\u00e3o, um pouco mais acima: <\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\begin{eqnarray*}
\nf:~A=\\{-1,0,1,2\\} &\\rightarrow & B=\\{0,1,2,3,4, 5\\}\\\\
\nx&\\mapsto & x^2
\n\\end{eqnarray*}[\/tex]
\ne
\n[tex]\\qquad \\begin{eqnarray*}
\ng:~C=\\{0,1,2,3,4\\} &\\rightarrow & D=\\{-1,0,1,2,3\\}\\\\
\nx&\\mapsto & x-1 . \\end{eqnarray*}[\/tex]<\/p>\n

L\u00e1, definimos a fun\u00e7\u00e3o [tex]h: A\\rightarrow D[\/tex] dada por [tex]h = g\\circ f[\/tex]; mas n\u00e3o podemos definir uma fun\u00e7\u00e3o [tex]k: C\\rightarrow B[\/tex] dada por [tex]k = f\\circ g[\/tex]. Observe que <\/p>\n