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Problema \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Para [tex]1^2+2^2+3^2+…+150^2[\/tex] usamos o mesmo racioc\u00ednio: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo Clube Grupo de Matem\u00e1tica do IFPI-PHB<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Se somarmos os quadrados dos primeiros cem n\u00fameros inteiros positivos, qual ser\u00e1 o algarismo das unidades desta soma? E se fosse a soma dos quadrados dos primeiros cento e cinquenta n\u00fameros inteiros positivos, qual seria o algarismo das unidades? Solu\u00e7\u00e3o Para tentar estabelecer um padr\u00e3o, … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nSe somarmos os quadrados dos primeiros cem n\u00fameros inteiros positivos, qual ser\u00e1 o algarismo das unidades desta soma?
\nE se fosse a soma dos quadrados dos primeiros cento e cinquenta n\u00fameros inteiros positivos, qual seria o algarismo das unidades?\n<\/div>\n
\nPara tentar estabelecer um padr\u00e3o, vamos listar os quadrados dos primeiros n\u00fameros inteiros positivos:
\n[tex] ~~~~~~ 1^2=1;\\quad 2^2= 4;\\quad 3^2=9;\\quad 4^2=16;\\quad 5^2=25;\\quad 6^2=36; \\\\
\n~~~~~~ 7^2=49;\\quad 8^2=64;\\quad 9^2=81;\\quad 10^2=100; \\quad 11^2=12\\textcolor{red}{1}; \\\\
\n~~~~~~ 12^2=14\\textcolor{red}{4};\\quad 13^2=16\\textcolor{red}{9}; \\quad 14^2=19\\textcolor{red}{6};\\;…[\/tex]
\nDessa forma, percebemos que os algarismos das unidades seguem a sequ\u00eancia [tex](1,4,9,6,5,6,9,4,1,0)[\/tex], cuja soma dos n\u00fameros \u00e9
\n[tex]\\qquad 1+4+9+6+5+6+9+4+1+0= 45[\/tex].
\nAgora, observe que de [tex] 1^2[\/tex] a [tex]100^2[\/tex] essa sequ\u00eancia de algarismos das unidades se repetir\u00e1 [tex]\\dfrac{100}{10}= 10[\/tex] vezes; assim, o algarismo das unidades da soma [tex]1^2+2^2+3^2+…+100^2\\,[\/tex] ser\u00e1 igual ao algarismo das unidades do produto [tex]10 × 45=450[\/tex].
\nPortanto, a resposta \u00e9 [tex] \\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0$}\\,[\/tex] (zero).<\/p>\n
\n[tex]\\quad \\quad \\dfrac{150}{10}×45= 675[\/tex]
\ne, portanto, a soma tem como algarismo das unidades o [tex] \\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5$}\\,[\/tex] (cinco)!!!<\/p>\n
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