{"id":202145,"date":"2023-10-06T00:49:59","date_gmt":"2023-10-06T03:49:59","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=202145"},"modified":"2023-10-06T00:49:59","modified_gmt":"2023-10-06T03:49:59","slug":"a-problema-loteamento","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problema-loteamento\/","title":{"rendered":"(A) Problema: Loteamento"},"content":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema.<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nEm um grande loteamento h\u00e1 tr\u00eas terrenos retangulares vizinhos de dimens\u00f5es [tex]a[\/tex] por [tex]b[\/tex], [tex]b[\/tex] por [tex]c[\/tex] e [tex]a[\/tex] por [tex]c[\/tex], sendo [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] medidas em metros. Esses terrenos possuem \u00e1reas de [tex]96\\text{ m}^2[\/tex], [tex]48\\text{ m}^2[\/tex] e [tex]72\\text{ m}^2[\/tex], respectivamente.
\nNo mesmo loteamento, h\u00e1 outros tr\u00eas terrenos quadrados vizinhos de lados [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex].
\n
\n Qual a \u00e1rea total dos tr\u00eas terrenos quadrados?<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\nA partir das informa\u00e7\u00f5es dadas no texto, temos que:
\n[tex]\\qquad a \\cdot b=96;\t\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\n[tex]\\qquad b \\cdot c=48;\t\\qquad\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\n[tex]\\qquad a \\cdot c=72.\t\\qquad\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]<\/p>\n

Multiplicando as tr\u00eas equa\u00e7\u00f5es, obtemos:
\n[tex]\\qquad a^2 \\cdot b^2 \\cdot c^2=96 \\cdot 48 \\cdot 72\\\\
\n\\qquad a \\cdot b \\cdot c=\\sqrt{331\\ 776^{~}}\\\\
\n\\qquad a \\cdot b \\cdot c=576. \\qquad\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex]<\/p>\n

Dividindo [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], obtemos:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{a \\cdot b \\cdot c}{a \\cdot b}=\\dfrac{576}{96}=6[\/tex],
\nou seja, [tex]\\boxed{c=6 \\text{ m}}.[\/tex]<\/p>\n

Dividindo [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] por [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], obtemos:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{a \\cdot b \\cdot c}{b \\cdot c}=\\dfrac{576}{48}=12[\/tex],
\nou seja, [tex]\\boxed{a=12 \\text{ m}}.[\/tex]<\/p>\n

Dividindo [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] por [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], obtemos:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{a \\cdot b \\cdot c}{a \\cdot c}=\\dfrac{576}{72}=8[\/tex],
\nou seja, [tex]\\boxed{b=8 \\text{ m}}.[\/tex]<\/p>\n

Finalmente, a \u00e1rea total dos tr\u00eas terrenos quadrados \u00e9
\n[tex]\\qquad a^2+b^2+c^2=12^2+8^2+6^2= \\fcolorbox{black}{#CAF3BA}{$244\\text{m}^2$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nA partir das informa\u00e7\u00f5es dadas, temos que [tex]~ab=96~[\/tex], [tex]~bc=48~[\/tex] e [tex]~ac=72~.[\/tex]
\nIsolando [tex]a[\/tex] na primeira e na terceira igualdades, segue que:
\n[tex]\\qquad a=\\dfrac{96}{b}~[\/tex] e [tex]~a=\\dfrac{72}{c}.[\/tex]
\nIgualando os valores de [tex]a[\/tex], temos que:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{96}{b}=\\dfrac{72}{c}\\\\
\n\\qquad c=\\dfrac{72b}{96}=\\dfrac{3b}{4}.[\/tex]
\nIsolando [tex]c[\/tex] em [tex]bc=48[\/tex], obtemos [tex]c=\\dfrac{48}{b}.[\/tex]
\nIgualando os valores encontrados de [tex]c[\/tex] e observando que [tex]b \\gt 0[\/tex], temos que:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{3b}{4}=\\dfrac{48}{b}\\\\
\n\\qquad 3b^2=192 \\\\
\n\\qquad b=8.[\/tex]
\nDescoberto o valor de [tex]b[\/tex], podemos encontrar os outros dois valores:<\/p>\n\n\n
\n[tex]ab=96 \\\\
\n 8a=96 \\\\
\n a=12.[\/tex]\n<\/td>\n		\n[tex]\\quad bc=48 \\\\
\n\\quad 8 c=48 \\\\
\n\\quad c=6.[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Assim, se [tex]A[\/tex] \u00e9 a \u00e1rea total dos terrenos quadrados, segue que:
\n[tex]\\qquad A=a^2+b^2+c^2\\\\
\n\\qquad A=12^2+8^2+6^2\\\\
\n\\qquad A=144+64+36\\\\
\n\\qquad \\fcolorbox{black}{#CAF3BA}{$A=244\\text{ m}^2$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Uni\u00e3o Fibonacci<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: Os Somados<\/strong> e Uni\u00e3o Fibonacci<\/strong>.<\/div>\n

\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-202145","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/202145","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=202145"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/202145\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":202146,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/202145\/revisions\/202146"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=202145"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}