{"id":201929,"date":"2023-10-01T05:56:55","date_gmt":"2023-10-01T08:56:55","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=201929"},"modified":"2023-10-06T00:47:12","modified_gmt":"2023-10-06T03:47:12","slug":"desafio-ali-babao-e-a-trigesima-segunda-de-suas-40-equacoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-ali-babao-e-a-trigesima-segunda-de-suas-40-equacoes\/","title":{"rendered":".Desafio: Ali Bab\u00e3o e a Trig\u00e9sima Segunda de suas 40 equa\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=202138\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#915F6D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 25px; padding-bottom: 15px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 25px; margin: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size: 12px; color: #800000;\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nSejam [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] reais positivos tais que [tex]x ^ 3 + y ^ 3 + (x + y) ^ 3 + 30xy = 2000[\/tex].<br \/>\nMostre que [tex] x + y = 10 [\/tex].<\/p>\n<p style=\"font-size: 12px; text-align: right; line-height: 1px;\">Adaptado de <strong>Junior Balkan Mathematical Olympiad, 2000<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 28px; margin: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nUm racioc\u00ednio muito \u00fatil em problemas ol\u00edmpicos (e n\u00e3o s\u00f3 neles!) \u00e9 raciocinar de tr\u00e1s para frente!<br \/>\nNo nosso problema,  para mostrar que [tex] x + y = 10 [\/tex], seria muito bom se [tex]x+y-10[\/tex] fatorasse a express\u00e3o do lado esquerdo da igualdade<br \/>\n[tex]\\qquad x ^ 3 + y ^ 3 + (x + y) ^ 3 + 30xy-2000=0. \\qquad \\textcolor{$800000}{(i)}[\/tex]<br \/>\nObserve que podemos conseguir essa fatora\u00e7\u00e3o como segue. <\/p>\n<ul>\n<li>Primeiro, somamos e subtra\u00edmos [tex]3x^2y+3xy^2[\/tex] do lado esquerdo da igualdade [tex]\\textcolor{$800000}{(i)}[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad x ^ 3 + y ^ 3 + (x + y) ^ 3 + 30xy &#8211; 2000+(3x^2y+3xy^2-3x^2y-3xy^2)=0. \\qquad \\textcolor{$800000}{(ii)}[\/tex]<\/li>\n<li>Rearranjando a igualdade [tex]\\textcolor{$800000}{(ii)}[\/tex], segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad (x ^ 3 + 3x^2y+3xy^2+y ^ 3) + (x + y) ^ 3 -3x^2y-3xy^2 +30xy-2000=0\\\\<br \/>\n\\qquad  2(x + y) ^ 3 -3x^2y-3xy^2 +30xy-2000=0. \\qquad \\textcolor{$800000}{(iii)}[\/tex]<\/li>\n<li>Colocando alguns termos em evid\u00eancia em [tex]\\textcolor{$800000}{(iii)}[\/tex], temos:<br \/>\n[tex]\\qquad  2((x + y) ^ 3-1000)-3xy(x+y-10)=0.\\qquad \\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Observe que, pela fatora\u00e7\u00e3o da diferen\u00e7a de dois cubos,<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{(x + y)^3-1000}=(x + y)^3-10^3=\\boxed{(x+y-10)\\left[(x+y)^2+10(x+y)+10^2\\right]}.[\/tex]<br \/>\nLogo, segue de [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] que:<br \/>\n[tex]\\qquad  2(x+y-10)[(x+y)^2+10(x+y)+10^2]-3xy(x+y-10)=0,\\\\<br \/>\n\\qquad  (x+y-10) \\cdot \\{2\\left[(x+y)^2+10(x+y)+10^2\\right]-3xy\\}=0.\\qquad \\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex]<br \/>\nAssim, conclu\u00edmos de  [tex]\\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex] que:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex](x+y-10)=0[\/tex] (e acabamos a quest\u00e3o) ou <\/li>\n<li>[tex]2((x+y)^2+10(x+y)+10^2)-3xy=0.[\/tex] <\/li>\n<\/ul>\n<p>Essa \u00faltima op\u00e7\u00e3o n\u00e3o ocorre; vejamos porque. <\/p>\n<p style=\"margin:-20px 20px 10px 30px\"> Podemos reescrever [tex]2((x+y)^2+10(x+y)+10^2)-3xy~[\/tex] como<br \/>\n[tex]\\qquad 2((x+y)^2+10(x+y)+10^2)-3xy=2(x^2+y^2+10x+10y+100)+xy,[\/tex]<br \/>\ne, como [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] s\u00e3o positivos, ent\u00e3o<br \/>\n[tex]\\qquad 2((x+y)^2+10(x+y)+10^2)-3xy=2(x^2+y^2+10x+10y+100)+xy\\gt0.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Logo, de fato, [tex](x+y-10)=0[\/tex], ou seja, [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x+y=10$}\\,[\/tex], como quer\u00edamos demonstrar.<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px; border: 0 none;\" \/>\n<p class=\"g2\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 28px; margin: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nManipulando algebricamente a igualdade, segue que:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000\\\\<br \/>\n\\qquad x^3+y^3+30xy=2000-(x+y)^3\\\\<br \/>\n\\qquad (x+y)(x^2-xy+y^2)+30xy=2000-(x+y)^3\\\\<br \/>\n\\qquad (x+y)((x+y)^2-3xy)+30xy=2000-(x+y)^3\\\\<br \/>\n\\qquad (x+y)^3-3xy(x+y)+30xy=2000-(x+y)^3\\\\<br \/>\n\\qquad -3xy(x+y)+30xy=2000-2(x+y)^3\\\\<br \/>\n\\qquad 30xy-3xy(x+y)=2000-2(x+y)^3\\\\<br \/>\n\\qquad 3xy(10-(x+y))=2(1000-(x+y)^3)\\\\<br \/>\n\\qquad 3xy(10-(x+y))=2(10-(x+y))(100+10(x+y)+(x+y)^2).\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n<p>Observe que podemos ter o caso [tex]10-(x+y)=0[\/tex] ou podemos simplificar [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] por [tex]10-(x+y)[\/tex], obtendo<br \/>\n[tex]\\qquad 3xy=2(100+10(x+y)+(x+y)^2)\\\\<br \/>\n\\qquad 2(x^2+y^2+10x+10y+100)+xy=0.[\/tex]<br \/>\nMas, nesse caso, observe que, sendo [tex]x\\gt0[\/tex] e [tex]y\\gt0[\/tex], n\u00e3o existem valores para [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] que satisfa\u00e7am a igualdade [tex]2(x^2+y^2+10x+10y+100)+xy=0[\/tex], pois \u00e9 imposs\u00edvel existir uma parcela negativa nessa soma. <\/p>\n<p>Logo, vale o caso [tex]\\,10-(x+y)=0\\,[\/tex] e, portanto, [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x+y=10$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px; border: 0 none;\" \/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo <strong>COM Geomestres Slay<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<br \/>\n&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 2px dashed #800000; padding: 5px; color: #000000; font-family: Calibri, sans-serif; font-size: 20px; line-height: 25px; text-align: center; width: 80%; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<p class=\"ti1\" style=\"color: #800000; line-height: 30px; margin: 10px;\">Para aprender mais&#8230;<\/p>\n<hr style=\"height: 2px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 40px; border: 0 none;\" \/>\nPara aprender mais sobre manipula\u00e7\u00f5es alg\u00e9bricas, convidamos voc\u00ea para visitar a Sala <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/malabarismos-aritmeticos-e-algebricos-sala-3\/\">Malabarismos aritm\u00e9ticos e alg\u00e9bricos<\/a>.\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"g3\">\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: <strong>Os Somados<\/strong> ; <strong>Geomestres Slay<\/strong>.<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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