{"id":201914,"date":"2023-10-01T05:05:57","date_gmt":"2023-10-01T08:05:57","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=201914"},"modified":"2023-10-06T00:59:33","modified_gmt":"2023-10-06T03:59:33","slug":"probleminha-pares-de-meia","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-pares-de-meia\/","title":{"rendered":".Probleminha: Pares de meia"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nTati sempre tem alguns pares de meia em sua gaveta. Mas, como ela \u00e9 um pouco desorganizada, acaba perdendo alguns p\u00e9s de suas meias de vez em quando.
\n\"\"
\n(a)<\/strong> No in\u00edcio deste m\u00eas, ela tinha dois pares diferentes de meia; mas, um dia desses, percebeu que perdera dois p\u00e9s dessas meias. Sabendo que n\u00e3o h\u00e1 diferen\u00e7a entre p\u00e9 direito e p\u00e9 esquerdo de um mesmo par, qual \u00e9 a probabilidade de Tati n\u00e3o possuir nenhum par completo de meias para cal\u00e7ar nesse dia?
\n(b)<\/strong> Ap\u00f3s uma faxina pela casa, Tati recuperou os dois p\u00e9s de meia perdidos e, precavida, comprou outros dois pares, ficando com quatro pares completos e diferentes. Por\u00e9m, ontem percebeu que perdera, dessa vez, quatro p\u00e9s de meia! Agora, qual \u00e9 a probabilidade de Tati n\u00e3o possuir nenhum par completo para cal\u00e7ar, sabendo que n\u00e3o h\u00e1 diferen\u00e7a entre p\u00e9 direito e p\u00e9 esquerdo de um mesmo par de meias?\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\"<\/p>\n

Observa\u00e7\u00f5es<\/p>\n

✏<\/strong> <\/span>A probabilidade <\/strong>de um evento ocorrer em um modelo com espa\u00e7o amostral finito e equiprov\u00e1vel \u00e9 calculada por:
\n [tex]\\qquad \\qquad \\text{probabilidade}=\\dfrac{\\text{n\u00famero de casos favor\u00e1veis}}{\\text{n\u00famero de casos poss\u00edveis}}.[\/tex] <\/p>\n

\n

Mas, para isso, devemos ter a certeza de que o espa\u00e7o amostral considerado na solu\u00e7\u00e3o \u00e9 equiprov\u00e1vel<\/strong>: todas as possibilidades devem possuir a mesma probabilidade de ocorrer.
\nAs contagens de n\u00famero de casos favor\u00e1veis e casos poss\u00edveis podem ser feitas de diversas formas. Se considerarmos que a ordem na qual Tati perdeu as meias n\u00e3o importa, podemos utilizar Combina\u00e7\u00f5es Simples.
\nJ\u00e1 ao considerar que a ordem na qual as meias s\u00e3o perdidas importa, podemos utilizar o Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, e \u00e9 isso que faremos aqui.\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nNos dois itens, utilizaremos o Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong><\/a> tanto para calcular a quantidade de casos favor\u00e1veis quanto a de casos poss\u00edveis. <\/p>\n

\n

(a)<\/strong> As duas meias podem ter sido perdidas de [tex]4 \\times 3=12[\/tex] maneiras. Observe que Tati s\u00f3 possuir\u00e1 um par completo para cal\u00e7ar se perdeu as duas meias do outro par. Para que isso ocorra, o segundo p\u00e9 perdido deve ser o par do primeiro, ou seja, h\u00e1 apenas [tex]4\\times 1=4[\/tex] possibilidades.
\nLogo, a probabilidade de Tati n\u00e3o possuir nenhum par completo para cal\u00e7ar \u00e9 de [tex]\\dfrac{12-4}{12}=\\dfrac{2}{3}[\/tex]; aproximadamente, [tex]~\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$67\\%$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

Outra forma de pensar \u00e9 a de que Tati n\u00e3o possuir\u00e1 nenhum par se perder exatamente um p\u00e9 de cada par, o que pode ocorrer de [tex]4\\times 2 =8[\/tex] maneiras. Assim, como vimos, a probabilidade de Tati n\u00e3o possuir nenhum par completo para cal\u00e7ar \u00e9 de [tex]~\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{8}{12}\\approx 67\\%$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

(b)<\/strong> H\u00e1 oito p\u00e9s de meia no total, ent\u00e3o os quatro p\u00e9s podem ser perdidos de [tex]8 \\times 7\\times 6\\times 5=1680[\/tex] maneiras. Tati n\u00e3o possuir\u00e1 nenhum par se perder exatamente um p\u00e9 de cada par, o que pode ocorrer de [tex]8\\times 6\\times 4\\times 2 = 384[\/tex] maneiras. Assim, a probabilidade de Tati n\u00e3o possuir nenhum par completo para cal\u00e7ar \u00e9 de [tex]~\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{ 384}{1680}\\approx 23\\%$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Tati sempre tem alguns pares de meia em sua gaveta. Mas, como ela \u00e9 um pouco desorganizada, acaba perdendo alguns p\u00e9s de suas meias de vez em quando. (a) No in\u00edcio deste m\u00eas, ela tinha dois pares … <\/p>\n

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