{"id":201290,"date":"2023-09-22T22:12:59","date_gmt":"2023-09-23T01:12:59","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=201290"},"modified":"2023-10-06T01:26:22","modified_gmt":"2023-10-06T04:26:22","slug":"problema-de-gincana-um-angulo-da-estrela","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-gincana-um-angulo-da-estrela\/","title":{"rendered":".Problema de Gincana: Um \u00e2ngulo da estrela"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

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Problema<\/p>\n

\nCinco pr\u00e9dios de uma cidade est\u00e3o posicionados de forma que cada um pode ser representado pelo v\u00e9rtice de um pent\u00e1gono estrelado, conforme mostra a figura.
\n\"\"
\nQual a medida do \u00e2ngulo [tex]\\alpha[\/tex], em graus?\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\nComo \u00e2ngulos opostos pelo v\u00e9rtice t\u00eam a mesma medida, podemos destacar as seguintes medidas de pares de \u00e2ngulos na figura:
\n\"\"
\nObserve que cada qu\u00edntupla [tex]a, b, c, d, e[\/tex] corresponde a medidas de uma sequ\u00eancia de \u00e2ngulos externos do pent\u00e1gono que aparece no centro da figura. Como a soma das medidas dos \u00e2ngulos externos de um pol\u00edgono convexo \u00e9 sempre [tex]360^\\circ[\/tex], conclu\u00edmos que [tex]a+b+c+d+e=360^\\circ[\/tex].
\nAgora, note que em cada tri\u00e2ngulo que forma uma ponta da estrela a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex].
\n\"\"
\nLogo, somando as medidas de todos os \u00e2ngulos internos de todas as pontas, segue que:
\n[tex]\\left(42^\\circ+a+e\\right)+\\left(38^\\circ+a+b\\right)+\\left(39^\\circ+b+c\\right)+\\left(37^\\circ+c+d\\right)+\\left(\\alpha+d+e\\right)=180 ^\\circ\\times 5\\\\
\n\\left(42^\\circ+38^\\circ+30^\\circ+37^\\circ\\right)+\\alpha+2(a+b+c+d+e)=180 ^\\circ\\times 5\\\\
\n147^\\circ+\\alpha+2\\times 360^\\circ=180 ^\\circ\\times 5\\\\
\n147^\\circ+\\alpha=180^\\circ\\\\
\n\\qquad \\qquad \\boxed{\\alpha=33^\\circ}.[\/tex]<\/p>\n
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Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

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Tomaremos por base a imagem que fizemos:
\n\"\"<\/p>\n